📲 App gratuita Maths PDF para iPhone y AndroidDescargar →
Saltar al contenido
Maths PDF – Otto the owl teaching maths: free lessons, worksheets, quizzes and tests

Ecuaciones de primer grado – matemáticas 2º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF

Apuntes de ecuaciones de primer grado 2º ESO – Otto el búho, Maths PDF
Matemáticas 2º ESO – Apuntes – PDF
¿Prefieres un libro?El mismo curso en PDF listo para imprimir · 9,99 €Ver el libro

Estos apuntes de ecuaciones de primer grado de 2º ESO están pensados para alumnos de 13-14 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Resolución y problemas con ecuaciones de primer grado. Antes de empezar, conviene repasar proporcionalidad y porcentajes y expresiones algebraicas, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.

Apuntes de ecuaciones de primer grado 2º ESO: lo que vas a aprender

Las ecuaciones de primer grado son la herramienta principal del álgebra en 2.º de ESO. Aquí aprendes a resolverlas con rigor y a usarlas en problemas.

Actividad de introducción: la balanza de Nuria

En el laboratorio del instituto, Nuria equilibra una balanza de dos platos. En el plato izquierdo hay una bolsa que pesa \(x\) gramos y tres pesas de 50 g; en el plato derecho, una pesa de 500 g. Como la balanza está en equilibrio, sabemos que \(x+150=500\). Para averiguar cuánto pesa la bolsa, Nuria quita 150 g de cada plato: la balanza sigue equilibrada y queda \(x=350\). Eso es resolver una ecuación: hacer en los dos platos la misma operación para dejar la incógnita sola. En este tema aprenderás a hacerlo con ecuaciones cada vez más complejas, con paréntesis, denominadores y decimales, y a usarlas para resolver problemas de la vida diaria.

Figura – …is, denominadores y decimales, y a usarlas para resolver problemas de la vida diaria.x + 150500

Qué es una ecuación

Definición: ecuación de primer grado

Una ecuación de primer grado con una incógnita se puede escribir como \(ax+b=0\) con \(a\ne0\). La solución es el valor de \(x\) que cumple la igualdad: \(x=-\dfrac{b}{a}\).

Ecuaciones equivalentes y reglas de transposición

Regla: transposición

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. Se obtienen sumando o restando lo mismo a los dos miembros, o multiplicando o dividiendo ambos por un número distinto de 0. De aquí la transposición: lo que suma pasa restando y lo que multiplica pasa dividiendo.

Cómo resolver paso a paso

Método: resolver una ecuación

  1. Quita paréntesis.
  2. Quita denominadores multiplicando todos los términos por el mcm.
  3. Agrupa los términos con \(x\) en un miembro y los números en el otro.
  4. Reduce y despeja.
  5. Comprueba.

Ejemplo 1

Resuelve \(\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{x+2}{4}=1\).

mcm \(=12\): \(4(2x-1)-3(x+2)=12\). \(8x-4-3x-6=12\), \(5x=22\), \(x=\dfrac{22}{5}\).

Ejemplo 2

Resuelve \(5(x-1)-2(x+3)=4x-9\).

\(5x-5-2x-6=4x-9\), \(3x-11=4x-9\), \(-x=2\), \(x=-2\).

Ecuaciones sin solución e identidades

Propiedad

Si al reducir queda \(0=k\) con \(k\ne0\), la ecuación no tiene solución (\(2x+1=2x+5\)). Si queda \(0=0\), es una identidad y tiene infinitas soluciones (\(2(x+1)=2x+2\)).

Ecuaciones con decimales

Observación

Para evitar decimales multiplica toda la ecuación por 10, 100... Por ejemplo, \(0{,}3x+1{,}2=0{,}9\) pasa a \(3x+12=9\), luego \(x=-1\).

Resolución de problemas con ecuaciones

Método: plantear un problema

  1. Define la incógnita.
  2. Expresa las demás cantidades con ella.
  3. Escribe la ecuación con la relación del enunciado.
  4. Resuelve y comprueba en el texto.

Ejemplo 3

Un padre tiene 40 años y su hijo 10. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el triple?

\(40+x=3(10+x)\), \(40+x=30+3x\), \(x=5\). Dentro de 5 años (45 y 15).

Ejemplo 4

Dos ciclistas se cruzan en una carretera de 120 km. Uno va a 25 km/h y el otro a 35 km/h, partiendo a la vez uno hacia el otro. ¿Cuándo se encuentran?

\(25t+35t=120\), \(t=2\) h.

Ejemplo 5

Un grifo llena un depósito en 6 h y otro en 3 h. ¿Cuánto tardan juntos?

En 1 h llenan \(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}\). Juntos, 2 h.

¡Atención!

Al multiplicar por el mcm, multiplica todos los términos, incluidos los enteros. Y si el signo menos precede un paréntesis, cambia todos los signos de dentro.

Qué significa resolver una ecuación

Definición: solución y ecuaciones equivalentes

Una solución de una ecuación es el valor de la incógnita que convierte la igualdad en una igualdad verdadera. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Se obtiene una ecuación equivalente sumando o restando el mismo número (o la misma expresión) a los dos miembros, o multiplicando o dividiendo los dos miembros por el mismo número distinto de cero.

Ejemplo 6

Resuelve \(4x+7=2x+19\) indicando las operaciones.

Restamos \(2x\) a los dos miembros: \(2x+7=19\). Restamos 7: \(2x=12\). Dividimos entre 2: \(x=6\). Comprobación: \(4\cdot6+7=31\) y \(2\cdot6+19=31\).

Ecuaciones con paréntesis y denominadores

Método: resolver una ecuación completa

  1. Quita los paréntesis aplicando la propiedad distributiva, cuidando los signos (un signo menos delante cambia todos los signos del interior).
  2. Quita los denominadores multiplicando los dos miembros por el mcm.
  3. Pasa los términos con \(x\) a un miembro y los números al otro.
  4. Reduce los términos semejantes.
  5. Despeja la incógnita dividiendo entre su coeficiente.
  6. Comprueba sustituyendo el valor en la ecuación inicial.

Ejemplo 7

Resuelve \(\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{x+2}{2}=1\).

mcm\((3,2)=6\). Multiplicamos todo por 6: \(2(2x-1)-3(x+2)=6\). Quitamos paréntesis: \(4x-2-3x-6=6\). Reducimos: \(x-8=6\). Entonces \(x=14\). Comprobación: \(\dfrac{27}{3}-\dfrac{16}{2}=9-8=1\).

¡Atención!

  • Cambiar de miembro un término sin cambiarle el signo: «\(x+3=7\) luego \(x=7+3\)» es incorrecto.
  • Olvidar multiplicar por el mcm todos los términos, incluidos los que no tienen denominador.
  • Al quitar un paréntesis precedido de signo menos, cambiar solo el primer signo: \(-(x-4)=-x+4\).
  • No comprobar la solución: sustituir en la ecuación inicial detecta casi todos los fallos.

Ecuaciones sin solución e identidades

Propiedad: tres posibilidades

Al reducir una ecuación de primer grado pueden salir tres situaciones. Si queda \(ax=b\) con \(a\neq0\), hay una única solución \(x=\dfrac{b}{a}\). Si queda una igualdad falsa como \(0=5\), la ecuación no tiene solución. Si queda una igualdad siempre verdadera como \(0=0\), es una identidad y cualquier número es solución.

Problemas con ecuaciones

Método: plantear un problema

  1. Lee el problema dos veces y decide qué cantidad desconocida vas a llamar \(x\).
  2. Expresa las demás cantidades en función de \(x\).
  3. Busca la igualdad que relaciona los datos (una suma total, un perímetro, dos cantidades iguales).
  4. Escribe y resuelve la ecuación.
  5. Interpreta el resultado, escribe las unidades y comprueba que cumple el enunciado.

Ejemplo 8

Un padre tiene 38 años y su hija 10. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el triple de la de la hija?

Dentro de \(x\) años, el padre tendrá \(38+x\) y la hija \(10+x\). Ecuación: \(38+x=3(10+x)\), es decir, \(38+x=30+3x\). Entonces \(8=2x\) y \(x=4\) años. Comprobación: el padre tendrá 42 y la hija 14, y \(3\cdot14=42\).

Ejemplo 9

Un rectángulo tiene un perímetro de 50 cm y la base mide 5 cm más que la altura. ¿Cuánto miden sus lados?

Sea \(x\) la altura; la base es \(x+5\). Perímetro: \(2x+2(x+5)=50\), es decir, \(4x+10=50\). Entonces \(x=10\) cm de altura y 15 cm de base. Comprobación: \(2\cdot10+2\cdot15=50\).

¿Sabías que…?

El signo igual lo introdujo el matemático galés Robert Recorde en 1557, porque, según escribió, «no puede haber dos cosas más iguales que dos rectas paralelas». Antes se escribía la palabra «aequalis» o la abreviatura «ae». La idea de resolver ecuaciones con la balanza es muy antigua: los matemáticos de Mesopotamia y de Egipto ya resolvían problemas que hoy planteamos con ecuaciones de primer grado.

Ecuaciones con decimales

Regla: eliminar los decimales

Para trabajar con números enteros se multiplican los dos miembros por una potencia de 10 que elimine todas las comas: por 10 si el mayor número de decimales es uno, por 100 si es dos, y así sucesivamente. Hay que multiplicar todos los términos, también los que no tienen decimales. Después se resuelve como una ecuación normal.

Ejemplo 10

Resuelve \(0{,}3x+1{,}5=0{,}8x-2\).

Multiplicamos por 10: \(3x+15=8x-20\). Pasamos las \(x\) a la derecha y los números a la izquierda: \(15+20=8x-3x\), es decir, \(35=5x\). Entonces \(x=7\). Comprobación: \(0{,}3\cdot7+1{,}5=3{,}6\) y \(0{,}8\cdot7-2=3{,}6\).

Estrategia para resolver problemas

Si un problema te bloquea, dibuja un esquema, haz una tabla con los datos o prueba con un número cualquiera para entender cómo se relacionan las cantidades. Después sustituye ese número por la letra \(x\): el cálculo que hiciste con el ejemplo es justo el que debes escribir en la ecuación.

Problemas de móviles y de mezclas

Dos tipos de problemas aparecen con mucha frecuencia en 2.º de ESO: los de móviles, en los que dos personas o vehículos se encuentran o se alcanzan, y los de mezclas, en los que se combinan productos de distinto precio. En ambos casos conviene organizar los datos en una tabla antes de escribir la ecuación.

Método: problemas de móviles

  1. Recuerda que distancia = velocidad · tiempo.
  2. Si los móviles van uno hacia el otro, la suma de las distancias recorridas es la distancia que los separaba.
  3. Si uno persigue al otro, en el momento del alcance los dos han recorrido la misma distancia desde el punto de salida.
  4. Escribe la ecuación, resuélvela y comprueba con los dos móviles.

Ejemplo 11

Se mezclan 30 kg de café de 8 €/kg con cierta cantidad de café de 12 €/kg y se obtiene una mezcla de 9,60 €/kg. ¿Cuántos kilos del segundo café se usan?

Llamamos \(x\) a los kilos de café de 12 €/kg. El valor del primero es \(30\cdot8=240\) €, el del segundo \(12x\) € y el de la mezcla \(9{,}6(30+x)\) €. Como el valor no cambia al mezclar: \(240+12x=288+9{,}6x\). Agrupamos: \(2{,}4x=48\) y \(x=20\) kg. Comprobación: \(240+240=480\) € y \(50\cdot9{,}6=480\) €.

¡Atención! Unidades coherentes

Si la velocidad está en km/h, el tiempo debe estar en horas: 30 minutos son 0,5 h, no 30. Un error de unidades da un resultado absurdo aunque la ecuación esté bien resuelta.

El consejo de Otto

Sustituye siempre tu solución en la ecuación original. Y en los problemas, escribe el significado de \(x\) en una línea antes de empezar: evita responder con el número equivocado.

Cómo usar los apuntes de ecuaciones de primer grado de 2º ESO

Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de ecuaciones de primer grado y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de ecuaciones de primer grado y corrígelo con las soluciones del examen.

Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de ecuaciones de primer grado de 2º ESO reúnen todo lo necesario para el tema.

En resumen, practicar a menudo funciona mejor que una sesión larga. Por ejemplo, diez minutos al día suelen bastar. Además, los errores son útiles, porque muestran qué repasar. Luego, cuando un método te parezca fácil, prueba un ejercicio más difícil. Así, ganas confianza poco a poco.

Páginas similares

Más de este capítulo

Ecuaciones de primer grado: Matemáticas 2º ESO Ejercicios, con el búho Otto – Maths PDFEjerciciosEcuaciones de primer grado – matemáticas 2º ESO: ejercicios para descargar en PDFEcuaciones de primer grado: Matemáticas 2º ESO Soluciones, con el búho Otto – Maths PDFSolucionesEcuaciones de primer grado – matemáticas 2º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDFEcuaciones de primer grado: Matemáticas 2º ESO Test, con el búho Otto – Maths PDFTestEcuaciones de primer grado – matemáticas 2º ESO: test para descargar en PDFEcuaciones de primer grado: Matemáticas 2º ESO Quiz, con el búho Otto – Maths PDFTestEcuaciones de primer grado – matemáticas 2º ESO: quiz para descargar en PDFEcuaciones de primer grado: Matemáticas 2º ESO Examen, con el búho Otto – Maths PDFExamenEcuaciones de primer grado – matemáticas 2º ESO: examen para descargar en PDFEcuaciones de primer grado: Matemáticas 2º ESO Soluciones del examen, con el búho Otto – Maths PDFSoluciones del examenEcuaciones de primer grado – matemáticas 2º ESO: soluciones del examen para descargar en PDFEcuaciones de primer grado: Matemáticas 2º ESO Cálculo mental, con el búho Otto – Maths PDFCálculo mentalEcuaciones de primer grado – matemáticas 2º ESO: cálculo mental para descargar en PDF

Otros capítulos de este nivel

Números enteros, potencias y raíces: Matemáticas 2º ESO Lección, con el búho Otto – Maths PDFApuntesNúmeros enteros, potencias y raíces – matemáticas 2º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDFFracciones, decimales y notación científica: Matemáticas 2º ESO Lección, con el búho Otto – Maths PDFApuntesFracciones, decimales y notación científica – matemáticas 2º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDFProporcionalidad y porcentajes: Matemáticas 2º ESO Lección, con el búho Otto – Maths PDFApuntesProporcionalidad y porcentajes – matemáticas 2º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDFExpresiones algebraicas: Matemáticas 2º ESO Lección, con el búho Otto – Maths PDFApuntesExpresiones algebraicas – matemáticas 2º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDFEcuaciones de segundo grado: Matemáticas 2º ESO Lección, con el búho Otto – Maths PDFApuntesEcuaciones de segundo grado – matemáticas 2º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDFSistemas de ecuaciones: Matemáticas 2º ESO Lección, con el búho Otto – Maths PDFApuntesSistemas de ecuaciones – matemáticas 2º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDFFunciones lineales y afines: Matemáticas 2º ESO Lección, con el búho Otto – Maths PDFApuntesFunciones lineales y afines – matemáticas 2º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDFTeorema de Pitágoras: Matemáticas 2º ESO Lección, PDF gratis, con el búho Otto – Maths PDFApuntesTeorema de Pitágoras – matemáticas 2º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF