Ecuaciones de segundo grado – matemáticas 2º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(x^2-49=0\) es incompleta sin término en \(x\): \(x^2=49\) y x = 7 o x = −7 (1 punto).
   2. En \(3x^2+12x=0\) sacamos \(3x\): \(3x(x+4)=0\), y cada factor nulo da x = 0 o x = −4 (1 punto).
   3. En \(x^2-5x+6=0\) el discriminante es 1 y \(x=\frac{5\pm1}{2}\): 3 y 2, que suman 5 y multiplican 6 (1 punto).
   4. En \(2x^2+3x-2=0\), \(\Delta=9+16=25\) y \(x=\frac{-3\pm5}{4}\): 1/2 y −2; sustituyendo 1/2: 0,5 + 1,5 − 2 = 0 (1 punto).

2. Solución del ejercicio 2 (3 puntos)

   1. Para \(k=4\) el discriminante \(16-4k\) vale 0: hay una solución doble, \(x=2\), porque \(x^2-4x+4=(x-2)^2\) (1 punto).
   2. Para \(k=3\) vale \(16-12=4\), positivo: dos soluciones, \(x=\frac{4\pm2}{2}\), es decir, 1 y 3 (1 punto).
   3. Para \(k=5\) vale \(16-20=-4\), negativo: ninguna solución real, ya que no existe la raíz cuadrada de −4. En general, al crecer \(k\) disminuye el discriminante, y el cambio se produce en \(k=4\) (1 punto).

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. Si las soluciones son 3 y −2, la ecuación es \((x-3)(x+2)=0\), que desarrollada da \(x^2-x-6=0\). La suma de soluciones, 1, coincide con \(-b/a\), y el producto, −6, con \(c/a\) (2 puntos).
   2. Quitando el paréntesis, \(x^2+3x-10=0\); el discriminante 49 da \(x=\frac{-3\pm7}{2}\), es decir, 2 y −5. Comprobación: \(2\cdot5=10\) y \((-5)\cdot(-2)=10\). Ambas soluciones son válidas porque aquí \(x\) no representa ninguna longitud (2 puntos).

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. Llamando \(x\) al ancho, el largo es \(x+3\) y la superficie \(x(x+3)=40\), o sea \(x^2+3x-40=0\) (1 punto).
   2. El discriminante vale \(9+160=169\) y \(x=\frac{-3\pm13}{2}\): 5 o −8. Una longitud negativa no tiene sentido, de modo que el jardín mide 5 m por 8 m (2 puntos).
   3. Su contorno es \(2\cdot(5+8)=\) 26 m; además 5 · 8 = 40 m² confirma el resultado (1 punto).

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. A los 2 s: \(h(2)=-5\cdot4+10\cdot2+15=\) 15 m, la misma altura del balcón (1 punto).
   2. Toca el suelo cuando \(h=0\); dividiendo entre −5, \(t^2-2t-3=0\), con soluciones 3 y −1. Solo vale t = 3 s, porque el lanzamiento empieza en t = 0 (1,5 puntos).
   3. En el instante 1 s alcanza \(h(1)=-5+10+15=\) 20 m, cinco metros por encima del balcón (1 punto).
   4. Igualando a 15 m: \(-5t^2+10t=0\), \(-5t(t-2)=0\), luego t = 0 y t = 2 s: sale del balcón y vuelve a pasar por esa altura al caer (1,5 puntos).

Total : 20 puntos