¿Cuál es la diferencia entre función lineal y afín?

La lineal es y = mx y pasa por el origen. La afín es y = mx + n y corta al eje Y en el punto (0, n).

¿Cómo se calcula la pendiente de una recta?

Con dos puntos: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Es lo que aumenta y cuando x aumenta una unidad.

¿Qué es la ordenada en el origen?

Es el valor de y cuando x = 0, es decir, la altura a la que la recta corta al eje vertical.

¿Cómo se sabe si un punto pertenece a una recta?

Se sustituyen sus coordenadas en la ecuación; si se cumple la igualdad, el punto está en la recta.

Apuntes de funciones lineales y afines 2º ESO para descargar en PDF

Estos apuntes de funciones lineales y afines de 2º ESO están pensados para alumnos de 13-14 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Función lineal y afín: pendiente, ordenada y gráfica. Antes de empezar, conviene repasar ecuaciones de segundo grado y sistemas de ecuaciones, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.

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Apuntes de funciones lineales y afines 2º ESO: lo que vas a aprender

Las funciones lineales y afines describen situaciones de crecimiento constante: tarifas, velocidades, ahorros. Su gráfica es siempre una recta.

Actividad de introducción: caminar a ritmo constante

Sara sale a caminar por el Retiro, en Madrid, a un ritmo constante de 5 kilómetros por hora. A la media hora lleva 2,5 km, a la hora 5 km, a las dos horas 10 km. Si anotamos el tiempo y la distancia en una tabla, vemos que cada vez que el tiempo aumenta una hora, la distancia aumenta 5 km. Esa regularidad se resume en una fórmula, \(d=5t\), y al dibujarla en unos ejes sale una línea recta. Otro día Sara empieza ya a 3 km de casa y camina al mismo ritmo: ahora \(d=3+5t\). Las funciones lineales y afines describen situaciones con cambio constante, y en este tema aprenderás a escribirlas, representarlas e interpretarlas.

Funciones y formas de representarlas

Definición: función

Una función asigna a cada valor de la variable independiente \(x\) un único valor de la dependiente \(y=f(x)\). Se puede representar con un enunciado, una tabla, una gráfica o una fórmula. El dominio es el conjunto de valores de \(x\) para los que está definida.

Función lineal: proporcionalidad directa

Definición: función lineal

Una función lineal es \(y=mx\). Su gráfica es una recta que pasa por el origen y \(m\) es la pendiente: lo que aumenta \(y\) cuando \(x\) aumenta 1.

Función afín: la recta \(y=mx+n\)

Definición: función afín

Una función afín es \(y=mx+n\). \(m\) es la pendiente y \(n\) la ordenada en el origen (valor de \(y\) cuando \(x=0\)). Si \(m>0\) crece, si \(m<0\) decrece y si \(m=0\) es constante.

Propiedad

Dados dos puntos \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\) de una recta, la pendiente es \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).

Cómo representar una recta

Método: representar una recta

Haz una tabla con al menos dos valores de \(x\).
Calcula las \(y\) correspondientes.
Marca los puntos y traza la recta con una regla.

Ejemplo 1

Representa \(y=2x-3\).

Para \(x=0\), \(y=-3\). Para \(x=2\), \(y=1\). Se unen los puntos \((0,-3)\) y \((2,1)\).

Cortes con los ejes

Regla: puntos de corte

Corte con el eje Y: \(x=0\), el punto es \((0,n)\). Corte con el eje X: \(y=0\), se resuelve \(mx+n=0\) y \(x=-\dfrac{n}{m}\).

Ejemplo 2

Halla los cortes de \(y=-2x+6\).

Eje Y: \((0,6)\). Eje X: \(-2x+6=0\), \(x=3\), \((3,0)\).

Hallar la ecuación de una recta

Método: ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Calcula la pendiente \(m\).
Sustituye un punto en \(y=mx+n\) y despeja \(n\).
Escribe \(y=mx+n\).

Ejemplo 3

Halla la recta que pasa por \(A(1,3)\) y \(B(3,7)\).

\(m=\dfrac{7-3}{3-1}=2\). Con \(A\): \(3=2\cdot1+n\), \(n=1\). La recta es \(y=2x+1\).

Rectas paralelas y puntos de corte

Propiedad

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Se cortan donde tienen el mismo valor de \(y\): se resuelve el sistema formado por sus ecuaciones.

Ejemplo 4

Halla el corte de \(y=x+2\) y \(y=-2x+8\).

\(x+2=-2x+8\), \(3x=6\), \(x=2\), \(y=4\). Se cortan en \((2,4)\).

Funciones afines en problemas

Ejemplo 5

Una tarifa de móvil cuesta 5 € fijos más 0,10 € por minuto. Escribe la función y calcula el coste de 80 min.

\(y=5+0{,}10x\). Para \(x=80\): \(y=13\) €.

Ejemplo 6

Un depósito tiene 200 l y pierde 4 l por hora. ¿Cuándo se vacía?

\(y=200-4x\). \(200-4x=0\), \(x=50\) h.

¡Atención!

La pendiente no es el corte con el eje Y. Y una recta como \(y=3\) es horizontal, no vertical.

Qué es una función

Definición: función

Una función es una relación entre dos magnitudes en la que a cada valor de la variable independiente \(x\) le corresponde un único valor de la variable dependiente \(y\). Se puede dar con una tabla, una fórmula, una gráfica o un enunciado. Una gráfica corresponde a una función si cualquier recta vertical la corta, como mucho, en un punto.

Ejemplo 7

Una función viene dada por \(f(x)=\dfrac{x}{2}+3\). Calcula \(f(4)\), \(f(-6)\) y el valor de \(x\) para el que \(f(x)=7\).

\(f(4)=\dfrac{4}{2}+3=5\). \(f(-6)=-3+3=0\). Para \(f(x)=7\): \(\dfrac{x}{2}+3=7\), \(\dfrac{x}{2}=4\) y \(x=8\).

Pendiente y ordenada en el origen

Propiedad: la recta \(y=mx+n\)

La gráfica de \(y=mx+n\) es una recta. La pendiente \(m\) indica cuánto aumenta \(y\) cuando \(x\) aumenta una unidad: si \(m>0\) la recta sube, si \(m<0\) baja y si \(m=0\) es horizontal. La ordenada en el origen \(n\) es el valor de \(y\) cuando \(x=0\), es decir, el punto donde la recta corta al eje vertical. Cuando \(n=0\), la recta pasa por el origen y la función es de proporcionalidad directa.

Ejemplo 8

Calcula la pendiente de la recta que pasa por \((2,1)\) y \((6,9)\) y escribe su ecuación.

\(m=\dfrac{9-1}{6-2}=2\). Entonces \(y=2x+n\) y con \((2,1)\): \(1=4+n\), \(n=-3\). La ecuación es \(y=2x-3\).

Cómo representar una recta

Método: dibujar una recta

Elige dos o tres valores de \(x\), mejor sencillos (por ejemplo \(-1\), \(0\) y \(2\)).
Calcula el valor de \(y\) de cada uno con la fórmula.
Marca los puntos en unos ejes con la misma escala en los dos ejes.
Une los puntos con una regla: la recta continúa más allá de ellos.
Comprueba con un tercer punto que está alineado con los otros dos.

¡Atención!

Confundir la pendiente con la ordenada: en \(y=-3x+5\) la pendiente es \(-3\) y la ordenada es 5.
Calcular la pendiente como \(\dfrac{x_2-x_1}{y_2-y_1}\): se divide la variación de \(y\) entre la de \(x\).
Cambiar el signo de un solo término al restar las coordenadas: hay que restar en el mismo orden arriba y abajo.
Pensar que dos rectas con distinta ordenada se cortan siempre: si tienen la misma pendiente son paralelas.

Ecuación de una recta y puntos de corte

Método: hallar la ecuación de una recta

Si conoces dos puntos, calcula la pendiente con \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).
Escribe \(y=mx+n\) con ese valor de \(m\).
Sustituye las coordenadas de uno de los puntos para despejar \(n\).
Comprueba con el otro punto.

Regla: punto de corte de dos rectas

Para hallar el punto donde se cortan \(y=m_1x+n_1\) e \(y=m_2x+n_2\) se igualan las dos expresiones: \(m_1x+n_1=m_2x+n_2\). Se despeja \(x\) y después se calcula \(y\) sustituyendo en cualquiera de las dos rectas. Si las pendientes son iguales y las ordenadas distintas no hay solución (son paralelas); si son iguales y además \(n_1=n_2\), son la misma recta.

Ejemplo 9

Halla el corte de \(y=2x-1\) e \(y=-x+5\).

Igualamos: \(2x-1=-x+5\), \(3x=6\), \(x=2\). Entonces \(y=2\cdot2-1=3\). El punto de corte es \((2,3)\). Comprobación en la otra recta: \(-2+5=3\).

¿Sabías que?

Las coordenadas cartesianas se llaman así por el filósofo y matemático René Descartes, que en el siglo XVII tuvo la idea de situar cada punto del plano con dos números. Gracias a esa idea, las figuras geométricas pueden estudiarse con ecuaciones y las ecuaciones pueden dibujarse. Hoy la usan los mapas de los móviles, los videojuegos y cualquier programa que dibuje gráficas.

Funciones lineales en situaciones reales

Interpretar pendiente y ordenada

En una tarifa de móvil, la ordenada en el origen es la cuota fija y la pendiente es el precio de cada unidad. En un depósito que se vacía, la pendiente es negativa y representa los litros que se pierden cada minuto. En un taxi, la bajada de bandera es la ordenada y el precio por kilómetro es la pendiente. Cuando resuelvas un problema, escribe siempre qué significan \(m\) y \(n\) con sus unidades: es la mejor manera de comprobar que el resultado tiene sentido.

Ejemplo 10

Una empresa cobra 5 € de envío más 0,30 € por kilo. Escribe la función, represéntala con dos puntos y calcula el coste de un paquete de 12 kg.

\(C(x)=5+0{,}3x\). Puntos: \((0,5)\) y \((10,8)\). Para 12 kg: \(C(12)=5+3{,}6=8{,}60\) €. La pendiente 0,30 son los euros por kilo y la ordenada 5 es el envío fijo.

Leer la pendiente en la gráfica

La pendiente de una recta se puede leer directamente en su gráfica, sin hacer cálculos con la fórmula. Basta con elegir dos puntos de la recta que caigan en cruces de la cuadrícula y contar cuántas unidades se avanza en horizontal y cuántas se sube o se baja en vertical.

Método: pendiente a partir de la gráfica

Elige dos puntos de la recta con coordenadas enteras.
Cuenta el avance horizontal de izquierda a derecha entre ellos.
Cuenta la subida (positiva) o la bajada (negativa) en vertical.
Divide: pendiente = variación vertical : variación horizontal.

Ejemplo 11

Una recta pasa por \((0,4)\) y, avanzando 3 unidades a la derecha, baja 2 unidades. Escribe su ecuación.

La pendiente es \(m=\dfrac{-2}{3}\), negativa porque la recta baja. Como corta al eje vertical en 4, la ordenada en el origen es \(n=4\). La ecuación es \(y=-\dfrac{2}{3}x+4\). Comprobación: con \(x=3\), \(y=-2+4=2\), que es el punto al que se llega tras bajar 2 unidades desde 4.

¡Atención! Las escalas de los ejes

Si en el eje horizontal cada cuadrado vale 1 y en el vertical vale 10, una recta de pendiente 10 parecerá tan inclinada como una de pendiente 1 dibujada con la misma escala en los dos ejes. Antes de leer la pendiente en una gráfica, mira siempre cuánto vale cada división de cada eje.

El consejo de Otto

Para dibujar una recta rápido, marca primero \((0,n)\) y sube \(m\) unidades por cada una que avanzas a la derecha. Comprueba con un tercer punto.

Cómo usar los apuntes de funciones lineales y afines de 2º ESO

Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de funciones lineales y afines y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de funciones lineales y afines y corrígelo con las soluciones del examen.

Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de funciones lineales y afines de 2º ESO reúnen todo lo necesario para el tema.

En resumen, practicar a menudo funciona mejor que una sesión larga. Por ejemplo, diez minutos al día suelen bastar. Además, los errores son útiles, porque muestran qué repasar. Luego, cuando un método te parezca fácil, prueba un ejercicio más difícil. Así, ganas confianza poco a poco.

Funciones lineales y afines – matemáticas 2º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF

Apuntes de funciones lineales y afines 2º ESO: lo que vas a aprender

Funciones y formas de representarlas

Función lineal: proporcionalidad directa

Función afín: la recta \(y=mx+n\)

Cómo representar una recta

Cortes con los ejes

Hallar la ecuación de una recta

Rectas paralelas y puntos de corte

Funciones afines en problemas

Qué es una función

Pendiente y ordenada en el origen

Cómo representar una recta

Ecuación de una recta y puntos de corte

Funciones lineales en situaciones reales

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