Semejanza, Pitágoras y modelos geométricos – matemáticas 4º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. \(x=\dfrac{4\cdot9}{6}=6\). Multiplicamos en cruz y despejamos. Comprobación: \(\dfrac{4}{6}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}\). Respuesta: \(x=6\).
   2. \(x=\dfrac{5\cdot14}{10}=7\). Multiplicamos en cruz: \(10x=70\). Comprobación: \(\dfrac{5}{7}=\dfrac{10}{14}\). Respuesta: \(x=7\).
   3. \(5x=3(x+4)\), \(2x=12\), \(x=6\). Al multiplicar en cruz aparece una ecuación de primer grado. Comprobación: \(\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\). Respuesta: \(x=6\).
   4. \(x=\dfrac{2{,}4\cdot15}{3{,}6}=10\). Simplificamos \(\dfrac{2{,}4}{3{,}6}=\dfrac{2}{3}\). Comprobación: \(\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}\). Respuesta: \(x=10\).

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(k=\dfrac{9}{3}=3\). Dividimos el lado menor del segundo entre el lado menor del primero.
   2. Lados \(4\cdot3=12\) cm y \(5\cdot3=15\) cm. Multiplicamos cada lado del primero por la razón \(k\).
   3. Perímetros \(12\) y \(36\) cm: razón \(3=k\). Los perímetros están en la misma razón que los lados.
   4. Áreas \(\dfrac{3\cdot4}{2}=6\) y \(\dfrac{9\cdot12}{2}=54\) cm\(^2\): razón \(9=k^2\). Las áreas están en razón \(k^2\) porque dependen de dos longitudes.

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(3{,}2\cdot50\,000=160\,000\) cm \(=1{,}6\) km. Multiplicamos por la escala y pasamos los centímetros a kilómetros dividiendo entre 100 000.
   2. \(12\) km \(=1\,200\,000\) cm; \(\dfrac{1\,200\,000}{50\,000}=24\) cm. Pasamos los kilómetros a centímetros y dividimos entre la escala.
   3. \(1\) cm\(^2\) del mapa son \(50\,000^2\) cm\(^2=2{,}5\cdot10^9\) cm\(^2=0{,}25\) km\(^2\). Entonces \(20\cdot0{,}25=5\) km\(^2\).
   4. \(12\) km \(=1\,200\,000\) cm entre \(6\) cm es \(200\,000\): escala \(1:200\,000\). Dividimos la distancia real entre la del mapa, en las mismas unidades.

4. Solución del ejercicio 4

   1. Longitudes: \(12\cdot3=36\) cm. Las longitudes se multiplican por \(k\). Respuesta: 36 cm.
   2. Áreas: \(10\cdot3^2=90\) cm\(^2\). Las áreas se multiplican por \(k^2=9\). Respuesta: 90 cm\(^2\).
   3. Volúmenes: \(4\cdot3^3=108\) cm\(^3\). Los volúmenes se multiplican por \(k^3=27\). Respuesta: 108 cm\(^3\).
   4. \(k^3=27\), luego \(k=\sqrt[3]{27}=3\). Hacemos la raíz cúbica de la razón de volúmenes. Respuesta: \(k=3\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(c=\sqrt{36+64}=10\). La hipotenusa es la raíz de la suma de los cuadrados de los catetos. Respuesta: \(c=10\).
   2. \(b=\sqrt{169-25}=12\). Para un cateto restamos al cuadrado de la hipotenusa el cuadrado del otro cateto. Respuesta: \(b=12\).
   3. \(b=\sqrt{625-49}=24\). Restamos cuadrados: \(625-49=576=24^2\). Respuesta: \(b=24\).
   4. \(d=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}\approx7{,}07\) cm. La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con dos lados del cuadrado como catetos.

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(c=4+9=13\) cm. La hipotenusa es la suma de los dos segmentos.
   2. \(h^2=4\cdot9=36\), \(h=6\) cm. La altura es la media proporcional entre los dos segmentos.
   3. \(b^2=4\cdot13=52\), \(b=\sqrt{52}\approx7{,}21\) cm. \(c_2^2=9\cdot13=117\), \(c_2=\sqrt{117}\approx10{,}82\) cm. Cada cateto es la media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
   4. \(52+117=169=13^2\). Área \(=\dfrac{13\cdot6}{2}=39\) cm\(^2\). El área es la hipotenusa por la altura dividido entre 2.

7. Solución del ejercicio 7

   1. Los rayos del sol son paralelos, así que los ángulos son iguales (y ambos tienen un ángulo recto): triángulos semejantes.
   2. \(\dfrac{h}{12}=\dfrac{1{,}80}{2{,}40}\), \(h=\dfrac{12\cdot1{,}8}{2{,}4}=9\) m.
   3. \(k=\dfrac{12}{2{,}4}=5\).
   4. La altura del árbol es \(9\) m: \(\dfrac{s}{1{,}8}=\dfrac{18}{9}\), luego \(s=3{,}6\) m.

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(h=\sqrt{36-2{,}25}=\sqrt{33{,}75}\approx5{,}81\) m. La escalera es la hipotenusa; restamos el cuadrado de la distancia a la pared.
   2. \(d=\sqrt{36-25}=\sqrt{11}\approx3{,}32\) m. Ahora conocemos la hipotenusa y la altura; despejamos el otro cateto.
   3. \(d\le\sqrt{36-16}=\sqrt{20}\approx4{,}47\) m. Cuanto más lejos está el pie, menos sube la escalera.
   4. Con \(3\) m: \(h=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}\approx5{,}20\) m. Baja \(5{,}81-5{,}20\approx0{,}61\) m. Respuesta: la parte alta baja unos 61 cm.

9. Solución del ejercicio 9

   1. Altura \(\dfrac{6000}{200}=30\) cm, ancho \(\dfrac{4500}{200}=22{,}5\) cm y fondo \(\dfrac{4000}{200}=20\) cm.
   2. Razón de áreas \(200^2=40\,000\): \(300\cdot40\,000=12\,000\,000\) cm\(^2=1200\) m\(^2\).
   3. Razón de volúmenes \(200^3=8\,000\,000\): \(5\cdot8\,000\,000=40\,000\,000\) L \(=40\,000\) m\(^3\).
   4. Porque el área depende de dos longitudes: se multiplica por \(k^2\), no por \(k\). Los volúmenes se multiplican por \(k^3\).

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(4{,}5\cdot25\,000=112\,500\) cm \(=1{,}125\) km. Multiplicamos por la escala y pasamos a kilómetros. Respuesta: 1,125 km.
    2. \(6\) km \(=600\,000\) cm; \(\dfrac{600\,000}{25\,000}=24\) cm. Pasamos a centímetros y dividimos entre la escala. Respuesta: 24 cm.
    3. Dimensiones reales \(500\times750\) m: \(375\,000\) m\(^2=0{,}375\) km\(^2\). Calculamos las dimensiones reales: \(2\cdot25\,000=50\,000\) cm = 500 m y \(3\cdot25\,000\) cm = 750 m.
    4. \(450\) m \(=450\,000\) mm; \(\dfrac{450\,000}{25\,000}=18\) mm. Pasamos los metros a milímetros y dividimos entre la escala.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(55\cdot2{,}54=139{,}7\) cm. Multiplicamos las pulgadas por 2,54.
    2. \(337k^2=139{,}7^2\), \(k=\dfrac{139{,}7}{\sqrt{337}}\approx7{,}61\). Las dos medidas son proporcionales a 16 y 9; la diagonal es la hipotenusa.
    3. Ancho \(16k\approx121{,}8\) cm y alto \(9k\approx68{,}5\) cm. Multiplicamos \(k\) por 16 y por 9.
    4. Razón de longitudes \(\dfrac{55}{32}\approx1{,}72\); razón de áreas \(\left(\dfrac{55}{32}\right)^2\approx2{,}95\). Las dos pantallas son semejantes con razón \(\dfrac{55}{32}\); las áreas están en razón \(k^2\).

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(A_1=\pi\cdot10^2\approx314{,}2\) cm\(^2\) y \(A_2=\pi\cdot15^2\approx706{,}9\) cm\(^2\).
    2. \(k=\dfrac{30}{20}=1{,}5\) y razón de áreas \(k^2=2{,}25\) (\(\dfrac{706{,}9}{314{,}2}=2{,}25\)).
    3. \(\dfrac{8}{314{,}2}\approx0{,}0255\) €/cm\(^2\) y \(\dfrac{15}{706{,}9}\approx0{,}0212\) €/cm\(^2\).
    4. Conviene la grande. Para igualar el precio por cm\(^2\) debería costar \(8\cdot2{,}25=18\) €; cuesta \(15\) €.

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(d=\sqrt{105^2+68^2}=\sqrt{15\,649}\approx125{,}1\) m. La diagonal es la hipotenusa del triángulo formado por el largo y el ancho.
    2. Bordeando: \(105+68=173\) m. Recorre \(173-125{,}1\approx47{,}9\) m más.
    3. Diagonal: \(\dfrac{125{,}1}{6}\approx20{,}8\) s. Bordeando: \(\dfrac{173}{6}\approx28{,}8\) s. Dividimos la distancia entre la velocidad.
    4. Dimensiones \(52{,}5\times34\) m: área \(1785\) m\(^2\), que es \(\dfrac{1}{4}\) de los \(7140\) m\(^2\) del campo grande (\(k^2=\dfrac{1}{4}\)).

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(k=\dfrac{45}{15}=3\). Dividimos el lado mayor del cartel entre el de la foto.
    2. \(10\cdot3=30\) cm. Multiplicamos el lado menor por \(k\).
    3. Razón de áreas \(9\). Foto \(150\) cm\(^2\) y cartel \(1350\) cm\(^2\). Las áreas se multiplican por \(k^2=9\).
    4. Para que el lado menor sea \(24\) cm: \(k=\dfrac{24}{10}=2{,}4\) y el lado mayor \(15\cdot2{,}4=36\) cm.

15. Solución del ejercicio 15

    1. El triángulo pequeño (hasta la primera estaca) y el grande (hasta la segunda) comparten el ángulo en \(A\) y tienen lados paralelos: son semejantes.
    2. Los lados correspondientes son proporcionales: \(\dfrac{x}{x+12}=\dfrac{4}{10}\).
    3. \(10x=4(x+12)\), \(6x=48\), \(x=8\) m.
    4. \(\dfrac{8}{20}=0{,}4=\dfrac{4}{10}\). La razón de semejanza del pequeño al grande es \(0{,}4\) (o \(2{,}5\) del grande al pequeño).

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(L=\sqrt{120^2+500^2}=\sqrt{264\,400}\approx514{,}2\) m. La pista es la hipotenusa del triángulo formado por el desnivel y la distancia horizontal.
    2. \(\dfrac{120}{500}=0{,}24\): pendiente del \(24\ \%\). Dividimos el desnivel entre la distancia horizontal y lo expresamos en porcentaje.
    3. \(54\) km/h \(=15\) m/s; \(\dfrac{514{,}2}{15}\approx34{,}3\) s. Pasamos los km/h a m/s dividiendo entre 3,6 y dividimos la distancia entre la velocidad.
    4. Razón \(k=\dfrac{60}{120}=0{,}5\): distancia horizontal \(250\) m y longitud \(257{,}1\) m. Todas las longitudes se multiplican por la razón 0,5.

17. Solución del ejercicio 17

    1. Razón de volúmenes \(\left(\dfrac{1}{5}\right)^3=\dfrac{1}{125}\): \(\dfrac{2000}{125}=16\) L. La escala lineal es \(\dfrac{1}{5}\), así que los volúmenes se dividen entre \(5^3=125\).
    2. Razón de áreas \(\dfrac{1}{25}\): \(\dfrac{24}{25}=0{,}96\) m\(^2\). Las áreas se dividen entre \(5^2=25\).
    3. \(\dfrac{1{,}5}{5}=0{,}3\) m. Las longitudes se dividen entre 5.
    4. \(\dfrac{16}{0{,}5}=32\) s. Dividimos la capacidad entre el caudal. Respuesta: 32 segundos.

18. Solución del ejercicio 18

    1. Mitad de la base \(5\) m: \(\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\approx5{,}83\) m. Cada faldón es la hipotenusa del triángulo de catetos 5 m (mitad de la base) y 3 m (altura).
    2. \(2\cdot5{,}83\cdot12\approx139{,}9\) m\(^2\). Cada faldón es un rectángulo de 5,83 m por los 12 m de largo.
    3. \(139{,}9\cdot18\approx2518\) €. Multiplicamos la superficie por el precio.
    4. Razón de áreas \(k^2=2{,}25\): \(139{,}9\cdot2{,}25\approx314{,}8\) m\(^2\). Las superficies se multiplican por \(k^2\).

19. Solución del ejercicio 19

    1. El triángulo pequeño (linterna-muñeco) y el grande (linterna-sombra) son semejantes porque comparten el ángulo en la linterna y la altura del muñeco es paralela a la sombra.
    2. \(\dfrac{s}{10}=\dfrac{5}{2}\), \(s=25\) cm.
    3. \(\dfrac{40}{10}=\dfrac{5}{d}\), \(d=\dfrac{5}{4}=1{,}25\) m.
    4. Razón de longitudes \(\dfrac{5}{2}=2{,}5\); razón de áreas \(2{,}5^2=6{,}25\).

20. Solución del ejercicio 20

    1. Diagonal de la base \(4\sqrt{2}\); diagonal del cubo \(\sqrt{(4\sqrt{2})^2+4^2}=\sqrt{32+16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\approx6{,}93\) cm.
    2. \(m+n=25\) y \(mn=h^2=144\). Las raíces de \(t^2-25t+144=0\) son \(9\) y \(16\). Segmentos de \(9\) y \(16\).
    3. \(k=\sqrt{\dfrac{49}{25}}=\dfrac{7}{5}\). Razón de volúmenes \(k^3=\dfrac{343}{125}\approx2{,}74\).
    4. Si los lados son \(5t\), \(12t\) y \(13t\): \((5t)^2+(12t)^2=25t^2+144t^2=169t^2=(13t)^2\). Se cumple Pitágoras, luego es rectángulo.