Teorema de Pitágoras – matemáticas 2º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF

Actividad de introducción: el marco de la ventana

Nuria quiere comprobar si el marco de una ventana, de 90 cm de ancho y 120 cm de alto, está bien escuadrado, es decir, si sus esquinas son ángulos rectos. Mide las diagonales: si miden 150 cm, el marco es perfecto, porque \(90^2+120^2=8\,100+14\,400=22\,500=150^2\). Ese es el teorema de Pitágoras en acción. Los albañiles, los carpinteros y los agrimensores llevan miles de años usando relaciones como 3-4-5 para trazar ángulos rectos con una cuerda. En este tema aprenderás a usar el teorema para calcular longitudes, a comprobar si un triángulo es rectángulo y a resolver problemas con escaleras, diagonales y distancias.

Observación

Un cuadrado de lado \(b+c\) se puede llenar con cuatro triángulos rectángulos iguales y un cuadrado de lado \(a\) en el centro, o con los mismos cuatro triángulos y dos cuadrados de lados \(b\) y \(c\). Las áreas restantes deben ser iguales: \(a^2=b^2+c^2\).

Diagonales, alturas y distancias

El teorema permite calcular la diagonal de un rectángulo (\(d=\sqrt{l^2+a^2}\)), la de un cuadrado (\(d=l\sqrt{2}\)), la altura de un triángulo isósceles o equilátero (dividiéndolo en dos triángulos rectángulos) y la distancia entre dos puntos de coordenadas conocidas. En un cuerpo geométrico, la diagonal de un ortoedro de aristas \(a\), \(b\) y \(c\) vale \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\), que se obtiene aplicando el teorema dos veces.

¿Sabías que?

Aunque el teorema lleva el nombre del griego Pitágoras, que vivió en el siglo VI antes de nuestra era, los babilonios ya conocían ternas pitagóricas mil años antes: una tablilla de arcilla llamada Plimpton 322 contiene una lista de ellas. Se conocen más de 300 demostraciones distintas del teorema, entre ellas una del presidente de Estados Unidos James Garfield. Los antiguos agrimensores egipcios usaban una cuerda con 12 nudos equidistantes para formar un triángulo de lados 3, 4 y 5 y trazar así ángulos rectos.

Estimar antes de calcular

Antes de usar la calculadora, estima el resultado: si los catetos miden 3 y 5, la hipotenusa debe ser mayor que 5 y menor que 8 (la suma de los catetos). Como \(\sqrt{34}\) está entre \(\sqrt{25}=5\) y \(\sqrt{36}=6\), el resultado 5,83 es razonable. Esta comprobación rápida permite detectar errores como olvidar una raíz o restar en lugar de sumar. En los problemas de la vida real, redondea al número de decimales que tenga sentido: una escalera se mide en centímetros, no en milésimas de milímetro.

Una idea de por qué funciona

Si construimos un cuadrado de lado \(b+c\) y colocamos dentro cuatro triángulos rectángulos iguales de catetos \(b\) y \(c\), queda un cuadrado inclinado de lado \(a\). El área total \((b+c)^2\) es igual a la de los cuatro triángulos \(4\cdot\dfrac{bc}{2}=2bc\) más el cuadrado interior \(a^2\). Entonces \(b^2+2bc+c^2=2bc+a^2\) y, restando \(2bc\), queda \(a^2=b^2+c^2\).

¿Sabías que…? Pitágoras sin Pitágoras

Mucho antes que los griegos, los babilonios ya conocían ternas como \((3,4,5)\): una tablilla de arcilla de hace unos 3 800 años, llamada Plimpton 322, recoge quince ternas pitagóricas. En Egipto, según una tradición, los agrimensores usaban una cuerda con 12 nudos igualmente espaciados para trazar ángulos rectos formando un triángulo de lados 3, 4 y 5.