Funciones lineales y afines – matemáticas 2º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. El cociente \(\dfrac{y}{x}=3\) es constante: proporcionalidad directa, \(y=3x\).
   2. \(y\) aumenta 2 cuando \(x\) aumenta 1, pero \(\dfrac{y}{x}\) no es constante (\(5,\ 3{,}5,\ 3\dots\)). Es una función afín: \(y=2x+3\).
   3. \(\dfrac{y}{x}=\dfrac{5}{2}=2{,}5\) constante y pasa por el origen: \(y=2{,}5x\).
   4. \(y\) disminuye 2 cada vez que \(x\) aumenta 1: pendiente \(-2\). Con \(x=1\), \(y=8\): \(y=-2x+10\). No es proporcional.

2. Solución del ejercicio 2

   1. Sustituimos cada valor de \(x\) en la fórmula: \(f(-2)=2\cdot(-2)-3=-7\); \(f(0)=-3\); \(f(4)=8-3=5\).
   2. Igualamos la función a 9 y despejamos: \(2x-3=9\), \(2x=12\), \(x=6\).
   3. Igualamos a 0; el resultado es el corte con el eje \(X\): \(2x-3=0\), \(x=\dfrac{3}{2}=1{,}5\).
   4. Un punto pertenece a la gráfica si al sustituir \(x\) se obtiene su \(y\): \(f(5)=10-3=7\). El punto \((5,7)\) sí pertenece a la gráfica y el \((5,8)\) no.

3. Solución del ejercicio 3

   1. Comparamos con \(y=mx+n\): \(m=3\), \(n=1\). Creciente porque \(m>0\).
   2. La \(x\) está multiplicada por \(-\frac12\): \(m=-\dfrac{1}{2}\), \(n=4\). Decreciente porque \(m<0\).
   3. No aparece la \(x\), así que la pendiente es cero: \(m=0\), \(n=5\). Constante (recta horizontal).
   4. No hay término independiente, así que \(n=0\): \(m=-2\), \(n=0\). Decreciente; pasa por el origen.

   El signo de la pendiente decide si la recta sube o baja de izquierda a derecha.

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(x=-2\): \(-5\); \(x=-1\): \(-3\); \(x=0\): \(-1\); \(x=1\): \(1\); \(x=2\): \(3\).
   2. Se marcan los puntos \((-2,-5),(-1,-3),(0,-1),(1,1),(2,3)\) y se traza la recta que los une.
   3. Eje \(Y\): \(x=0\), \(y=-1\), punto \((0,-1)\). Eje \(X\): \(y=0\), \(2x-1=0\), \(x=\dfrac{1}{2}\), punto \(\left(\dfrac{1}{2},0\right)\).
   4. \(2\cdot10-1=19\). Sí pasa por \((10,19)\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. Para el eje \(Y\) hacemos \(x=0\); para el eje \(X\), \(y=0\). Eje \(Y\): \((0,6)\). Eje \(X\): \(-3x+6=0\), \(x=2\), punto \((2,0)\).
   2. Con \(x=0\) obtenemos la ordenada en el origen: Eje \(Y\): \((0,1)\). Eje \(X\): \(\dfrac{x}{2}+1=0\), \(x=-2\), punto \((-2,0)\).
   3. Primero despejamos \(y\) para tener la forma explícita: Despejamos: \(2y=8-4x\), \(y=-2x+4\). Eje \(Y\): \((0,4)\). Eje \(X\): \(-2x+4=0\), \(x=2\), punto \((2,0)\).

   Con los dos cortes ya se puede dibujar cada recta.

6. Solución del ejercicio 6

   1. Restamos ordenadas y abscisas en el mismo orden: \(m=\dfrac{8-2}{4-1}=\dfrac{6}{3}=2\).
   2. Atención a restar un número negativo: \(m=\dfrac{-3-5}{2-(-2)}=\dfrac{-8}{4}=-2\).
   3. Las dos ordenadas son iguales: \(m=\dfrac{3-3}{6-0}=0\): recta horizontal.
   4. Las dos abscisas son iguales: \(m=\dfrac{7-1}{2-2}=\dfrac{6}{0}\) no existe: es una recta vertical \(x=2\), que no es la gráfica de una función.

   La pendiente indica cuánto cambia \(y\) por cada unidad que aumenta \(x\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. Sustituimos el punto en \(y=3x+n\) para hallar \(n\): \(y=3x+n\). Con \((1,5)\): \(5=3+n\), \(n=2\). \(y=3x+2\).
   2. Sustituimos el punto en \(y=-2x+n\): \(y=-2x+n\). Con \((-1,4)\): \(4=2+n\), \(n=2\). \(y=-2x+2\).
   3. Calculamos la pendiente con los dos puntos; el primero da directamente \(n\): \(m=\dfrac{7-1}{3-0}=2\) y \(n=1\) (corta al eje \(Y\) en 1). \(y=2x+1\).
   4. Calculamos la pendiente y después \(n\) con uno de los puntos: \(m=\dfrac{1-3}{6-2}=-\dfrac{1}{2}\). Con \((2,3)\): \(3=-1+n\), \(n=4\). \(y=-\dfrac{1}{2}x+4\).

   Comprueba siempre que el otro punto también cumple la ecuación.

8. Solución del ejercicio 8

   1. Comparamos las pendientes: Las dos tienen pendiente 2 y ordenadas distintas: son paralelas (no se cortan).
   2. Igualamos las dos expresiones de \(y\) y sustituimos: \(x+3=-x+7\), \(2x=4\), \(x=2\), \(y=5\). Punto \((2,5)\).
   3. Igualamos y despejamos \(x\): \(3x-2=2x+1\), \(x=3\), \(y=7\). Punto \((3,7)\).
   4. Una paralela conserva la pendiente: Pendiente \(-1\) y ordenada 5: \(y=-x+5\).

9. Solución del ejercicio 9

   1. Parte fija más 1,50 € por entrada: \(C(x)=12+1{,}5x\).
   2. Sustituimos \(x=10\): \(C(10)=12+15=27\) €.
   3. Igualamos el coste a 45 y despejamos: \(12+1{,}5x=45\), \(1{,}5x=33\), \(x=22\) entradas.
   4. Pendiente y ordenada tienen un significado en el problema: Pendiente 1,5: cada entrada cuesta 1,50 €. Ordenada 12: el bono cuesta 12 € aunque no se use ninguna entrada.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(d(t)=80t\). Valores: \(0;\ 40;\ 80;\ 160;\ 240\) km.
    2. Sí, es de proporcionalidad directa. Pasa por el origen porque con \(t=0\) no se ha recorrido nada.
    3. \(80t=360\), \(t=4{,}5\) h.
    4. El segundo: \(100(t-1)\). Igualamos: \(80t=100t-100\), \(100=20t\), \(t=5\) h tras salir el primero; distancia: \(400\) km.

11. Solución del ejercicio 11

    1. Cada kilómetro gasta \(6:100=0{,}06\) litros. Consume 0,06 L/km: \(V(x)=45-0{,}06x\).
    2. Sustituimos \(x=250\): \(V(250)=45-15=30\) L.
    3. Igualamos los litros a 5: \(45-0{,}06x=5\), \(0{,}06x=40\), \(x\approx666{,}7\) km.
    4. Igualamos los litros a 0: \(45-0{,}06x=0\), \(x=750\) km.

    La función es decreciente porque el depósito se vacía.

12. Solución del ejercicio 12

    1. Temperatura inicial más 5 °C por minuto: \(T(t)=20+5t\). Valores: 20, 30, 40, 50 °C.
    2. Igualamos a 100 °C y despejamos: \(20+5t=100\), \(5t=80\), \(t=16\) min.
    3. Bastan dos puntos para trazar una recta: Se marcan \((0,20)\) y \((16,100)\) y se traza la recta.
    4. Interpretamos los coeficientes: Pendiente 5: sube 5 °C por minuto. Ordenada 20: temperatura inicial.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Lucía: \(L(x)=40+15x\). Marcos: \(M(x)=100+5x\).
    2. Semana 0: 40 y 100; 1: 55 y 105; 2: 70 y 110; 3: 85 y 115; 4: 100 y 120; 5: 115 y 125; 6: 130 y 130.
    3. \(40+15x=100+5x\), \(10x=60\), \(x=6\) semanas (130 € cada uno).
    4. Semana 10: Lucía \(190\) €, Marcos \(150\) €. Lucía tiene 40 € más.

14. Solución del ejercicio 14

    1. Altura inicial menos lo que se consume: \(h(t)=24-1{,}5t\).
    2. Sustituimos \(t=6\): \(h(6)=24-9=15\) cm.
    3. La vela se acaba cuando la altura es cero: \(24-1{,}5t=0\), \(t=16\) h.
    4. Solo tienen sentido los tiempos entre el encendido y el final: El tiempo no es negativo y la vela se acaba a las 16 horas: dominio \(0\le t\le16\).

    Es una función afín decreciente de pendiente \(-1{,}5\).

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(A(x)=30+0{,}2x\) y \(B(x)=50+0{,}1x\).
    2. 100 km: A 50 €, B 60 €. 200 km: A 70 €, B 70 €. 300 km: A 90 €, B 80 €.
    3. \(30+0{,}2x=50+0{,}1x\), \(0{,}1x=20\), \(x=200\) km (70 € en ambas).
    4. 250 km: A \(80\) € y B \(75\) €: conviene B. 120 km: A \(54\) € y B \(62\) €: conviene A.
    5. Las rectas se cortan en \((200,70)\); a la izquierda A está por debajo y a la derecha B está por debajo.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(h(t)=12+2{,}5t\). Semanas 0 a 4: 12; 14,5; 17; 19,5; 22 cm.
    2. \(h(10)=12+25=37\) cm.
    3. \(12+2{,}5t=50\), \(2{,}5t=38\), \(t=15{,}2\) semanas.
    4. \(12+2{,}5t=30+t\), \(1{,}5t=18\), \(t=12\) semanas (42 cm).
    5. A las 30 semanas: primera \(87\) cm, segunda \(60\) cm. La primera es más alta.

17. Solución del ejercicio 17

    1. Uno parte de 30 m y sube; el otro parte de 150 m y baja: Primero: \(h_1=30+4t\). Segundo: \(h_2=150-6t\).
    2. Igualamos las alturas: \(30+4t=150-6t\), \(10t=120\), \(t=12\) s. Altura: \(30+48=78\) m.
    3. El segundo llega al suelo cuando su altura es 0: \(150-6t=0\), \(t=25\) s.
    4. Sustituimos \(t=25\) en la del primero: \(h_1(25)=30+100=130\) m.

    Comprobación: \(150-6\cdot12=78\) m.

18. Solución del ejercicio 18

    1. Los costes tienen parte fija y parte variable; los ingresos, solo variable: \(C(x)=200+4x\) e \(I(x)=9x\).
    2. Restamos los costes a los ingresos, cambiando los signos del paréntesis: \(B(x)=9x-(200+4x)=5x-200\).
    3. No hay pérdidas a partir de beneficio cero: \(5x-200=0\), \(x=40\) camisetas.
    4. Sustituimos \(x=100\): \(B(100)=500-200=300\) €.

    Cada camiseta deja 5 € de margen, que primero cubre los 200 € fijos.

19. Solución del ejercicio 19

    1. Calculamos la pendiente con los dos puntos: \(m=\dfrac{300-500}{10-0}=-20\): pierde 20 litros por minuto.
    2. La ordenada en el origen es el volumen inicial: \(V(t)=500-20t\).
    3. Se vacía cuando \(V=0\): \(500-20t=0\), \(t=25\) min.
    4. Sustituimos y resolvemos: \(V(7)=500-140=360\) L. \(500-20t=100\), \(20t=400\), \(t=20\) min.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Calculamos los cortes con los ejes: Cortes: \((0,6)\) y \((3,0)\). Triángulo rectángulo con catetos 3 y 6: área \(=\dfrac{3\cdot6}{2}=9\).
    2. Sustituimos \(x=2\) en la recta: \(k=3\cdot2-1=5\).
    3. Hallamos la recta por \(A\) y \(B\) e imponemos que pase por \(C\): Pendiente \(AB\): \(\dfrac{5-1}{2-0}=2\); la recta es \(y=2x+1\). En \(x=5\): \(k=11\).
    4. Usamos la misma pendiente y el punto dado: Pendiente \(-1\): \(y=-x+n\). Con \((2,3)\): \(3=-2+n\), \(n=5\). \(y=-x+5\).