Sistemas de ecuaciones – matemáticas 3º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Primera: \(3+2=5\) (se cumple). Segunda: \(3-2=1\) (se cumple). Sí es solución. Un par es solución si cumple las dos ecuaciones.
   2. Primera: \(2+3=5\) (se cumple). Segunda: \(2-3=-1\neq1\). No es solución. Basta con que falle una ecuación para que no sea solución.
   3. Primera: \(4+1=5\) (se cumple). Segunda: \(4-1=3\neq1\). Solo cumple la primera, así que no es solución del sistema. Respuesta: \((4,1)\) no es solución del sistema.

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(y=8-2x\). Pasamos \(2x\) al segundo miembro.
   2. \(x=0\): \(y=8\); \(x=1\): \(y=6\); \(x=2\): \(y=4\); \(x=3\): \(y=2\). Sustituimos cada valor de \(x\) en \(y=8-2x\).
   3. Por ejemplo \((0,8)\), \((2,4)\) y \((4,0)\). Comprobación de \((2,4)\): \(2\cdot2+4=8\).
   4. Tiene infinitas soluciones. Su gráfica es una recta. A cada valor de \(x\) le corresponde una solución distinta.

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(3x+(2x-1)=14\), \(5x=15\), \(x=3\) e \(y=2\cdot3-1=5\). Comprobación: \(9+5=14\). Respuesta: \((3,5)\).
   2. \(2(y+4)+3y=18\), \(5y+8=18\), \(y=2\) y \(x=6\). Comprobación: \(12+6=18\). Respuesta: \((6,2)\).
   3. De la primera, \(x=10-2y\). Entonces \(3(10-2y)-y=9\), \(30-7y=9\), \(y=3\) y \(x=4\). Comprobación: \(4+6=10\) y \(12-3=9\). Respuesta: \((4,3)\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(3x-2=x+4\), \(2x=6\), \(x=3\) e \(y=7\). Comprobación: \(9-2=7\) y \(3+4=7\). Respuesta: \((3,7)\).
   2. \(2y+1=3y-2\), \(3=y\), \(y=3\) y \(x=7\). Comprobación: \(2\cdot3+1=7\) y \(3\cdot3-2=7\). Respuesta: \((7,3)\).
   3. Despejamos \(y\): \(y=5-x\) e \(y=2x-1\). Igualamos: \(5-x=2x-1\), \(6=3x\), \(x=2\) e \(y=3\). Comprobación: \(2+3=5\) y \(4-3=1\). Respuesta: \((2,3)\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. Las \(y\) ya son opuestas: sumamos, \(6x=18\), \(x=3\). Entonces \(6+3y=12\), \(y=2\). Comprobación: \(12-6=6\). Respuesta: \((3,2)\).
   2. Multiplicamos la primera por 5 y la segunda por 2: \(15x+10y=80\) y \(4x-10y=-4\). Sumamos: \(19x=76\), \(x=4\). Entonces \(12+2y=16\), \(y=2\). Comprobación: \(8-10=-2\). Respuesta: \((4,2)\).
   3. Multiplicamos la primera por 2: \(10x-4y=8\). Sumamos con la segunda: \(13x=26\), \(x=2\). Entonces \(10-2y=4\), \(y=3\). Comprobación: \(6+12=18\). Respuesta: \((2,3)\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. Las pendientes son distintas: sumando, \(2x=6\), \(x=3\) e \(y=2\). Compatible determinado.
   2. La segunda ecuación es el doble de la primera: son la misma recta. Compatible indeterminado, con infinitas soluciones.
   3. No existen dos números que sumen 3 y 5 a la vez. Incompatible.
   4. Determinado: dos rectas que se cortan en un punto. Indeterminado: dos rectas que coinciden. Incompatible: dos rectas paralelas que no se cortan.

7. Solución del ejercicio 7

   1. Primera: \(3x-3+2y=9\), es decir, \(3x+2y=12\). Segunda: \(x+2y+2=10\), es decir, \(x+2y=8\). Restando: \(2x=4\), \(x=2\). Entonces \(2+2y=8\), \(y=3\). Comprobación: \(3\cdot1+6=9\) y \(2+8=10\). Respuesta: \((2,3)\).
   2. Multiplicamos la primera por 6: \(3x+2y=18\). De la segunda, \(x=y+1\). Sustituimos: \(3y+3+2y=18\), \(5y=15\), \(y=3\) y \(x=4\). Comprobación: \(2+1=3\). Respuesta: \((4,3)\).

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(y=4-x\) e \(y=x-2\).
   2. Primera: \((0,4)\), \((2,2)\), \((4,0)\). Segunda: \((0,-2)\), \((2,0)\), \((4,2)\). Damos a \(x\) los valores indicados en cada recta.
   3. Las rectas se cortan en el punto \((3,1)\).
   4. Sumando las ecuaciones: \(2x=6\), \(x=3\) e \(y=1\). Comprobación: \(3+1=4\) y \(3-1=2\). Respuesta: la solución es \((3,1)\).

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(\begin{cases}3x+2y=7{,}40\\ 2x+3y=6{,}60\end{cases}\) Cada compra da una ecuación: precio de los cuadernos más precio de los bolígrafos.
   2. Multiplicamos la primera por 3 y la segunda por 2: \(9x+6y=22{,}2\) y \(4x+6y=13{,}2\). Restamos: \(5x=9\), \(x=1{,}8\). Entonces \(3{,}6+3y=6{,}6\), \(y=1\).
   3. Cuaderno: 1,80 €. Bolígrafo: 1 €.
   4. \(3\cdot1{,}8+2\cdot1=5{,}4+2=7{,}40\) y \(2\cdot1{,}8+3\cdot1=3{,}6+3=6{,}60\). Las dos compras coinciden.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(\begin{cases}3x+2y=34\\ 2x+4y=36\end{cases}\) Cada familia da una ecuación.
    2. \(x+2y=18\). Así los números son más pequeños.
    3. Restamos la segunda simplificada de la primera: \(2x=16\), \(x=8\) e \(y=5\). Adulto: 8 €; niño: 5 €. Comprobación: \(24+10=34\).
    4. \(2\cdot8+20\cdot5=16+100=116\) €. Respuesta: la clase pagaría 116 €.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(\begin{cases}x+y=52\\ x=3y+4\end{cases}\) «4 años más que el triple» se escribe \(3y+4\).
    2. \(3y+4+y=52\), \(4y=48\), \(y=12\) y \(x=40\). Sustituimos \(x\) en la primera ecuación.
    3. El padre tiene 40 años y el hijo 12. Comprobación: \(40+12=52\) y \(3\cdot12+4=40\).
    4. \(40-12=28\) años. Respuesta: el padre tenía 28 años.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(\begin{cases}x+y=25\\ x+2y=38\end{cases}\) Una ecuación cuenta las monedas y la otra el dinero.
    2. Restamos la primera de la segunda: \(y=13\). Entonces \(x=25-13=12\). Las \(x\) tienen el mismo coeficiente, así que restamos las ecuaciones.
    3. Hay 12 monedas de 1 € y 13 de 2 €. Respuesta: 12 monedas de 1 € y 13 de 2 €.
    4. \(12+13=25\) monedas y \(12\cdot1+13\cdot2=12+26=38\) €. Las dos condiciones se cumplen.

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(\begin{cases}x+y=10\\ 12x+8y=96\end{cases}\) Una ecuación cuenta los kilos y la otra el dinero.
    2. \(y=10-x\): \(12x+8(10-x)=96\), \(4x+80=96\), \(x=4\) e \(y=6\).
    3. 4 kg de almendras y 6 kg de nueces. Comprobación: \(48+48=96\) €.
    4. \(96:10=9{,}60\) € por kilo. Respuesta: el kilo de mezcla sale a 9,60 €.

14. Solución del ejercicio 14

    1. A favor: \(\dfrac{36}{2}=18\) km/h. En contra: \(\dfrac{36}{3}=12\) km/h. Velocidad es distancia entre tiempo.
    2. \(\begin{cases}x+y=18\\ x-y=12\end{cases}\) A favor de la corriente las velocidades se suman y en contra se restan.
    3. Sumando: \(2x=30\), \(x=15\) km/h. Entonces \(y=3\) km/h.
    4. A favor: \(15+3=18\) km/h, \(36:18=2\) h. En contra: \(15-3=12\) km/h, \(36:12=3\) h. Respuesta: el barco va a 15 km/h y la corriente a 3 km/h.

15. Solución del ejercicio 15

    1. El semiperímetro es 27: \(x+y=27\) y \(x=2y+3\). La mitad del perímetro es la suma del largo y el ancho.
    2. \(2y+3+y=27\), \(3y=24\), \(y=8\) y \(x=19\). Sustituimos \(x\) en la primera ecuación. Comprobación: \(2(19+8)=54\).
    3. Área \(=19\cdot8=152\) m\(^2\). Multiplicamos el largo por el ancho.
    4. \(54\cdot18=972\) €. Multiplicamos el perímetro por el precio de cada metro. Respuesta: 972 €.

16. Solución del ejercicio 16

    1. Número: \(10a+b\). Invertido: \(10b+a\). Las decenas valen 10 veces su cifra y las unidades valen su cifra.
    2. \(a+b=11\) y \(10b+a=10a+b+27\), es decir, \(9b-9a=27\) y \(b-a=3\). Agrupamos y dividimos entre 9 para simplificar.
    3. Sumando \(a+b=11\) y \(b-a=3\): \(2b=14\), \(b=7\) y \(a=4\). El número es 47. Sumamos las ecuaciones para eliminar \(a\).
    4. \(4+7=11\) y \(74-47=27\). Respuesta: el número es 47.

17. Solución del ejercicio 17

    1. \(\begin{cases}x+y=9\\ 50x+20y=300\end{cases}\) Una ecuación cuenta los vehículos y la otra las plazas.
    2. \(y=9-x\): \(50x+20(9-x)=300\), \(30x+180=300\), \(30x=120\), \(x=4\) e \(y=5\).
    3. 4 autobuses y 5 microbuses. Comprobación: \(200+100=300\) plazas.
    4. \(4\cdot180+5\cdot90=720+450=1\,170\) €. Respuesta: el transporte cuesta 1 170 €.

18. Solución del ejercicio 18

    1. A: \(y=30+20x\). B: \(y=10+25x\). Cada gasto es la inscripción más la cuota por el número de meses.
    2. \(30+20x=10+25x\), \(20=5x\), \(x=4\) meses. Igualamos los dos gastos y despejamos \(x\).
    3. \(30+80=110\) € (y \(10+100=110\) €). Respuesta: a los 4 meses los dos cuestan 110 €.
    4. A los 12 meses: A \(=30+240=270\) € y B \(=10+300=310\) €. Conviene el gimnasio A. Respuesta: para un año conviene el gimnasio A.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(\begin{cases}2x+3y=19{,}5\\ 3x+2y=23\end{cases}\) Cada pedido da una ecuación.
    2. Multiplicamos la primera por 3 y la segunda por 2: \(6x+9y=58{,}5\) y \(6x+4y=46\). Restamos: \(5y=12{,}5\), \(y=2{,}5\). Entonces \(2x+7{,}5=19{,}5\), \(x=6\). Pizza: 6 €; refresco: 2,50 €. En la segunda compra: \(3\cdot6+2\cdot2{,}5=23\).
    3. \(4\cdot6+5\cdot2{,}5=24+12{,}5=36{,}50\) €. Multiplicamos cada precio por la cantidad y sumamos.
    4. Son 4 pizzas y 8 refrescos: \(4\cdot6+8\cdot2{,}5=24+20=44\) €. Ocho medias pizzas son 4 pizzas enteras.

20. Solución del ejercicio 20

    1. La segunda ecuación es el doble de la primera si \(k=6\): indeterminado. Si \(k\neq6\) las rectas son paralelas y el sistema es incompatible.
    2. Como \(x-y=2\): \((x+y)\cdot2=20\), \(x+y=10\). Sumando con \(x-y=2\): \(2x=12\), \(x=6\) e \(y=4\). Comprobación: \(36-16=20\).
    3. \(\begin{cases}m+n=2\\ 3m+n=8\end{cases}\). Restando: \(2m=6\), \(m=3\) y \(n=-1\). La recta es \(y=3x-1\).
    4. Padre \(x\) e hijo \(y\): \(x=3y\) y \(x-4=5(y-4)\). Sustituyendo: \(3y-4=5y-20\), \(16=2y\), \(y=8\) y \(x=24\). Hace 4 años: \(20=5\cdot4\).