Sistemas de ecuaciones – matemáticas 2º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Sustituimos \(x=2\), \(y=1\) en las dos ecuaciones: \(2+1=3\) y \(2\cdot2-1=3\). Sí, cumple las dos.
   2. Sustituimos \(x=3\), \(y=-1\): \(3+2\cdot(-1)=1\) y \(3\cdot3-(-1)=10\neq8\). No es solución.
   3. Sustituimos \(x=4\), \(y=2\): \(4-2=2\) pero \(4+2=6\neq5\). No es solución.
   4. Buscamos un par que cumpla solo la primera: Por ejemplo, \((1,4)\): \(1+4=5\) pero \(1-4=-3\neq1\). La solución del sistema es \((3,2)\).

   Un par es solución únicamente si cumple las dos ecuaciones a la vez.

2. Solución del ejercicio 2

   1. Las rectas tienen pendientes \(-1\) y \(1\): se cortan en un punto. Sumando: \(2x=6\), \(x=3\), \(y=2\). Compatible determinado: solución \((3,2)\).
   2. La segunda ecuación es el doble de la primera: son la misma recta. Tiene infinitas soluciones: compatible indeterminado.
   3. Las dos rectas tienen pendiente \(-1\) y ordenadas distintas (\(y=3-x\) e \(y=5-x\)): son paralelas. No hay solución: incompatible.

3. Solución del ejercicio 3

   1. La \(y\) ya está despejada; la sustituimos en la segunda. \(3x+(2x-1)=9\), \(5x=10\), \(x=2\), \(y=2\cdot2-1=3\). Solución: \((2,3)\).
   2. La \(x\) ya está despejada; la sustituimos. \((y+1)+2y=7\), \(3y=6\), \(y=2\), \(x=3\). Solución: \((3,2)\).
   3. Despejamos \(y\) en la primera, que tiene coeficiente 1. De la primera, \(y=12-x\). Entonces \(3x-(12-x)=8\), \(4x=20\), \(x=5\), \(y=7\). Solución: \((5,7)\).

   Al final calculamos la otra incógnita en la ecuación despejada y comprobamos.

4. Solución del ejercicio 4

   1. La \(x\) de la segunda ecuación tiene coeficiente 1. De la segunda, \(x=y+1\). Entonces \(2(y+1)+y=8\), \(3y=6\), \(y=2\), \(x=3\). Comprobación: \(2\cdot3+2=8\).
   2. La \(y\) de la segunda tiene coeficiente \(-1\). De la segunda, \(y=2x-1\). Entonces \(x+3(2x-1)=11\), \(7x=14\), \(x=2\), \(y=3\). Comprobación: \(2+9=11\).

   Elegir bien la incógnita evita fracciones en los cálculos.

5. Solución del ejercicio 5

   1. Las dos ecuaciones ya tienen la \(y\) despejada; las igualamos. \(3x-2=x+4\), \(2x=6\), \(x=3\), \(y=7\). Solución: \((3,7)\).
   2. Despejamos \(y\) en las dos ecuaciones e igualamos: De la primera \(y=11-2x\) y de la segunda \(y=x+2\). Igualamos: \(11-2x=x+2\), \(9=3x\), \(x=3\), \(y=5\).
   3. Las dos ecuaciones tienen la \(x\) despejada: \(2y+1=5-y\), \(3y=4\), \(y=\dfrac{4}{3}\), \(x=2\cdot\dfrac{4}{3}+1=\dfrac{11}{3}\).

   Comprobación del primero: \(7=3\cdot3-2\) y \(7=3+4\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. Los coeficientes de \(y\) son opuestos; sumamos. Sumando: \(2x=14\), \(x=7\), \(y=3\).
   2. Los términos en \(y\) son opuestos: sumamos las ecuaciones. Sumando: \(8x=32\), \(x=4\); \(12+2y=16\), \(y=2\).
   3. Preparamos coeficientes opuestos en \(y\): Multiplicamos la segunda por 3: \(12x-3y=15\). Sumando con la primera: \(14x=28\), \(x=2\); \(4+3y=13\), \(y=3\).

   En reducción buscamos que una incógnita tenga coeficientes opuestos para que desaparezca.

7. Solución del ejercicio 7

   1. Multiplicamos la primera por 2 y la segunda por 3: \(6x+4y=14\) y \(6x+15y=36\). Restando: \(11y=22\), \(y=2\); \(3x+4=7\), \(x=1\).
   2. Multiplicamos la primera por 4 y la segunda por 3: \(20x-12y=4\) y \(6x+12y=48\). Sumando: \(26x=52\), \(x=2\); \(10-3y=1\), \(y=3\). Comprobación: \(2\cdot2+4\cdot3=16\).

8. Solución del ejercicio 8

   1. Primera: \(2x+2-y=3\), es decir, \(2x-y=1\). Segunda: \(3x-2y+2=2\), es decir, \(3x-2y=0\). De la primera, \(y=2x-1\); entonces \(3x-4x+2=0\), \(x=2\), \(y=3\). Comprobación: \(2\cdot3-3=3\) y \(6-2\cdot2=2\).
   2. Primera: \(3x-3=y+1\), es decir, \(y=3x-4\). Segunda: \(x+2y-2=11\), es decir, \(x+2y=13\). Sustituyendo: \(x+2(3x-4)=13\), \(7x=21\), \(x=3\), \(y=5\). Comprobación: \(3\cdot2=6=5+1\) y \(3+2\cdot4=11\).

9. Solución del ejercicio 9

   1. Multiplicamos cada ecuación por el mcm de sus denominadores y aplicamos reducción: Primera por 6: \(3x+2y=30\). Segunda por 12: \(3x-2y=6\). Sumando: \(6x=36\), \(x=6\). Entonces \(18+2y=30\), \(y=6\). Comprobación: \(3+2=5\) y \(1{,}5-1=0{,}5\).

   Con los denominadores eliminados el sistema se resuelve como cualquier otro.

10. Solución del ejercicio 10

    1. Traducimos las dos frases del enunciado: \(\begin{cases}x+y=40\\x=3y\end{cases}\).
    2. Sustituimos \(x=3y\) en la primera: \(3y+y=40\), \(4y=40\), \(y=10\), \(x=30\).
    3. Dentro de \(t\) años los dos tendrán \(t\) años más: Dentro de \(t\) años: \(30+t=2(10+t)\), \(30+t=20+2t\), \(t=10\) años (padre 40 e hijo 20).
    4. Sustituimos en las dos ecuaciones: \(30+10=40\) y \(30=3\cdot10\).

11. Solución del ejercicio 11

    1. Cada grupo da una ecuación con los precios \(a\) y \(n\): \(\begin{cases}2a+3n=31\\a+2n=18\end{cases}\).
    2. Despejamos \(a\) en la segunda y sustituimos: De la segunda, \(a=18-2n\). Entonces \(36-4n+3n=31\), \(n=5\), \(a=8\).
    3. Usamos los precios obtenidos: \(3\cdot8+4\cdot5=44\) €.
    4. Calculamos el 20 % del gasto en entradas infantiles: Las tres entradas infantiles cuestan \(15\) €; el 20 % es \(3\) €. Se ahorra 3 €.

    Comprobación: \(2\cdot8+3\cdot5=31\) € y \(8+2\cdot5=18\) €.

12. Solución del ejercicio 12

    1. Cada compra da una ecuación: \(\begin{cases}3a+2b=32\\2a+5b=36\end{cases}\).
    2. Preparamos coeficientes iguales en \(b\) y restamos: Primera por 5 y segunda por 2: \(15a+10b=160\) y \(4a+10b=72\). Restando: \(11a=88\), \(a=8\); \(24+2b=32\), \(b=4\).
    3. Sumamos un kilo de cada tipo: \(8+4=12\) €.
    4. Dividimos el coste total entre los kilos: Coste: \(2\cdot8+3\cdot4=28\) € por 5 kg: \(28:5=5{,}60\) €/kg.

13. Solución del ejercicio 13

    1. El semiperímetro es 18 m y la diferencia entre largo y ancho es 4 m: Con largo \(x\) y ancho \(y\): \(\begin{cases}x+y=18\\x-y=4\end{cases}\).
    2. Sumamos las dos ecuaciones: Sumando: \(2x=22\), \(x=11\), \(y=7\).
    3. Multiplicamos largo por ancho: \(11\cdot7=77\) m².
    4. Multiplicamos el área por el precio: \(77\cdot2{,}5=192{,}50\) €.

    Comprobación: \(2\cdot(11+7)=36\) m.

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(\begin{cases}x+y=25\\x+2y=38\end{cases}\) con \(x\) monedas de 1 € e \(y\) de 2 €.
    2. \(x=25-y\); entonces \(25-y+2y=38\), \(y=13\), \(x=12\).
    3. 12 monedas de 1 € y 13 monedas de 2 €.
    4. 12 € dan 2 billetes de 5 € (10 €) y sobran 2 €.

15. Solución del ejercicio 15

    1. Cada grupo aporta una ecuación: \(\begin{cases}3a+2n=41\\2a+4n=42\end{cases}\).
    2. Multiplicamos la primera por 2 para igualar los coeficientes de \(n\): Primera por 2: \(6a+4n=82\). Restando la segunda: \(4a=40\), \(a=10\). Entonces \(30+2n=41\), \(n=5{,}5\).
    3. Interpretamos los valores: Adulto: 10 €. Niño: 5,50 €. Juntos: 15,50 €.
    4. Sustituimos en la expresión del nuevo grupo: \(4\cdot10+3\cdot5{,}5=56{,}50\) €.

    Comprobación: \(2\cdot10+4\cdot5{,}5=42\) €.

16. Solución del ejercicio 16

    1. Una ecuación para la distancia y otra para el tiempo: \(\begin{cases}x+y=300\\\dfrac{x}{100}+\dfrac{y}{60}=3{,}5\end{cases}\).
    2. Eliminamos denominadores y aplicamos reducción: La segunda por 300: \(3x+5y=1\,050\). De la primera, \(3x+3y=900\). Restando: \(2y=150\), \(y=75\), \(x=225\).
    3. Tiempo = distancia : velocidad en cada tramo: Autovía: \(\dfrac{225}{100}=2{,}25\) h. Carretera: \(\dfrac{75}{60}=1{,}25\) h. Suman \(3{,}5\) h.
    4. Distancia total entre tiempo total: \(\dfrac{300}{3{,}5}\approx85{,}7\) km/h.

17. Solución del ejercicio 17

    1. Las dos compras de fruta se traducen en dos ecuaciones lineales: \(\begin{cases}4n+3p=12\\2n+5p=13\end{cases}\).
    2. Multiplicamos la segunda por 2 y restamos: Segunda por 2: \(4n+10p=26\). Restando la primera: \(7p=14\), \(p=2\); \(4n+6=12\), \(n=1{,}5\).
    3. Usamos los precios por kilo: \(6\cdot1{,}5+4\cdot2=9+8=17\) €.
    4. Un 10 % de descuento deja el 90 %: \(2\cdot0{,}9=1{,}80\) €.

    Comprobación: \(4\cdot1{,}5+3\cdot2=12\) €.

18. Solución del ejercicio 18

    1. Una ecuación cuenta las preguntas y otra los puntos: \(\begin{cases}a+f=20\\3a-f=36\end{cases}\).
    2. Los coeficientes de \(f\) son opuestos; sumamos: Sumando: \(4a=56\), \(a=14\), \(f=6\).
    3. Interpretamos la incógnita \(f\): Ha fallado 6.
    4. Recalculamos los puntos: Con 16 aciertos y 4 fallos: \(3\cdot16-4=44\) puntos.

    Comprobación: \(3\cdot14-6=36\) puntos.

19. Solución del ejercicio 19

    1. Una ecuación para el volumen y otra para el concentrado: \(\begin{cases}x+y=10\\0{,}2x+0{,}5y=3{,}5\end{cases}\).
    2. Quitamos decimales y restamos: La segunda por 10: \(2x+5y=35\). De la primera, \(2x+2y=20\). Restando: \(3y=15\), \(y=5\), \(x=5\).
    3. Calculamos el 35 % de 10 litros: \(0{,}35\cdot10=3{,}5\) L de concentrado puro.
    4. Cambiamos el segundo miembro y resolvemos de nuevo: \(2x+5y=40\) y \(2x+2y=20\): \(3y=20\), \(y=\dfrac{20}{3}\approx6{,}67\) L y \(x\approx3{,}33\) L.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Sea \(x\) la cifra de las decenas e \(y\) la de las unidades: \(x+y=9\) y \(10y+x=10x+y+27\), es decir, \(y-x=3\). Sumando: \(2y=12\), \(y=6\), \(x=3\). El número es 36 (y \(63-36=27\)).
    2. Es incompatible cuando las rectas son paralelas: \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{k}\neq\dfrac{3}{7}\), luego \(k=4\).
    3. Por ejemplo, \(\begin{cases}x+y=5\\2x+2y=10\end{cases}\): la segunda ecuación es el doble de la primera.
    4. De la segunda, \(x=y\). De la tercera, \(z=4-y\). En la primera: \(y+y+4-y=6\), \(y=2\). Solución: \(x=2\), \(y=2\), \(z=2\).