Sistemas de ecuaciones – matemáticas 2º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF

Ejemplo 1

Resuelve \(\begin{cases}y=2x-1\\3x+y=14\end{cases}\).

\(3x+2x-1=14\), \(5x=15\), \(x=3\), \(y=5\).

Ejemplo 2

Resuelve \(\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}\) por igualación.

\(x=7-y\) y \(x=1+y\). \(7-y=1+y\), \(y=3\), \(x=4\).

Ejemplo 3

Resuelve \(\begin{cases}2x+3y=12\\5x-3y=9\end{cases}\).

Sumando: \(7x=21\), \(x=3\). Entonces \(6+3y=12\), \(y=2\).

Ejemplo 4

Resuelve \(\begin{cases}3x+2y=13\\2x-5y=-4\end{cases}\).

Multiplicamos la 1.ª por 5 y la 2.ª por 2: \(15x+10y=65\) y \(4x-10y=-8\). Sumando: \(19x=57\), \(x=3\), \(y=2\).

Ejemplo 5

En una granja hay gallinas y conejos: 30 cabezas y 86 patas. ¿Cuántos hay de cada uno?

\(g+c=30\) y \(2g+4c=86\). De la primera, \(g=30-c\): \(60-2c+4c=86\), \(c=13\), \(g=17\).

Ejemplo 6

Dos entradas de adulto y tres infantiles cuestan 31 €; tres de adulto y una infantil, 29 €. ¿Precio de cada una?

\(2a+3i=31\) y \(3a+i=29\). Multiplicando la 2.ª por 3: \(9a+3i=87\). Restando: \(7a=56\), \(a=8\), \(i=5\).

Ejemplo 7

Comprueba si \((3,2)\) es solución de \(\begin{cases}x+2y=7\\2x-y=4\end{cases}\).

Primera: \(3+2\cdot2=7\), se cumple. Segunda: \(2\cdot3-2=4\), se cumple. Por tanto, \((3,2)\) es solución.

Ejemplo 8

Resuelve \(\begin{cases}4x+3y=18\\2x-y=4\end{cases}\) por reducción.

Multiplicamos la segunda por 3: \(6x-3y=12\). Sumamos con la primera: \(10x=30\), \(x=3\). Sustituimos: \(2\cdot3-y=4\), \(y=2\). Comprobación: \(4\cdot3+3\cdot2=18\).

Ejemplo 9

Clasifica \(\begin{cases}2x+3y=6\4x+6y=12\end{cases}\) y \(\begin{cases}2x+3y=6\4x+6y=10\end{cases}\) sin resolverlas.

En el primero, \(\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}\): las tres razones coinciden, es compatible indeterminado (la segunda ecuación es el doble de la primera). En el segundo, \(\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\) pero \(\dfrac{6}{10}=0{,}6\): las dos primeras razones coinciden y la tercera no, luego es incompatible: las rectas son paralelas y distintas.

Ejemplo 10

En un parking hay coches y motos: 30 vehículos y 100 ruedas. ¿Cuántos hay de cada tipo?

Sea \(c\) el número de coches y \(m\) el de motos: \(c+m=30\) y \(4c+2m=100\). De la primera, \(m=30-c\). Entonces \(4c+60-2c=100\), \(2c=40\), \(c=20\) y \(m=10\). Comprobación: \(20+10=30\) y \(80+20=100\).

Ejemplo 11

Resuelve \(\begin{cases}\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}=4\\x-2(y-1)=-2\end{cases}\).

Primera por 6: \(2x+3y=24\). Segunda: \(x-2y+2=-2\), es decir, \(x-2y=-4\). Multiplicamos la segunda por 2: \(2x-4y=-8\). Restamos esta a la primera: \(7y=32\), luego \(y=\dfrac{32}{7}\). Entonces \(x=2y-4=\dfrac{36}{7}\). La solución no es entera, pero es válida. Comprobación: \(\dfrac{36}{21}+\dfrac{16}{7}=\dfrac{12}{7}+\dfrac{16}{7}=4\).

Ejemplo 12

En un aparcamiento hay 30 vehículos entre coches y motos, y se cuentan 96 ruedas. ¿Cuántos hay de cada tipo?

Llamamos \(c\) a los coches y \(m\) a las motos: \(c+m=30\) y \(4c+2m=96\). Multiplicamos la primera por 2 y restamos: \(2c=36\), \(c=18\) y \(m=12\). Comprobación: \(18+12=30\) y \(72+24=96\) ruedas.