Números reales e intervalos – matemáticas 4º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF

Ejemplo 1

El intervalo \([-1,3)\) se dibuja con punto relleno en \(-1\) y punto vacío en \(3\).

Ejemplo 2

\([1,6)\cap(3,9]\).

Los números que cumplen \(1\le x<6\) y a la vez \(3\lt x\le9\) son los que cumplen \(3\lt x<6\). Resultado: \((3,6)\).

Ejemplo 3

\([1,4]\cup(3,8)\).

Se solapan en \((3,4]\), así que la unión es un solo intervalo: \([1,8)\).

Ejemplo 4

\((-\infty,-1)\cup[2,5]\) no se puede escribir como un único intervalo porque hay un hueco entre \(-1\) y \(2\). Se deja como unión.

Ejemplo 5

Resolver \(|x-1|\le3\): \(-3\le x-1\le3\), se suma 1 y queda \(-2\le x\le4\), o sea \([-2,4]\).

Ejemplo 6: Clasificar números

Queremos decidir en qué conjuntos está \(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}\).

Aplicamos la propiedad del cociente de raíces: \(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5\). Aunque el enunciado parecía contener irracionales, el resultado es un número natural, y por tanto pertenece a \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\) y \(\mathbb{R}\). Moraleja: simplifica siempre antes de clasificar.

Ejemplo 7: De la situación al intervalo

Un ascensor de un edificio de Sevilla admite como máximo 400 kg y, para que se ponga en marcha, la carga debe ser positiva.

Si \(m\) es la carga en kilogramos, se cumple \(0\lt m\le400\), es decir, \(m\in(0,400]\). El 0 queda fuera porque sin carga el ascensor no cuenta como ocupado; el 400 sí está incluido porque es la carga máxima permitida.

Ejemplo 8: Valor absoluto y error

Un tornillo debe medir 30 mm con un error máximo de 0,3 mm.

Se escribe \(|x-30|\le0{,}3\), que equivale a \(29{,}7\le x\le30{,}3\), o sea \(x\in[29{,}7;\,30{,}3]\). Un tornillo de 30,4 mm queda fuera del intervalo y se rechaza.

Ejemplo 9: Intersección con tres condiciones

Halla los números reales que cumplen a la vez \(x\ge-1\), \(x<4\) y \(x\neq2\).

Primero \([-1,4)\); después se quita el punto 2. El resultado es \([-1,2)\cup(2,4)\). Cuando se excluye un solo punto, el intervalo se parte en dos.

Ejemplo 6

Un ascensor admite entre 2 y 8 personas y como máximo 630 kg. Si cada persona pesa como mucho 90 kg, ¿puede subir el grupo máximo?

Dos condiciones simultáneas: número de personas \(n\in[2,8]\) y peso total \(P\le630\). Con 8 personas de 90 kg el peso máximo es \(8\cdot90=720\) kg, que supera 630. Por tanto no siempre puede subir: para estar seguro con personas de hasta 90 kg, \(n\le\dfrac{630}{90}=7\).

Ejemplo 7

La temperatura ideal de una cámara de fruta es \(4\ ^\circ\)C con una tolerancia de \(\pm1{,}5\ ^\circ\)C. ¿Es válida una medida de \(5{,}7\ ^\circ\)C?

La condición es \(|T-4|\le1{,}5\), es decir \(T\in[2{,}5;\ 5{,}5]\). Como \(|5{,}7-4|=1{,}7>1{,}5\), la medida no es válida: la cámara está \(0{,}2\ ^\circ\)C por encima del límite.

Ejemplo 8

Se mide un campo de fútbol de \(105\) m y se obtiene \(104{,}4\) m. Calcula los dos errores.

\(E_a=|105-104{,}4|=0{,}6\) m. \(E_r=\dfrac{0{,}6}{105}\approx0{,}0057=0{,}57\ \%\). Es un error pequeño porque el campo es largo.