Estos apuntes de números enteros, potencias y raíces de 2º ESO están pensados para alumnos de 13-14 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Operaciones con enteros, potencias de exponente entero y raíces. Antes de empezar, si lo necesitas, puedes repasar Matemáticas 1º ESO.
Apuntes de números enteros, potencias y raíces 2º ESO: lo que vas a aprender
En este tema ampliarás el cálculo con enteros: potencias de exponente entero, sus propiedades, raíces cuadradas y notación para números muy grandes.
Actividad de introducción: el termómetro de Nuria
Nuria vive en Burgos. El lunes por la mañana el termómetro del balcón marca \(-3\) °C. A mediodía sube 5 grados y por la noche baja 8. Para saber cuál es la temperatura final no basta con contar: hay que sumar y restar números positivos y negativos con cuidado. Además, el martes la abuela le pregunta cuántos grados de diferencia hay entre el \(-3\) de ayer y los 14 °C que hacen en Sevilla. ¿Sabrías responder? En este tema aprenderás a operar con enteros, a calcular potencias y raíces, y a escribir números enormes (la distancia a las estrellas) o diminutos (el tamaño de una bacteria) de forma abreviada.
Los números enteros y sus operaciones
Definición: número entero
Los enteros \(\mathbb{Z}\) son los naturales, sus opuestos y el cero. Se ordenan en la recta: es mayor el que está más a la derecha, y \(-2>-7\). El valor absoluto \(|a|\) es la distancia al cero.
Regla: operaciones con enteros
Suma: signos iguales, se suman y se deja el signo; signos distintos, se restan los valores absolutos y se deja el signo del mayor. Producto y cociente: signos iguales dan \(+\), signos distintos dan \(-\).Ejemplo 1
Calcula \((-4)\cdot(-3)-(+15):(-5)+2\).
\(12-(-3)+2=12+3+2=17\).
Método: operaciones combinadas
- Paréntesis, de dentro hacia fuera.
- Potencias y raíces.
- Productos y divisiones, de izquierda a derecha.
- Sumas y restas.
Ejemplo 2
Calcula \(-2^2+(-3)^2\cdot2-[5-(2-6)]\).
\(-4+9\cdot2-[5-(-4)]=-4+18-9=5\).
Potencias de exponente entero
Definición: potencia de exponente entero
\(a^n=a\cdot a\cdots a\) (\(n\) factores). Además \(a^0=1\) y \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\) (con \(a\ne0\)). Una potencia de base negativa es positiva si el exponente es par y negativa si es impar.
Ejemplo 3
Calcula \(2^{-3}\), \((-5)^2\), \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}\).
\(2^{-3}=\dfrac{1}{8}\). \((-5)^2=25\). \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}\).
Propiedades de las potencias
Regla: propiedades de las potencias
\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\) \(\;\) \(a^m:a^n=a^{m-n}\) \(\;\) \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\) \(\;\) \((a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\) \(\;\) \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\).
Ejemplo 4
Simplifica \(\dfrac{3^5\cdot3^{-2}}{3^4}\).
\(\dfrac{3^{5-2}}{3^4}=3^{3-4}=3^{-1}=\dfrac{1}{3}\).
¡Atención!
\(a^m+a^n\) no es \(a^{m+n}\): la regla del producto solo vale al multiplicar. Y \(-3^2=-9\), pero \((-3)^2=9\).
Raíces cuadradas
Definición: raíz cuadrada
\(\sqrt{a}=b\) si \(b\ge0\) y \(b^2=a\). Si \(a\) no es cuadrado perfecto, \(\sqrt{a}\) es un número decimal infinito no periódico (irracional) y se aproxima. No existe la raíz cuadrada real de un número negativo.
Ejemplo 5
Halla \(\sqrt{144}\), \(\sqrt{0{,}25}\) y aproxima \(\sqrt{50}\).
\(\sqrt{144}=12\), \(\sqrt{0{,}25}=0{,}5\). Como \(7^2=49\) y \(8^2=64\), \(\sqrt{50}\approx7{,}07\).
Potencias de 10 y números grandes
Definición: notación científica
Un número está en notación científica si se escribe \(a\cdot10^n\), con \(1\le a<10\) y \(n\) entero. Sirve para números muy grandes (\(n>0\)) o muy pequeños (\(n<0\)).
Ejemplo 6
Escribe 45 000 000 y 0,0000032 en notación científica.
\(4{,}5\cdot10^7\) y \(3{,}2\cdot10^{-6}\).
Ejemplo 7
La luz tarda 500 s en llegar del Sol a la Tierra y viaja a \(3\cdot10^5\) km/s. ¿Qué distancia hay?
\(500\cdot3\cdot10^5=1{,}5\cdot10^8\) km.
Observación
Para traducir un problema a enteros, usa positivos para ganancias o alturas sobre cero y negativos para deudas o profundidades.
Valor absoluto, opuesto y distancia entre enteros
Definición: valor absoluto y opuesto
El valor absoluto de un entero \(a\), que se escribe \(|a|\), es su distancia al 0 en la recta numérica: \(|-7|=7\) y \(|5|=5\). El opuesto de \(a\) es \(-a\): el opuesto de 4 es \(-4\) y el de \(-9\) es \(9\). Dos enteros opuestos tienen el mismo valor absoluto y están a la misma distancia del 0, uno a cada lado.
Propiedad: distancia entre dos enteros
La distancia entre dos enteros \(a\) y \(b\) es \(|a-b|\). Por ejemplo, la distancia entre \(-4\) y \(14\) es \(|14-(-4)|=18\). Para calcularla basta restar el mayor menos el menor; así el resultado siempre es positivo, como corresponde a una distancia.
Ejemplo 8
Un buzo está a \(-25\) m y sube hasta \(-7\) m. ¿Cuántos metros ha subido? ¿Y qué distancia hay entre \(-25\) m y la superficie?
Ha subido \(-7-(-25)=-7+25=18\) m. La distancia a la superficie, que es el nivel 0, es \(|-25|=25\) m.
Operaciones combinadas con enteros
Método: operaciones combinadas
- Resuelve primero lo que haya dentro de los paréntesis y corchetes, empezando por los más interiores.
- Calcula las potencias y las raíces.
- Haz las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
- Termina con las sumas y restas, agrupando positivos por un lado y negativos por otro.
- Comprueba el signo del resultado con una estimación.
Ejemplo 9
Calcula \(-3\cdot[\,4-(2-7)\,]+(-2)^3:4\).
Paréntesis: \(2-7=-5\). Corchete: \(4-(-5)=9\). Producto: \(-3\cdot9=-27\). Potencia: \((-2)^3=-8\) y cociente: \(-8:4=-2\). Suma: \(-27+(-2)=-29\).
Ejemplo 10
Un submarinista desciende 12 m cada minuto durante 3 minutos y luego asciende 5 m cada minuto durante 2 minutos. ¿A qué profundidad queda?
Descenso: \((-12)\cdot3=-36\) m. Ascenso: \((+5)\cdot2=+10\) m. Posición final: \(-36+10=-26\) m, es decir, a 26 m de profundidad.
¡Atención!
- Confundir \(-2^4=-16\) con \((-2)^4=16\): el signo solo entra en la potencia si está dentro del paréntesis.
- Pensar que \(-(-3)=-3\): dos signos menos seguidos se compensan y dan \(+3\).
- Sumar los valores absolutos al restar números de distinto signo: \(-8+5\) no es \(-13\), sino \(-3\).
- Calcular de izquierda a derecha sin respetar la jerarquía: \(2+3\cdot4\) vale 14, no 20.
Más sobre potencias
Definición: potencia de exponente negativo y cero
Para cualquier base \(a\neq0\) se define \(a^0=1\) y \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\). Así, \(5^0=1\), \(2^{-3}=\dfrac{1}{8}\) y \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4}\). Un exponente negativo no hace negativo al número: indica que hay que invertir la base.
Propiedad: potencia de un producto y de un cociente
Se cumple \((a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\) y \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\). Por ejemplo, \((2\cdot5)^3=2^3\cdot5^3=8\cdot125=1\,000\). No existe una regla parecida para sumas: \((2+3)^2=25\), pero \(2^2+3^2=13\).
Ejemplo 11
Simplifica \(\dfrac{2^{5}\cdot(2^{3})^{2}}{2^{7}}\).
\((2^3)^2=2^6\). Numerador: \(2^5\cdot2^6=2^{11}\). Cociente: \(2^{11-7}=2^4=16\).
Ejemplo 12
Calcula \(3^{-2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}\).
\(3^{-2}=\dfrac{1}{9}\) y \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}=2^3=8\). Suma: \(\dfrac{1}{9}+8=\dfrac{73}{9}\).
¿Sabías que…?
Según la leyenda, el inventor del ajedrez pidió al rey un grano de trigo en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera y así duplicando hasta la casilla 64. El rey aceptó riendo, pero el total es \(2^{64}-1\) granos, un número de 20 cifras que ningún reino podría pagar. Este ejemplo muestra la rapidez con la que crecen las potencias.
Raíces y números muy grandes o muy pequeños
Regla: notación científica con potencias de 10
Para escribir un número en notación científica se coloca la coma tras la primera cifra distinta de cero y se multiplica por \(10^n\), donde \(n\) es el número de lugares que se ha movido la coma: positivo si el número es grande, negativo si es menor que 1. Así, \(7\,300\,000=7{,}3\cdot10^{6}\) y \(0{,}0042=4{,}2\cdot10^{-3}\).
Ejemplo 13
La Luna está a \(3{,}84\cdot10^{5}\) km de la Tierra. ¿A cuántos metros está? ¿Cuántas veces cabe esa distancia en la que hay al Sol (\(1{,}5\cdot10^{8}\) km)?
En metros: \(3{,}84\cdot10^{5}\cdot10^{3}=3{,}84\cdot10^{8}\) m. Veces: \(\dfrac{1{,}5\cdot10^{8}}{3{,}84\cdot10^{5}}\approx0{,}39\cdot10^{3}\approx391\) veces.
Método: cómo estimar una raíz cuadrada
- Busca los dos cuadrados perfectos entre los que se encuentra el número.
- La raíz estará entre las raíces de esos cuadrados: \(\sqrt{50}\) está entre \(\sqrt{49}=7\) y \(\sqrt{64}=8\).
- Prueba con decimales: \(7{,}1^2=50{,}41\), un poco más de 50, así que \(\sqrt{50}\approx7{,}07\).
- Comprueba elevando al cuadrado.
Potencias en la vida diaria
Las potencias de 10 están en las unidades que usamos: un kilómetro son \(10^3\) m, un milímetro \(10^{-3}\) m y un micrómetro \(10^{-6}\) m. En informática, un kilobyte son aproximadamente \(2^{10}=1\,024\) bytes y un megabyte \(2^{20}\) bytes. Aprender a manejar potencias te ayuda a comparar tamaños con soltura.
Divisibilidad con enteros y potencias
La descomposición en factores primos se escribe con potencias, y las propiedades de las potencias permiten simplificar cálculos que parecen muy largos. Por ejemplo, para saber si un número es un cuadrado perfecto basta con mirar los exponentes de su descomposición: todos deben ser pares.
Propiedad: cuadrados perfectos y factores primos
Un número natural es un cuadrado perfecto si y solo si todos los exponentes de su descomposición en factores primos son pares. Así, \(144=2^4\cdot3^2\) es cuadrado perfecto y su raíz es \(2^2\cdot3=12\); en cambio, \(72=2^3\cdot3^2\) no lo es, porque el exponente de 2 es impar.
Ejemplo 14
Calcula \(\dfrac{6^4\cdot2^3}{4^3\cdot3^2}\) sin calculadora.
Escribimos todas las bases como productos de primos: \(6^4=2^4\cdot3^4\) y \(4^3=(2^2)^3=2^6\). La expresión queda \(\dfrac{2^4\cdot3^4\cdot2^3}{2^6\cdot3^2}=\dfrac{2^7\cdot3^4}{2^6\cdot3^2}=2^{7-6}\cdot3^{4-2}=2\cdot9=18\). Trabajar con potencias de bases primas evita multiplicar números grandes.
¡Atención! La raíz de una suma no es la suma de las raíces
\(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\), mientras que \(\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7\). Las raíces se pueden repartir en un producto, \(\sqrt{4\cdot9}=\sqrt4\cdot\sqrt9=6\), pero nunca en una suma o una resta. Tampoco existe la raíz cuadrada de un número negativo dentro de los números enteros: ningún entero al cuadrado da \(-16\).
Ejemplo 15
¿Es 180 un cuadrado perfecto? ¿Por qué número hay que multiplicarlo, como mínimo, para obtener uno?
Descomponemos: \(180=2^2\cdot3^2\cdot5\). El exponente de 5 es impar, así que 180 no es cuadrado perfecto. Si lo multiplicamos por 5, obtenemos \(900=2^2\cdot3^2\cdot5^2\), con todos los exponentes pares, y \(\sqrt{900}=2\cdot3\cdot5=30\). El menor multiplicador es 5.
¿Sabías que…? La leyenda del ajedrez
Cuenta la leyenda que el inventor del ajedrez pidió como premio un grano de trigo por la primera casilla, dos por la segunda, cuatro por la tercera y así, duplicando, hasta la casilla 64. Solo la última casilla necesita \(2^{63}\) granos, más de nueve trillones: más trigo del que se ha cosechado en toda la historia.
El consejo de Otto
Para trabajar con potencias, lleva todo a una misma base cuando se pueda (\(8=2^3\), \(9=3^2\)) y aplica las propiedades. Y comprueba el signo antes de calcular.
Cómo usar los apuntes de números enteros, potencias y raíces de 2º ESO
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de números enteros, potencias y raíces y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de números enteros, potencias y raíces y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de números enteros, potencias y raíces de 2º ESO reúnen todo lo necesario para el tema.
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