Estos apuntes de inecuaciones y sistemas de inecuaciones de 4º ESO están pensados para alumnos de 15-16 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Inecuaciones de primer y segundo grado. Antes de empezar, conviene repasar expresiones algebraicas y factorización y ecuaciones y sistemas, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de inecuaciones y sistemas de inecuaciones 4º ESO: lo que vas a aprender
En este tema aprenderás: desigualdades y sus propiedades, inecuaciones de primer grado, sistemas de inecuaciones con una incógnita, inecuaciones de segundo grado y inecuaciones lineales con dos incógnitas. Cada idea va en un cuadro de color, con ejemplos resueltos paso a paso.
Actividad de introducción: el presupuesto de la fiesta
El delegado de clase de un instituto de Albacete tiene \(60\) € para la fiesta de fin de curso. Cada pizza cuesta \(8\) € y cada bebida \(1{,}50\) €. ¿Cuántas pizzas puede comprar si ya ha reservado \(12\) € para bebidas? ¿Y si no sabe todavía cuántas bebidas comprará? Aquí no se pide un único valor, sino todos los valores posibles: no se trata de una igualdad, sino de una desigualdad. Las inecuaciones aparecen siempre que hay un límite: un presupuesto, un peso máximo, una nota mínima, un aforo. En este tema aprenderás a resolverlas con una incógnita y con dos, a escribir las soluciones con intervalos y a representar regiones del plano, una herramienta que usan las empresas para decidir cuánto producir.
Desigualdades y sus propiedades
Definición: inecuación
Una inecuación es una desigualdad (con \(<,\ \le,\ >,\ \ge\)) que contiene una incógnita y que se cumple para un conjunto de valores, normalmente un intervalo. Las reglas para transformarla son:
- Sumar o restar el mismo número a los dos miembros no cambia el sentido.
- Multiplicar o dividir por un número positivo no cambia el sentido.
- Multiplicar o dividir por un número negativo invierte el sentido: de \(-2x<6\) se deduce \(x>-3\).
Inecuaciones de primer grado
Propiedad
Se resuelven como una ecuación, vigilando el cambio de sentido. Ejemplo 1. \(2-3x\ge8\): se resta 2, \(-3x\ge6\); se divide entre \(-3\) e invierte, \(x\le-2\). Solución: \((-\infty,-2]\).
Ejemplo 1: con denominadores
\(\dfrac{x+1}{2}\le\dfrac{2x-1}{3}\).
Se multiplica por 6: \(3(x+1)\le2(2x-1)\Rightarrow3x+3\le4x-2\Rightarrow5\le x\). Solución: \([5,+\infty)\).
Propiedad
Doble desigualdad. \(-2<3x+1\le10\) se resuelve restando 1 en todas las partes y dividiendo: \(-3<3x\le9\Rightarrow-1\lt x\le3\), es decir, \((-1,3]\).
Sistemas de inecuaciones con una incógnita
Definición: intersección
La solución es la intersección de las soluciones de cada inecuación. Se resuelve cada una por separado y se dibujan en la recta. Ejemplo 3. \(\begin{cases}2x-1>3\\x+4\le9\end{cases}\): la primera da \(x>2\) y la segunda \(x\le5\). La solución común es \((2,5]\). Si no hay números comunes, el sistema no tiene solución: \(x>4\) y \(x<3\) da \(\varnothing\).
Cómo se hace: resolver un sistema de inecuaciones
- Resuelve cada inecuación por separado.
- Representa cada solución en la recta real.
- La solución del sistema es la intersección: los valores que cumplen todas a la vez.
- Escríbela como intervalo o di que no tiene solución si la intersección es vacía.
Ejemplo 2: intersección de dos soluciones
Resuelve \(\begin{cases}2x-1>3\\5-x\ge1\end{cases}\).
Primera: \(2x>4\Rightarrow x>2\). Segunda: \(-x\ge-4\Rightarrow x\le4\). La intersección es \((2,4]\).
Inecuaciones de segundo grado
Método: inecuaciones de segundo grado
Para resolver \(ax^2+bx+c>0\) (o con \(<,\ \ge,\ \le\)):
- Se calculan las raíces de \(ax^2+bx+c=0\).
- Las raíces dividen la recta en intervalos; en cada uno el signo de la expresión es constante.
- Se prueba un número de cada intervalo (o se mira la parábola) y se eligen los intervalos con el signo pedido.
- Se incluyen las raíces solo si la desigualdad no es estricta.
Ejemplo 1
\(x^2+2x-3<0\).
Las raíces son \(x=-3\) y \(x=1\). La parábola abre hacia arriba, así que queda por debajo del eje X entre las raíces. Solución: \((-3,1)\).
Ejemplo 2
\(x^2-4>0\)
raíces \(\pm2\); la parábola está por encima del eje fuera de las raíces. Solución: \((-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\).
Propiedad
Casos especiales. Con discriminante nulo, como en \(x^2-6x+9=(x-3)^2\): \(\ge0\) se cumple siempre, \(>0\) se cumple salvo en \(x=3\), y \(\le0\) solo en \(x=3\). Con discriminante negativo, como \(x^2+1\), la expresión es siempre positiva: \(x^2+1<0\) no tiene solución y \(x^2+1>0\) se cumple para todo \(x\).
Inecuaciones lineales con dos incógnitas
Definición: semiplano
La solución de \(ax+by\le c\) es un semiplano: la recta \(ax+by=c\) lo limita. Se dibuja la recta (continua si la desigualdad incluye la igualdad y discontinua si es estricta) y se prueba un punto, por ejemplo el origen \((0,0)\), para saber qué lado es. Para \(x+y\le4\): en el origen \(0\le4\) es cierto, así que se sombrea el lado del origen.
Propiedad
Un sistema de inecuaciones con dos incógnitas tiene como solución la región donde se solapan los semiplanos. Por ejemplo, \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(x+y\le5\) da un triángulo de vértices \((0,0)\), \((5,0)\) y \((0,5)\).
¡Atención! Errores frecuentes
- No invertir el sentido al multiplicar o dividir por un número negativo.
- Resolver \(x^2>4\) como \(x>2\) y perder \(x<-2\).
- Poner corchete en un extremo de desigualdad estricta, o paréntesis en una no estricta.
- Unir en lugar de intersecar las soluciones de un sistema.
Inecuaciones racionales y signos
Método: estudiar el signo de un cociente
- Pasa todos los términos a un miembro para comparar con cero.
- Escribe la expresión como un único cociente y factoriza numerador y denominador.
- Halla las raíces del numerador (incluidas si la desigualdad no es estricta) y las del denominador (siempre excluidas).
- Ordena esos valores en la recta real y estudia el signo en cada intervalo con un valor de prueba.
- Elige los intervalos que cumplen el signo pedido.
Ejemplo 3
Resuelve \(\dfrac{x-2}{x+1}<0\).
El numerador se anula en \(2\) y el denominador en \(-1\). Probamos: \(x=-2\) da \(\dfrac{-4}{-1}=4>0\); \(x=0\) da \(\dfrac{-2}{1}=-2<0\); \(x=3\) da \(\dfrac{1}{4}>0\). El cociente es negativo solo en \((-1,2)\).
¡Atención! Errores con desigualdades
- Al multiplicar o dividir por un número negativo, el sentido de la desigualdad cambia.
- No se puede multiplicar por una expresión con \(x\) cuyo signo no se conoce: se pasa todo a un miembro.
- Un extremo con denominador cero nunca pertenece a la solución.
- En un sistema de inecuaciones la solución es la intersección, no la unión.
- Una desigualdad estricta se dibuja con línea discontinua y una no estricta con línea continua.
Inecuaciones de segundo grado: el método de la parábola
Método: resolver \(ax^2+bx+c\ge0\) o \(\le0\)
- Calcula las raíces de \(ax^2+bx+c=0\) con la fórmula general.
- Dibuja un esquema de la parábola: abierta hacia arriba si \(a>0\) y hacia abajo si \(a<0\).
- Si hay dos raíces, la parábola está por debajo del eje entre ellas (si abre hacia arriba) y por encima fuera de ellas.
- Si no hay raíces reales, el signo es el de \(a\) para todo \(x\).
- Incluye las raíces solo si la desigualdad no es estricta.
Ejemplo 4
Resuelve \(2x^2-x-3\le0\).
Las raíces son \(x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+24}}{4}=\dfrac{1\pm5}{4}\), es decir \(x=\dfrac{3}{2}\) y \(x=-1\). Como \(a=2>0\), la parábola es negativa entre las raíces y se anula en ellas: la solución es \(\left[-1,\dfrac{3}{2}\right]\).
Ejemplo 5
Un jugador de golf lanza una bola cuya altura, en metros, es \(h=-0{,}1t^2+2t\) con \(t\) en segundos. ¿Cuándo está a más de \(10\) m?
Resolvemos \(-0{,}1t^2+2t>10\), es decir \(t^2-20t+100<0\), o sea \((t-10)^2<0\), que no se cumple nunca. La bola alcanza como máximo \(10\) m (en \(t=10\) s), pero nunca supera esa altura.
Resumen de la estrategia
Ante una inecuación, primero identifica su tipo: de primer grado, de segundo grado o con fracciones. Después aplica el método correspondiente, escribe la solución con intervalos y, por último, comprueba un valor de dentro y otro de fuera del conjunto solución. Esta comprobación de dos números suele bastar para detectar un error de signo o un extremo mal incluido.
Regiones del plano y programación lineal
Propiedad: región solución de un sistema de inecuaciones lineales
Cada inecuación lineal \(ax+by\le c\) determina un semiplano limitado por la recta \(ax+by=c\). La solución de un sistema es la intersección de todos esos semiplanos, una región limitada por segmentos. Sus vértices se obtienen resolviendo sistemas con las ecuaciones de las rectas frontera. Una función lineal \(f(x,y)=px+qy\) alcanza su máximo y su mínimo en alguno de los vértices.
Ejemplo 6
Halla el máximo de \(f(x,y)=3x+2y\) en la región \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(x+y\le6\), \(x\le4\).
Vértices: \((0,0)\), \((4,0)\), \((4,2)\) y \((0,6)\). Valores: \(f(0,0)=0\), \(f(4,0)=12\), \(f(4,2)=16\), \(f(0,6)=12\). El máximo es \(16\) y se alcanza en el vértice \((4,2)\).
¿Sabías que?
La programación lineal nació durante la Segunda Guerra Mundial para organizar el transporte de suministros y después se extendió a la industria. El matemático George Dantzig inventó en 1947 el método del símplex, que todavía se usa para decidir cómo repartir recursos limitados, desde las rutas de camiones hasta los horarios de las aerolíneas. Lo que has aprendido en este tema, con dos variables, es la versión «de papel y lápiz» de esos problemas gigantes.
Observación: comprobar con un punto de prueba
Después de resolver una inecuación conviene elegir un número de la solución y otro de fuera y sustituirlos en la inecuación original. El primero debe cumplirla y el segundo no. En las regiones del plano se hace lo mismo con un punto que no esté en la recta frontera, casi siempre el origen \((0,0)\): si lo cumple, la región es el semiplano que contiene al origen; si no, es el otro semiplano. Esta comprobación tarda pocos segundos y evita muchos errores de signo.
El consejo de Otto
Después de resolver, comprueba con un número de dentro y otro de fuera del intervalo. ¡Es la manera más rápida de detectar un error de signo!
Cómo usar los apuntes de inecuaciones y sistemas de inecuaciones de 4º ESO
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de inecuaciones y sistemas de inecuaciones y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de inecuaciones y sistemas de inecuaciones y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de inecuaciones y sistemas de inecuaciones de 4º ESO reúnen todo lo necesario para el tema.
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