Ecuaciones de segundo grado – matemáticas 2º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. \(a=3\), \(b=-5\), \(c=2\). Es completa.
   2. \(a=1\), \(b=0\), \(c=-9\). Incompleta (falta el término en \(x\)).
   3. \(a=2\), \(b=6\), \(c=0\). Incompleta (falta el término independiente).
   4. Pasamos todo al primer miembro: \(5x^2-20=0\). Entonces \(a=5\), \(b=0\), \(c=-20\). Incompleta.
   5. Pasamos todo al primer miembro: \(x^2+4x+2x-7=0\), es decir, \(x^2+6x-7=0\). Entonces \(a=1\), \(b=6\), \(c=-7\). Completa.

2. Solución del ejercicio 2

   1. Pasamos el número al otro miembro y hacemos la raíz cuadrada con doble signo. \(x^2=49\), luego \(x=\pm7\).
   2. Dividimos entre 3 antes de hacer la raíz. \(3x^2=27\), \(x^2=9\) y \(x=\pm3\).
   3. Despejamos \(x^2\) y observamos su signo. \(2x^2=-8\), \(x^2=-4\): un cuadrado nunca es negativo, no tiene solución real.
   4. Dividimos entre 5 y hacemos la raíz. \(x^2=\dfrac{45}{5}=9\) y \(x=\pm3\).

   Estas ecuaciones incompletas (sin término en \(x\)) no necesitan la fórmula general.

3. Solución del ejercicio 3

   1. Sacamos factor común \(x\) e igualamos cada factor a cero. \(x(x-6)=0\). Soluciones: \(x=0\) y \(x=6\).
   2. El factor común es \(3x\). \(3x(x+4)=0\). Soluciones: \(x=0\) y \(x=-4\).
   3. Primero pasamos todo al primer miembro, sin dividir entre \(x\). \(2x^2-5x=0\), \(x(2x-5)=0\). Soluciones: \(x=0\) y \(x=\dfrac{5}{2}\).
   4. Sacamos factor común \(x\). \(x(x+1)=0\). Soluciones: \(x=0\) y \(x=-1\).

   En las incompletas sin término independiente, una de las soluciones es siempre \(x=0\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. Identificamos \(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\) y calculamos el discriminante. \(\Delta=25-24=1\). \(x=\dfrac{5\pm1}{2}\), es decir, \(x=3\) y \(x=2\). Comprobación: \(9-15+6=0\).
   2. \(a=2\), \(b=3\), \(c=-2\); el denominador es \(2a=4\). \(\Delta=9+16=25\). \(x=\dfrac{-3\pm5}{4}\), es decir, \(x=\dfrac{1}{2}\) y \(x=-2\). Comprobación: \(2\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{2}-2=0\).
   3. \(a=1\), \(b=4\), \(c=4\); el discriminante es nulo. \(\Delta=16-16=0\). \(x=\dfrac{-4}{2}=-2\) (solución doble).
   4. \(a=1\), \(b=1\), \(c=1\); el discriminante es negativo. \(\Delta=1-4=-3<0\). No tiene soluciones reales.

   El signo del discriminante decide el número de soluciones antes de terminar el cálculo.

5. Solución del ejercicio 5

   1. Con \(a=1\), \(b=-4\), \(c=3\): \(\Delta=16-12=4>0\): dos soluciones.
   2. Con \(a=3\), \(b=-2\), \(c=5\): \(\Delta=4-60=-56<0\): ninguna solución real.
   3. Con \(a=1\), \(b=-4\), \(c=4\): \(\Delta=16-16=0\): una solución doble (\(x=2\)).
   4. Para que haya solución doble el discriminante debe ser cero. Hace falta \(\Delta=36-4k=0\), luego \(k=9\). La ecuación es \((x+3)^2=0\) con solución doble \(x=-3\).

   Regla: \(\Delta>0\), dos soluciones; \(\Delta=0\), una doble; \(\Delta<0\), ninguna real.

6. Solución del ejercicio 6

   1. Quitamos el paréntesis y pasamos el 10 restando. \(x^2+3x-10=0\). \(\Delta=9+40=49\). \(x=\dfrac{-3\pm7}{2}\): \(x=2\) y \(x=-5\).
   2. Aquí es más rápido hacer la raíz de los dos miembros. \(x-2=\pm3\). Entonces \(x=5\) y \(x=-1\).
   3. Multiplicamos los paréntesis y pasamos el 12. \(x^2-2x-3=12\), es decir, \(x^2-2x-15=0\). \(\Delta=4+60=64\). \(x=\dfrac{2\pm8}{2}\): \(x=5\) y \(x=-3\).
   4. Pasamos todos los términos al primer miembro y reducimos. \(x^2-6x-7=0\). \(\Delta=36+28=64\). \(x=\dfrac{6\pm8}{2}\): \(x=7\) y \(x=-1\).

   Antes de aplicar la fórmula, la ecuación debe quedar igualada a cero.

7. Solución del ejercicio 7

   1. El mcm de los denominadores es 2. Multiplicamos por 2: \(x^2-x=6\), es decir, \(x^2-x-6=0\). \(\Delta=1+24=25\). \(x=\dfrac{1\pm5}{2}\): \(x=3\) y \(x=-2\).
   2. El mcm es 3; el término \(x\) también se multiplica por 3. Multiplicamos por 3: \(x^2=x+6+3x\), es decir, \(x^2-4x-6=0\). \(\Delta=16+24=40\). \(x=\dfrac{4\pm\sqrt{40}}{2}=2\pm\sqrt{10}\), aproximadamente \(5{,}16\) y \(-1{,}16\).

   Cuando el discriminante no es un cuadrado perfecto, las soluciones son irracionales y se dan con raíces o aproximadas.

8. Solución del ejercicio 8

   1. Suma: \(7\); producto: \(12\). Los números que suman 7 y multiplican 12 son 3 y 4.
   2. Suma \(=2+(-5)=-3\) y producto \(=2\cdot(-5)=-10\). La ecuación es \(x^2+3x-10=0\).
   3. Suma 8 y producto 16: \(x^2-8x+16=0\), es decir, \((x-4)^2=0\).
   4. Son las soluciones de \(x^2-10x+24=0\), \(\Delta=100-96=4\), \(x=\dfrac{10\pm2}{2}\): 6 y 4. Con producto 30: \(\Delta=100-120<0\), no hay números reales así.

9. Solución del ejercicio 9

   1. El largo es el ancho más 3 y el área es ancho por largo. Largo: \(x+3\). Área: \(x(x+3)=40\), es decir, \(x^2+3x-40=0\).
   2. Aplicamos la fórmula general y analizamos el signo de cada solución. \(\Delta=9+160=169\). \(x=\dfrac{-3\pm13}{2}\): \(x=5\) y \(x=-8\). No vale \(-8\) porque una longitud no puede ser negativa.
   3. Con el ancho calculamos el largo y el perímetro. Ancho 5 m y largo 8 m. Perímetro: \(2(5+8)=26\) m.
   4. Multiplicamos el área por el precio del metro cuadrado. \(40\cdot3{,}5=140\) €.

   Comprobación: \(5\cdot8=40\) m².

10. Solución del ejercicio 10

    1. Un lado mide \(x+3\) y el otro \(x-2\). Dimensiones: \((x+3)\) y \((x-2)\). Ecuación: \((x+3)(x-2)=14\).
    2. Desarrollamos, igualamos a cero y aplicamos la fórmula; una longitud no puede ser negativa. \(x^2+x-6=14\), \(x^2+x-20=0\), \(\Delta=81\), \(x=\dfrac{-1\pm9}{2}\): \(x=4\) y \(x=-5\). Solo vale \(x=4\) cm.
    3. El cuadrado tenía lado 4 cm. \(4^2=16\) cm².
    4. Restamos las dos áreas. \(16-14=2\) cm².

    Comprobación: \(7\cdot2=14\) cm².

11. Solución del ejercicio 11

    1. Dos enteros consecutivos se escriben \(x\) y \(x+1\). \(x(x+1)=156\), es decir, \(x^2+x-156=0\).
    2. Aplicamos la fórmula; aquí las dos soluciones son válidas porque son números enteros. \(\Delta=1+624=625\) y \(x=\dfrac{-1\pm25}{2}\): \(x=12\) y \(x=-13\). Parejas: 12 y 13; \(-13\) y \(-12\).
    3. Sumamos cada pareja. \(12+13=25\) y \(-13+(-12)=-25\).
    4. Razonamos con la paridad: De dos enteros consecutivos uno es par, así que el producto contiene un factor 2.

12. Solución del ejercicio 12

    1. El balón toca el suelo cuando la altura es cero. \(-5t^2+10t+15=0\), dividiendo entre \(-5\): \(t^2-2t-3=0\). \(\Delta=4+12=16\), \(t=\dfrac{2\pm4}{2}\): \(t=3\) y \(t=-1\). Solo vale \(t=3\) s.
    2. Sustituimos \(t=2\) y \(t=3\) en la fórmula. \(h(2)=-20+20+15=15\) m. \(h(3)=-45+30+15=0\) m.
    3. Sustituimos \(t=1\). \(h(1)=-5+10+15=20\) m.
    4. Igualamos la altura a 15 y simplificamos. \(-5t^2+10t=0\), \(-5t(t-2)=0\): \(t=0\) s y \(t=2\) s.

    Un tiempo negativo no tiene sentido porque el balón se lanza en \(t=0\).

13. Solución del ejercicio 13

    1. El marco añade \(x\) cm por cada lado, es decir, \(2x\) en cada dimensión. Dimensiones: \((20+2x)\) por \((30+2x)\).
    2. Igualamos el área total a 936, simplificamos entre 4 y aplicamos la fórmula. \((20+2x)(30+2x)=936\), es decir, \(600+100x+4x^2=936\), \(4x^2+100x-336=0\), \(x^2+25x-84=0\). \(\Delta=625+336=961=31^2\). \(x=\dfrac{-25\pm31}{2}\): \(x=3\) y \(x=-28\).
    3. Descartamos la anchura negativa; el marco es el área total menos la foto. Marco de 3 cm. Superficie del marco: \(936-600=336\) cm².
    4. Multiplicamos la superficie del marco por el precio. \(336\cdot0{,}04=13{,}44\) €.

    Comprobación: \(26\cdot36=936\) cm².

14. Solución del ejercicio 14

    1. Ingresos \(=x(200-5x)\).
    2. \(x(200-5x)=1\,500\), \(200x-5x^2=1\,500\), \(x^2-40x+300=0\). \(\Delta=1\,600-1\,200=400\). \(x=\dfrac{40\pm20}{2}\): \(x=30\) y \(x=10\).
    3. Con 10 €: \(200-50=150\) entradas. Con 30 €: \(200-150=50\) entradas. En ambos casos \(10\cdot150=30\cdot50=1\,500\) €.
    4. El de 10 €, porque asisten 150 personas en lugar de 50 y se logra la misma recaudación.

15. Solución del ejercicio 15

    1. Dimensiones: \((12+2x)\) por \((8+2x)\).
    2. Área total \(=96+96=192\). \((12+2x)(8+2x)=192\), es decir, \(96+40x+4x^2=192\), \(x^2+10x-24=0\). \(\Delta=100+96=196\). \(x=\dfrac{-10\pm14}{2}\): \(x=2\) y \(x=-12\).
    3. El camino mide 2 m de ancho (la solución negativa no vale). Conjunto: 16 m por 12 m, \(192\) m².
    4. \(96\cdot22=2\,112\) €.
    5. Cada baldosa tiene \(0{,}4\cdot0{,}4=0{,}16\) m². Hacen falta \(96:0{,}16=600\) baldosas.

16. Solución del ejercicio 16

    1. Tiempo real: \(\dfrac{60}{v}\) h. Tiempo más rápido: \(\dfrac{60}{v+5}\) h.
    2. \(\dfrac{60}{v}-\dfrac{60}{v+5}=1\). Multiplicamos por \(v(v+5)\): \(60(v+5)-60v=v(v+5)\), es decir, \(300=v^2+5v\) y \(v^2+5v-300=0\).
    3. \(\Delta=25+1\,200=1\,225=35^2\). \(v=\dfrac{-5\pm35}{2}\): \(v=15\) y \(v=-20\). Vale \(v=15\) km/h.
    4. Real: \(60:15=4\) h. Más rápido: \(60:20=3\) h. La diferencia es de 1 hora.

17. Solución del ejercicio 17

    1. \(x(x+5)=126\), es decir, \(x^2+5x-126=0\).
    2. \(\Delta=25+504=529=23^2\). \(x=\dfrac{-5\pm23}{2}\): \(x=9\) y \(x=-14\). Laura tiene 9 años y Pedro 14.
    3. Dentro de 4 años: \(13\cdot18=234\).
    4. Hace \(t\) años: \((9-t)(14-t)=36\), es decir, \(t^2-23t+126=36\), \(t^2-23t+90=0\), \(\Delta=529-360=169\), \(t=\dfrac{23\pm13}{2}\): \(t=5\) o \(t=18\). Solo vale \(t=5\): tenían 4 y 9 años (\(4\cdot9=36\)).

18. Solución del ejercicio 18

    1. El perímetro es el doble de la suma de largo y ancho. Semiperímetro: \(30:2=15\) m.
    2. Expresamos el largo en función del ancho y usamos el área. Largo: \(15-x\). Área: \(x(15-x)=54\), es decir, \(x^2-15x+54=0\).
    3. Aplicamos la fórmula general. \(\Delta=225-216=9\). \(x=\dfrac{15\pm3}{2}\): \(x=9\) y \(x=6\). Es un rectángulo de 6 m por 9 m (las dos soluciones dan el mismo rectángulo).
    4. Multiplicamos la superficie por el precio del plástico. \(54\cdot1{,}8=97{,}20\) €.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(-x^2+6x=0\), \(x(-x+6)=0\): \(x=0\) y \(x=6\). La luz es de 6 m.
    2. \(-x^2+6x=5\), \(x^2-6x+5=0\), \(\Delta=16\), \(x=\dfrac{6\pm4}{2}\): \(x=1\) y \(x=5\).
    3. \(h(3)=-9+18=9\) m.
    4. En el centro hay 9 m: pasa. A 1 m de la orilla hay \(h(1)=5\) m: pasa, porque \(4{,}5<5\).

20. Solución del ejercicio 20

    1. Sustituimos \(x^2=z\) y \(x^4=z^2\). \(z^2-5z+4=0\). \(\Delta=25-16=9\) y \(z=\dfrac{5\pm3}{2}\): \(z=4\) y \(z=1\).
    2. Cada valor positivo de \(z\) da dos valores de \(x\). \(x^2=4\) da \(x=\pm2\). \(x^2=1\) da \(x=\pm1\). Cuatro soluciones: \(-2,-1,1,2\).
    3. Sustituimos en la ecuación inicial: Con \(x=2\): \(16-20+4=0\).
    4. Repetimos el cambio de variable. \(z^2-13z+36=0\), \(\Delta=169-144=25\), \(z=\dfrac{13\pm5}{2}\): \(z=9\) y \(z=4\). Entonces \(x=\pm3\) y \(x=\pm2\).

    Estas ecuaciones se llaman bicuadradas y pueden tener hasta cuatro soluciones.