Estos apuntes de proporcionalidad y porcentajes de 2º ESO están pensados para alumnos de 13-14 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Variaciones porcentuales, rebajas, impuestos, escalas y repartos proporcionales. Antes de empezar, conviene repasar números enteros, potencias y raíces y fracciones, decimales y notación científica, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de proporcionalidad y porcentajes 2º ESO: lo que vas a aprender
Este tema amplía la proporcionalidad a varias magnitudes y la relaciona con porcentajes, escalas y repartos.
Actividad de introducción: el supermercado
Carmen va al supermercado con su padre en Alicante. Cinco kilos de naranjas cuestan 6 €, así que diez kilos costarán 12 €: el precio es proporcional a los kilos. En la sección de ropa, una camiseta de 20 € tiene un 30 % de descuento; ¿cuánto se ahorra? Y en casa, para pintar la habitación, cuantos más pintores trabajen, menos días tardarán: eso es proporcionalidad inversa. Las proporciones y los porcentajes están en las compras, en las recetas, en los mapas y en las noticias, y dominarlos te ayuda a tomar mejores decisiones. En este tema aprenderás a trabajar con ellos de forma ordenada y a evitar los errores más comunes.
Magnitudes directamente proporcionales
Definición: proporcionalidad directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales si su cociente \(\dfrac{y}{x}=k\) es constante. La tabla tiene todos los cocientes iguales y la gráfica es una recta por el origen.
Magnitudes inversamente proporcionales
Definición: proporcionalidad inversa
Son inversamente proporcionales si su producto \(x\cdot y=k\) es constante. Al duplicar una, la otra se divide por 2.
Ejemplo 1
12 operarios tardan 15 días en una obra. ¿Cuántos días tardarán 20 operarios?
Inversa: \(12\cdot15=20\cdot x\), \(x=9\) días.
Proporcionalidad compuesta
Método: regla de tres compuesta
- Escribe los datos en una tabla y decide, comparando cada magnitud con la incógnita, si es directa o inversa.
- Si es directa, multiplica por la razón; si es inversa, por la razón invertida.
- Calcula y comprueba.
Ejemplo 2
6 máquinas fabrican 900 piezas en 5 horas. ¿Cuántas piezas fabrican 9 máquinas en 4 horas?
Más máquinas, más piezas (directa); menos horas, menos piezas (directa): \(x=900\cdot\dfrac{9}{6}\cdot\dfrac{4}{5}=1080\) piezas.
Porcentajes
Definición: porcentaje
El \(p\,\%\) de una cantidad \(C\) es \(C\cdot\dfrac{p}{100}\). Para saber qué porcentaje es una parte \(A\) de un total \(C\): \(\dfrac{A}{C}\cdot100\).
Aumentos y disminuciones porcentuales
Regla: variaciones porcentuales
Aumento del \(p\,\%\): multiplicar por \(1+\dfrac{p}{100}\) (índice de variación). Disminución: \(1-\dfrac{p}{100}\). Para hallar la cantidad inicial se divide por el índice: \(C_0=\dfrac{C_f}{\text{índice}}\).
Ejemplo 3
Tras una rebaja del 15 % una camiseta cuesta 34 €. ¿Cuál era su precio inicial?
Índice \(0{,}85\): \(C_0=\dfrac{34}{0{,}85}=40\) €.
Porcentajes sucesivos
Regla: porcentajes sucesivos
Si una cantidad varía en varios porcentajes seguidos, se multiplican los índices de variación.
Ejemplo 4
Un precio de 200 € sube un 10 % y luego baja un 10 %. ¿Cuánto vale al final?
\(200\cdot1{,}10\cdot0{,}90=198\) €. Baja un 1 % en total.
Escalas
Definición: escala
Una escala \(1:n\) indica que 1 unidad del plano equivale a \(n\) unidades de la realidad. Si un mapa tiene escala \(1:50\,000\), 1 cm son 500 m.
Ejemplo 5
En un plano a escala \(1:200\), una sala mide 6 cm de largo. ¿Cuánto mide en realidad?
\(6\cdot200=1200\) cm \(=12\) m.
Repartos proporcionales
Método: repartir proporcionalmente
- Suma las partes (los números a los que se reparte proporcionalmente).
- Divide la cantidad entre esa suma para hallar la parte de una unidad.
- Multiplica por cada parte.
Ejemplo 6
Tres amigos ponen 20, 30 y 50 € para un décimo que gana 1500 €. ¿Cuánto recibe cada uno?
Suma: 100. \(1500:100=15\). Reciben 300 €, 450 € y 750 €.
¡Atención!
Dos subidas o bajadas porcentuales seguidas no se suman. Y en proporcionalidad compuesta, si te equivocas de directa o inversa, todo sale mal.
Cómo reconocer cada tipo de proporcionalidad
Método: directa o inversa
- Pregúntate: si una magnitud se hace el doble, ¿qué le pasa a la otra?
- Si también se hace el doble, es directa: el cociente \(\dfrac{y}{x}\) es constante.
- Si se hace la mitad, es inversa: el producto \(x\cdot y\) es constante.
- Si no se cumple ninguna, no es proporcional (por ejemplo, la edad y la altura).
- Plantea la regla de tres o la constante y comprueba que el resultado es razonable.
Ejemplo 7
Si 3 obreros hacen una zanja en 12 días, ¿cuánto tardan 9 obreros?
Más obreros, menos días: inversa. Producto constante: \(3\cdot12=36\). Con 9 obreros: \(36:9=4\) días. Comprobación: tres veces más obreros tardan tres veces menos.
Proporcionalidad compuesta paso a paso
Regla: proporcionalidad compuesta
Para resolver un problema con tres o más magnitudes, se comparan una a una con la magnitud de la incógnita, dejando fijas las demás. Cada comparación aporta un factor: si es directa, se multiplica por \(\dfrac{\text{nuevo}}{\text{antiguo}}\) y si es inversa, por \(\dfrac{\text{antiguo}}{\text{nuevo}}\). El resultado es el dato inicial por todos esos factores.
Ejemplo 8
4 camiones transportan 120 toneladas en 3 viajes. ¿Cuántas toneladas transportan 6 camiones en 5 viajes?
Toneladas con camiones: directa, factor \(\dfrac{6}{4}\); con viajes: directa, factor \(\dfrac{5}{3}\). Resultado: \(120\cdot\dfrac{6}{4}\cdot\dfrac{5}{3}=300\) toneladas.
Porcentajes como fracciones, decimales y índices de variación
Definición: índice de variación
El índice de variación es el número por el que hay que multiplicar una cantidad para obtener el resultado de aplicarle un aumento o una disminución porcentual. Para un aumento del \(p\,\%\) es \(1+\dfrac{p}{100}\) y para una disminución del \(p\,\%\) es \(1-\dfrac{p}{100}\). Con índices, los aumentos y disminuciones sucesivas se resuelven multiplicando los índices: un 20 % de subida y un 10 % de bajada dan \(1{,}2\cdot0{,}9=1{,}08\), es decir, un aumento total del 8 %.
Ejemplo 9
Calcula el índice de variación y el precio final de un artículo de 50 € con una subida del 8 % y después una bajada del 5 %.
Índices: \(1{,}08\) y \(0{,}95\). Índice total: \(1{,}08\cdot0{,}95=1{,}026\). Precio final: \(50\cdot1{,}026=51{,}30\) €. Es una subida total del 2,6 %, no del 3 %.
¡Atención!
- Sumar porcentajes sucesivos: dos rebajas del 20 % y del 10 % no equivalen a una del 30 % sino del 28 %.
- Calcular el valor inicial restando el porcentaje al valor final: hay que dividir entre el índice de variación.
- Confundir proporcionalidad directa e inversa: pregunta siempre qué le pasa a una magnitud cuando la otra se duplica.
- Usar la escala al revés: en \(1:50\,000\) el plano es más pequeño que la realidad.
Escalas y repartos
Propiedad: escala
Una escala \(1:n\) indica que cada unidad del plano representa \(n\) unidades de la realidad. Para pasar del plano a la realidad se multiplica por \(n\) y para pasar de la realidad al plano se divide entre \(n\). Si la escala es \(1:50\,000\), 1 cm del mapa son 500 m. Los repartos proporcionales siguen la misma idea: se divide la cantidad entre la suma de las partes y se multiplica por la parte de cada uno.
Ejemplo 10
En un plano a escala \(1:250\), un jardín mide 8 cm por 5 cm. ¿Cuáles son sus dimensiones reales y su superficie?
Largo real: \(8\cdot250=2\,000\) cm \(=20\) m. Ancho real: \(5\cdot250=1\,250\) cm \(=12{,}5\) m. Superficie: \(20\cdot12{,}5=250\) m². Obsérvese que la superficie del plano es \(40\) cm\(^2\), y la real no se obtiene multiplicando por 250, sino por \(250^2\).
¿Sabías que?
La proporcionalidad ya era conocida por los griegos: Tales de Mileto midió la altura de la Gran Pirámide comparando su sombra con la de un bastón, usando proporciones. Mucho después, los pintores del Renacimiento usaron proporciones para representar la perspectiva, y hoy los arquitectos y diseñadores trabajan con escalas en cada plano.
Interés simple y variaciones encadenadas
Los porcentajes están presentes en las cuentas de ahorro, los préstamos, los impuestos y las estadísticas de población. En todos estos casos hay que distinguir si el porcentaje se aplica siempre sobre la misma cantidad inicial o, cada vez, sobre la cantidad que resulta del paso anterior.
Regla: interés simple
Si se deposita un capital \(C\) a un rédito anual del \(r\,\%\) durante \(t\) años, y los intereses no se acumulan al capital, el interés obtenido es \(I=\dfrac{C\cdot r\cdot t}{100}\). El interés es directamente proporcional al capital, al rédito y al tiempo.
Ejemplo 11
Un precio sube un 10 % en enero y otro 10 % en febrero. ¿Ha subido un 20 % en total?
Aplicamos los índices de variación seguidos: \(1{,}10\cdot1{,}10=1{,}21\). El precio final es el 121 % del inicial, así que la subida total es del 21 %, no del 20 %. Con un precio de 50 €: tras enero cuesta 55 € y tras febrero \(55\cdot1{,}10=60{,}50\) €, que son 10,50 € más, el 21 % de 50 €. La segunda subida se calcula sobre 55 €, no sobre 50 €.
Observación: porcentaje y puntos porcentuales
Si el paro pasa del 10 % al 12 %, ha subido 2 puntos porcentuales, pero en términos relativos ha aumentado un 20 %, porque 2 es el 20 % de 10. En las noticias conviene leer con atención cuál de las dos cosas se dice.
Ejemplo 12
Calcula el interés simple que producen 3 000 € al 2,5 % durante 4 años.
Aplicamos \(I=\dfrac{C\cdot r\cdot t}{100}=\dfrac{3\,000\cdot2{,}5\cdot4}{100}=300\) €. Al final se tienen \(3\,300\) €. Con interés compuesto se tendrían \(3\,000\cdot1{,}025^4\approx3\,311{,}44\) €, algo más, porque los intereses de cada año también producen intereses.
El consejo de Otto
Convierte siempre el porcentaje en índice de variación: subir un 8 % es multiplicar por 1,08. Es más rápido y sirve para varios cambios seguidos.
Cómo usar los apuntes de proporcionalidad y porcentajes de 2º ESO
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de proporcionalidad y porcentajes y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de proporcionalidad y porcentajes y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de proporcionalidad y porcentajes de 2º ESO reúnen todo lo necesario para el tema.
Páginas similares
Más de este capítulo
EjerciciosProporcionalidad y porcentajes – matemáticas 2º ESO: ejercicios para descargar en PDF
SolucionesProporcionalidad y porcentajes – matemáticas 2º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF
TestProporcionalidad y porcentajes – matemáticas 2º ESO: test para descargar en PDF
TestProporcionalidad y porcentajes – matemáticas 2º ESO: quiz para descargar en PDF
ExamenProporcionalidad y porcentajes – matemáticas 2º ESO: examen para descargar en PDF
Soluciones del examenProporcionalidad y porcentajes – matemáticas 2º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF
Cálculo mentalProporcionalidad y porcentajes – matemáticas 2º ESO: cálculo mental para descargar en PDFOtros capítulos de este nivel
ApuntesNúmeros enteros, potencias y raíces – matemáticas 2º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF
ApuntesFracciones, decimales y notación científica – matemáticas 2º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF
ApuntesExpresiones algebraicas – matemáticas 2º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF
ApuntesEcuaciones de primer grado – matemáticas 2º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF
ApuntesEcuaciones de segundo grado – matemáticas 2º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF
ApuntesSistemas de ecuaciones – matemáticas 2º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF
ApuntesFunciones lineales y afines – matemáticas 2º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF
ApuntesTeorema de Pitágoras – matemáticas 2º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF