Estos apuntes de fracciones, decimales y notación científica de 2º ESO están pensados para alumnos de 13-14 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Operaciones con fracciones y decimales, notación científica. Antes de empezar, conviene repasar números enteros, potencias y raíces, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de fracciones, decimales y notación científica 2º ESO: lo que vas a aprender
Fracciones y decimales son dos formas de escribir los mismos números. En este tema operas con ambos, los conviertes entre sí y usas la notación científica.
Actividad de introducción: la pizza de Álvaro
Álvaro y sus tres amigos piden una pizza grande que viene cortada en 12 trozos. Álvaro se come \(\dfrac{1}{4}\) de la pizza, Sara \(\dfrac{1}{3}\) y Pablo \(\dfrac{1}{6}\). ¿Cuántos trozos ha comido cada uno? ¿Cuánto queda para Rocío? Mientras tanto, el repartidor cobra 13,50 € y Álvaro quiere pagar su parte; así que también necesita decimales. Las fracciones y los decimales son dos maneras de escribir los mismos números, y en este tema aprenderás a pasar de una a otra y a operar con las dos con seguridad.
Fracciones y fracciones equivalentes
Definición: fracciones equivalentes
Dos fracciones \(\dfrac{a}{b}\) y \(\dfrac{c}{d}\) son equivalentes si \(a\cdot d=b\cdot c\). Se simplifican dividiendo numerador y denominador entre su mcd hasta obtener la fracción irreducible.
Ejemplo 1
¿Son equivalentes \(\dfrac{6}{9}\) y \(\dfrac{14}{21}\)?
\(6\cdot21=126\) y \(9\cdot14=126\). Sí; ambas valen \(\dfrac{2}{3}\).
Suma y resta de fracciones
Método: sumar o restar fracciones
- Calcula el mcm de los denominadores.
- Reduce cada fracción a ese denominador.
- Opera los numeradores.
- Simplifica.
Ejemplo 2
Calcula \(\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}\).
mcm \(=12\): \(\dfrac{10}{12}-\dfrac{9}{12}+\dfrac{4}{12}=\dfrac{5}{12}\).
Producto y cociente de fracciones
Regla: producto y cociente
\(\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}\) y \(\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot d}{b\cdot c}\). Los números mixtos se pasan antes a fracción impropia.
Ejemplo 3
Calcula \(\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}\right):\dfrac{7}{4}\).
\(\dfrac{7}{6}:\dfrac{7}{4}=\dfrac{7\cdot4}{6\cdot7}=\dfrac{2}{3}\).
¡Atención!
Para sumar necesitas común denominador; para multiplicar, no. Y al dividir se invierte la segunda fracción, no la primera.
De fracción a decimal y viceversa
Definición: decimal exacto, periódico puro y mixto
Al dividir numerador entre denominador sale un decimal exacto, periódico puro (\(0{,}\overset{\frown}{3}\)) o periódico mixto (\(0{,}1\overset{\frown}{6}\)). Una fracción irreducible da decimal exacto solo si su denominador tiene únicamente los factores 2 y 5.
Método: pasar un decimal periódico a fracción
- Llama \(N\) al número.
- Multiplica por 10, 100... para que la coma quede justo antes de un periodo.
- Resta para eliminar la parte periódica y despeja.
Ejemplo 4
Pasa \(0{,}\overset{\frown}{7}\) y \(1{,}25\) a fracción.
\(N=0{,}777\dots\), \(10N-N=7\), \(N=\dfrac{7}{9}\). Y \(1{,}25=\dfrac{125}{100}=\dfrac{5}{4}\).
Operaciones con decimales y orden
Propiedad
Para ordenar fracciones y decimales, pásalos todos al mismo formato. Entre dos números racionales siempre hay otro: \(\dfrac{3}{4}<0{,}8\lt \dfrac{5}{6}\).
Ejemplo 5
Ordena \(\dfrac{3}{5}\), \(0{,}65\) y \(\dfrac{5}{8}\).
\(0{,}6\), \(0{,}65\) y \(0{,}625\). Orden: \(\dfrac{3}{5}\lt \dfrac{5}{8}<0{,}65\).
Notación científica
Definición: notación científica
Se escribe \(a\cdot10^n\) con \(1\le a<10\). Para sumar hay que igualar las potencias de 10; para multiplicar se multiplican los números y se suman los exponentes.
Ejemplo 6
Calcula \((3\cdot10^4)\cdot(2{,}5\cdot10^{-2})\).
\(3\cdot2{,}5=7{,}5\) y \(10^{4-2}=10^2\). Resultado: \(7{,}5\cdot10^2=750\).
Fracción de una cantidad y problemas
Ejemplo 7
Un ciclista recorre \(\dfrac{2}{5}\) de una ruta por la mañana y \(\dfrac{1}{3}\) de lo que queda por la tarde. Si la ruta mide 150 km, ¿cuánto le falta?
Mañana: \(\dfrac{2}{5}\cdot150=60\) km. Quedan 90. Tarde: \(\dfrac{1}{3}\cdot90=30\) km. Falta \(150-60-30=60\) km.
¡Atención!
El periodo se escribe una sola vez con arco, y \(0{,}\overset{\frown}{9}=1\). Una fracción de una fracción se multiplica, no se suma.
Números mixtos y fracciones impropias
Definición: número mixto
Un número mixto tiene una parte entera y una fracción propia: \(2\dfrac{3}{4}\) significa \(2+\dfrac{3}{4}\). Para pasarlo a fracción impropia se multiplica el entero por el denominador y se suma el numerador: \(2\dfrac{3}{4}=\dfrac{2\cdot4+3}{4}=\dfrac{11}{4}\). Para volver al mixto se divide el numerador entre el denominador: el cociente es la parte entera y el resto es el nuevo numerador.
Ejemplo 8
Expresa \(\dfrac{23}{6}\) como número mixto y \(3\dfrac{2}{5}\) como fracción impropia.
\(23:6\) da cociente 3 y resto 5, luego \(\dfrac{23}{6}=3\dfrac{5}{6}\). Y \(3\dfrac{2}{5}=\dfrac{3\cdot5+2}{5}=\dfrac{17}{5}\).
Fracción de una cantidad y problemas con «lo que queda»
Método: resolver un problema con fracciones
- Lee el enunciado y subraya los datos: cantidades y fracciones.
- Decide si cada fracción es «del total» o «de lo que queda». Es la clave de muchos errores.
- Calcula cada parte: divide entre el denominador y multiplica por el numerador.
- Comprueba que la suma de las partes es el total.
- Escribe la respuesta con sus unidades.
Ejemplo 9
En un partido de baloncesto el equipo anota 48 puntos. Daniel anota \(\dfrac{3}{8}\) de los puntos y Elena \(\dfrac{1}{6}\) de lo que queda. ¿Cuántos puntos anota cada uno?
Daniel: \(\dfrac{3}{8}\cdot48=18\) puntos. Quedan \(48-18=30\) puntos. Elena: \(\dfrac{1}{6}\cdot30=5\) puntos. Lo importante es que la segunda fracción se calcula sobre lo que queda (30), no sobre el total (48): si se hiciera sobre 48 saldrían 8 puntos y el resultado sería incorrecto.
Ejemplo 10
Un ciclista recorre \(\dfrac{2}{5}\) de una ruta por la mañana y \(\dfrac{1}{3}\) de lo que queda por la tarde. Si la ruta mide 150 km, ¿cuánto le falta?
Mañana: \(\dfrac{2}{5}\cdot150=60\) km. Quedan 90 km. Tarde: \(\dfrac{1}{3}\cdot90=30\) km. Le faltan \(150-60-30=60\) km.
¡Atención!
- Sumar numeradores y denominadores: \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\) no es \(\dfrac{2}{5}\) sino \(\dfrac{5}{6}\).
- Olvidar simplificar al final o simplificar solo uno de los sumandos.
- Al dividir, invertir la primera fracción en vez de la segunda.
- Confundir «los \(\dfrac{3}{4}\) del total» con «los \(\dfrac{3}{4}\) de lo que queda».
¿Sabías que…?
Los antiguos egipcios, hace más de 3 500 años, solo usaban fracciones con numerador 1, como \(\dfrac{1}{2}\) o \(\dfrac{1}{3}\). Para escribir \(\dfrac{3}{4}\) usaban \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\). Hoy seguimos hablando así en la cocina: «media docena de huevos», «un cuarto de kilo» o «tres cuartos de hora».
De decimal a fracción: periódicos mixtos
Método: generatriz de un decimal periódico mixto
- Llama \(N\) al número, por ejemplo \(N=0{,}2\overset{\frown}{5}=0{,}2555\dots\)
- Multiplica por una potencia de 10 para que la coma quede tras el primer periodo: \(100N=25{,}555\dots\)
- Multiplica por otra potencia de 10 para que la coma quede justo antes del periodo: \(10N=2{,}555\dots\)
- Resta ambas igualdades: \(90N=23\), de modo que \(N=\dfrac{23}{90}\).
Ejemplo 11
Escribe \(1{,}\overset{\frown}{3}\) y \(0{,}41\overset{\frown}{6}\) como fracciones.
\(N=1{,}333\dots\); \(10N-N=12\), luego \(N=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}\). Para \(M=0{,}41666\dots\): \(1\,000M=416{,}666\dots\) y \(100M=41{,}666\dots\); restando, \(900M=375\) y \(M=\dfrac{375}{900}=\dfrac{5}{12}\).
Fracciones, decimales y porcentajes
Regla: tres formas de escribir lo mismo
Una fracción, un decimal y un porcentaje pueden representar el mismo número. Para pasar de fracción a decimal se divide: \(\dfrac{3}{4}=0{,}75\). Para pasar de decimal a porcentaje se multiplica por 100: \(0{,}75=75\%\). Y un porcentaje es una fracción de denominador 100: \(25\%=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}\).
Ejemplo 12
En una clase de 25 alumnos, 15 llevan gafas. Escribe esa parte como fracción, decimal y porcentaje.
Fracción: \(\dfrac{15}{25}=\dfrac{3}{5}\). Decimal: \(3:5=0{,}6\). Porcentaje: \(0{,}6\cdot100=60\%\). Se comprueba: el 60 % de 25 es \(0{,}6\cdot25=15\).
Método: ordenar números rápidamente
- Si las fracciones tienen el mismo denominador, se ordena por el numerador.
- Si tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador.
- En otro caso, se reducen a común denominador con el mcm o se pasan a decimales con la calculadora.
- Para mezclar fracciones y decimales, convierte todo al mismo formato.
Fracciones en la vida diaria
En la panadería pides «tres cuartos de kilo» (0,75 kg) y en la receta «un cuarto de litro» (250 ml). Una tercera parte de una hora son 20 minutos y dos tercios de un euro son aproximadamente 0,67 €. Convertir con soltura entre fracciones y decimales te ahorra errores en problemas de compras, recetas y horarios.
Propiedad: redondeo y aproximación
Cuando un decimal periódico se usa en un problema real, se redondea según lo que se pida: a las décimas, a las centésimas o al euro. Se mira la cifra siguiente a la última que se conserva: si es 5 o más, se sube una unidad; si es menor que 5, se deja igual. Así, \(\dfrac{2}{3}=0{,}666\dotspprox0{,}67\) y \(\dfrac{1}{6}=0{,}1666\dotspprox0{,}17\). Recuerda que el redondeo es una aproximación: el resultado exacto es la fracción, y es mejor trabajar con fracciones hasta el último paso para no acumular errores.
Ejemplo 13
Tres amigos se reparten 10 € a partes iguales. ¿Cuánto recibe cada uno? ¿Cuánto suman en total las tres cantidades redondeadas?
Cada uno recibe \(\dfrac{10}{3}=3{,}333\dotspprox3{,}33\) €. Las tres cantidades redondeadas suman \(3\cdot3{,}33=9{,}99\) €, un céntimo menos que 10 €. Ese céntimo es el error de redondeo: en la vida real se resuelve dando 3,34 € a uno de ellos.
Consejo para el examen
Antes de dar por buena una respuesta con fracciones, haz siempre tres comprobaciones: que la fracción esté simplificada, que el resultado tenga sentido (por ejemplo, que una parte de una tarta no sea mayor que la tarta entera) y que las unidades sean las que pide el enunciado. Escribe los pasos intermedios: así, aunque te equivoques en una cuenta, el profesor puede ver que has planteado bien el problema y valorarte el procedimiento.
¡Atención! Sumar numeradores y denominadores
Un error muy extendido es sumar \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\) como \(\dfrac{2}{5}\). Basta pensar en una pizza: media pizza más un tercio de pizza es más que media pizza, y \(\dfrac{2}{5}\) es menos que media. Para sumar o restar fracciones hay que reducir antes a común denominador: \(\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}\). Solo en el producto se multiplican directamente numeradores entre sí y denominadores entre sí.
Observación: ¿cuándo da un decimal exacto?
Una fracción irreducible da un decimal exacto solo si su denominador no tiene más factores primos que 2 y 5. Por eso \(\dfrac{7}{40}=0{,}175\) es exacto (\(40=2^3\cdot5\)) y \(\dfrac{5}{12}=0{,}41\overline{6}\) es periódico (\(12=2^2\cdot3\)).
El consejo de Otto
Convierte todo al mismo formato antes de comparar y, para problemas con «lo que queda», calcula siempre sobre el resto, no sobre el total.
Cómo usar los apuntes de fracciones, decimales y notación científica de 2º ESO
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de fracciones, decimales y notación científica y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de fracciones, decimales y notación científica y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de fracciones, decimales y notación científica de 2º ESO reúnen todo lo necesario para el tema.
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