Ecuaciones de primer grado – matemáticas 2º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Sustituimos \(x=3\) en el primer miembro: \(2\cdot3+5=11\). Sí, \(11=11\).
   2. Sustituimos \(x=-2\) en los dos miembros, con paréntesis por ser negativo. Izquierda: \(4\cdot(-2)-1=-9\). Derecha: \(3\cdot(-2)-3=-9\). Sí.
   3. Sustituimos \(x=5\); primero se calcula el paréntesis \(5-1=4\). Izquierda: \(3\cdot4=12\). Derecha: \(10+4=14\). No, \(12\neq14\).
   4. Probamos valores: \(1+1=2\), \(2^2+2=6\) y Probando: \(3^2+3=12\). La solución entera positiva es \(x=3\).

   Un valor es solución solo si los dos miembros dan el mismo número.

2. Solución del ejercicio 2

   1. Para dejar sola la \(x\) hacemos la operación contraria a la que tiene. Restamos 7: \(x=19-7=12\). Comprobación: \(12+7=19\).
   2. El 5 multiplica, así que dividimos los dos miembros. Dividimos entre 5: \(x=-7\). Comprobación: \(5\cdot(-7)=-35\).
   3. La \(x\) está dividida entre 4: hacemos la operación inversa. Multiplicamos por 4: \(x=24\). Comprobación: \(24:4=6\).
   4. Primero quitamos el término independiente y después el coeficiente. Sumamos 8: \(3x=21\). Dividimos entre 3: \(x=7\). Comprobación: \(21-8=13\).

3. Solución del ejercicio 3

   1. Pasamos las \(x\) a la izquierda y los números a la derecha. Restamos \(2x\): \(3x-3=12\). Sumamos 3: \(3x=15\). Entonces \(x=5\).
   2. Conviene llevar las \(x\) al miembro donde el coeficiente quede positivo. Sumamos \(2x\): \(7=3x+1\). Restamos 1: \(6=3x\). Entonces \(x=2\).
   3. Llevamos las \(x\) a la derecha para trabajar con \(5x\). Restamos \(4x\): \(9=5x-6\). Sumamos 6: \(15=5x\). Entonces \(x=3\).
   4. Agrupamos y observamos que los números se anulan. Restamos \(2x\): \(4x-5=-5\). Sumamos 5: \(4x=0\). Entonces \(x=0\).

   Comprueba cada solución sustituyendo en la ecuación inicial.

4. Solución del ejercicio 4

   1. Aplicamos la distributiva en los dos miembros. \(3x-6=2x+8\). Restamos \(2x\) y sumamos 6: \(x=14\). Comprobación: \(3\cdot12=36=2\cdot18\).
   2. El signo menos delante del paréntesis cambia el signo de \(x\) y de 4. \(6x-2-x-4=9\), es decir, \(5x-6=9\), \(5x=15\) y \(x=3\).
   3. Al quitar \(-(2x-3)\) obtenemos \(-2x+3\). \(5-2x+3=x+2\), es decir, \(8-2x=x+2\). Entonces \(6=3x\) y \(x=2\).
   4. Multiplicamos \(-3\) por cada término: \(-6x+15\). \(4x+4-6x+15=x-2\), es decir, \(-2x+19=x-2\). Entonces \(21=3x\) y \(x=7\).

   El error más frecuente es olvidar cambiar los signos de todos los términos del paréntesis.

5. Solución del ejercicio 5

   1. Multiplicamos cada término por 6, también el segundo miembro. mcm\((2,3)=6\): \(3x+2x=60\), \(5x=60\), \(x=12\).
   2. Los numeradores con varios términos se ponen entre paréntesis. mcm\((3,4)=12\): \(4(x+1)-3(x-2)=12\), es decir, \(4x+4-3x+6=12\), \(x+10=12\) y \(x=2\).
   3. Multiplicamos los cuatro términos por 10, incluidos los enteros. mcm\((5,2)=10\): \(4x-10=5x+2\). Restamos \(4x\): \(-10=x+2\), luego \(x=-12\). Comprobación: \(-4{,}8-1=-5{,}8\) y \(-6+0{,}2=-5{,}8\).

   Al quitar denominadores se obtiene una ecuación equivalente sin fracciones.

6. Solución del ejercicio 6

   1. Quitamos el paréntesis y agrupamos las \(x\): \(3x+3=3x+5\) lleva a \(3=5\), que es falso: no tiene solución.
   2. Desarrollamos el primer miembro: \(2x-6=2x-6\) lleva a \(0=0\): es una identidad, tiene infinitas soluciones.
   3. Desarrollamos el segundo miembro: \(4x+2=4x+2\): identidad, infinitas soluciones.
   4. Agrupamos los términos del segundo miembro: \(5x-4=3x+2x+2=5x+2\) lleva a \(-4=2\): no tiene solución.

   Si las \(x\) desaparecen, la igualdad final decide: falsa, sin solución; verdadera, identidad.

7. Solución del ejercicio 7

   1. Un decimal como máximo: basta multiplicar por 10. Multiplicamos por 10: \(5x+12=27\). Entonces \(5x=15\) y \(x=3\).
   2. Todos los decimales tienen una cifra decimal. Multiplicamos por 10: \(12x-4=8x+20\). Entonces \(4x=24\) y \(x=6\).
   3. Hay dos cifras decimales, así que multiplicamos por 100. Multiplicamos por 100: \(25x+300=75x-100\). Entonces \(400=50x\) y \(x=8\).

   Comprobación del último: \(0{,}25\cdot8+3=5\) y \(0{,}75\cdot8-1=5\).

8. Solución del ejercicio 8

   1. Sea \(x\) la edad de Irene. Pablo tiene \(x-3\). Ecuación: \(x+(x-3)=29\).
   2. \(2x-3=29\), \(2x=32\), \(x=16\). Irene tiene 16 años y Pablo 13.
   3. Cada año la suma aumenta en 2: \(29+2t=41\), \(2t=12\) y \(t=6\) años.
   4. Hace \(t\) años: \(16-t=2(13-t)\), es decir, \(16-t=26-2t\). Entonces \(t=10\): Irene tenía 6 y Pablo 3.

9. Solución del ejercicio 9

   1. Tres camisetas cuestan \(3x\) y se suma el pantalón: \(3x+24{,}5=62\).
   2. Restamos 24,5 y dividimos entre 3: \(3x=37{,}5\) y \(x=12{,}5\) €.
   3. Si el precio rebajado es el 80 % del original \(y\): Con la rebaja se paga el 80 %: \(0{,}8y=12{,}5\), luego \(y=15{,}625\approx15{,}63\) €.
   4. El cambio es lo entregado menos lo pagado: \(100-62=38\) €.

   Respuesta: cada camiseta costó 12,50 € con la rebaja.

10. Solución del ejercicio 10

    1. El largo es «el doble del ancho más 2»; el perímetro suma dos anchos y dos largos. Largo: \(2x+2\). Perímetro: \(2x+2(2x+2)=34\).
    2. Quitamos el paréntesis, agrupamos y despejamos. \(2x+4x+4=34\), \(6x=30\) y \(x=5\) m. Largo: \(2\cdot5+2=12\) m.
    3. El área del rectángulo es ancho por largo: \(5\cdot12=60\) m².
    4. Multiplicamos los metros de valla por el precio: \(34\cdot6{,}5=221\) €.

    Comprobación: \(2\cdot5+2\cdot12=34\) m.

11. Solución del ejercicio 11

    1. Si el menor es \(x\), los siguientes son \(x+1\) y \(x+2\). \(x+(x+1)+(x+2)=96\), \(3x+3=96\), \(x=31\). Son 31, 32 y 33.
    2. Los pares consecutivos se diferencian en 2. \(x+(x+2)+(x+4)+(x+6)=92\), \(4x+12=92\), \(x=20\). Son 20, 22, 24 y 26.
    3. Dos consecutivos son \(x\) y \(x+1\). \(x+(x+1)=83\), \(2x=82\), \(x=41\). Son 41 y 42.
    4. La suma de tres consecutivos es \(3x+3\), siempre múltiplo de 3, y 100 no lo es. \(3x+3=100\) da \(x=32{,}33\dots\), que no es entero. No pueden sumar 100.

12. Solución del ejercicio 12

    1. Distancia = velocidad · tiempo: Primer tren: \(90t\) km.
    2. El segundo tren sale 2 horas más tarde. El segundo lleva \(t-2\) horas de marcha: \(120(t-2)\) km.
    3. Lo alcanza cuando los dos han recorrido la misma distancia: \(90t=120(t-2)\), \(90t=120t-240\), \(240=30t\) y \(t=8\) horas desde la salida del primero (6 horas desde la del segundo).
    4. Sustituimos \(t=8\) en cualquiera de las dos expresiones: \(90\cdot8=720\) km (y \(120\cdot6=720\) km).

13. Solución del ejercicio 13

    1. El precio es lo recaudado más lo que falta, o lo recaudado menos lo que sobra. Con 6 €: precio \(=6x+12\). Con 8 €: precio \(=8x-4\).
    2. Igualamos las dos expresiones del precio: \(6x+12=8x-4\), \(16=2x\), \(x=8\) alumnos.
    3. Sustituimos \(x=8\): \(6\cdot8+12=60\) €. Comprobación: \(8\cdot8-4=60\) €.
    4. Repartimos el precio entre los que pagan: Pagan \(8-3=5\) alumnos: \(60:5=12\) € cada uno.

    Respuesta: son 8 alumnos y el regalo cuesta 60 €.

14. Solución del ejercicio 14

    1. Coste: \(3\cdot12+4x=36+4x\). Valor de la mezcla: \(8(3+x)\).
    2. \(36+4x=24+8x\), \(12=4x\) y \(x=3\) kg.
    3. Mezcla: \(3+3=6\) kg y se ingresa \(6\cdot8=48\) €, igual que el coste \(36+12=48\) €.
    4. Con 6 kg de pasas, el coste es \(36+24=60\) € para 9 kg: \(60:9\approx6{,}67\) € el kilo. Venderla a 8 € daría ganancia, no sería «justo» en el sentido de coste.

15. Solución del ejercicio 15

    1. Sea \(x\) lo que tiene Ana. Bea: \(2x\). Carlos: \(2x-15\).
    2. \(x+2x+2x-15=235\), \(5x=250\) y \(x=50\).
    3. Ana tiene 50 €, Bea 100 € y Carlos 85 €. Bea tiene más. Comprobación: \(50+100+85=235\).
    4. Cuesta \(3\cdot90=270\) €. Faltan \(270-235=35\) €.
    5. Ana: \(\dfrac{50}{235}=\dfrac{10}{47}\). Bea: \(\dfrac{100}{235}=\dfrac{20}{47}\). Carlos: \(\dfrac{85}{235}=\dfrac{17}{47}\).

16. Solución del ejercicio 16

    1. Una vuelta es el perímetro; tres hilos son tres vueltas. Largo: \(x+20\). Perímetro: \(2x+2(x+20)=4x+40\). Con tres hilos: \(3(4x+40)=480\).
    2. Quitamos el paréntesis y despejamos. \(12x+120=480\), \(12x=360\) y \(x=30\) m. Largo: \(50\) m.
    3. Multiplicamos ancho por largo y dividimos entre 10 000 para pasar a hectáreas. Área: \(30\cdot50=1\,500\) m\(^2=0{,}15\) ha.
    4. Multiplicamos los 480 m de alambre por su precio: \(480\cdot0{,}85=408\) €.

    Comprobación: \(3\cdot2\cdot(30+50)=480\) m.

17. Solución del ejercicio 17

    1. A: \(12+0{,}05x\). B: \(0{,}15x\).
    2. \(12+0{,}05x=0{,}15x\), \(12=0{,}1x\) y \(x=120\) minutos (18 € en ambas).
    3. 90 min: A cuesta \(12+4{,}5=16{,}5\) € y B \(13{,}5\) €; conviene B. 200 min: A cuesta \(22\) € y B \(30\) €; conviene A.
    4. 150 min: A cuesta \(12+7{,}5=19{,}5\) € y B \(22{,}5\) €. Ahorra \(3\) € al mes, \(36\) € al año.

18. Solución del ejercicio 18

    1. Al primero se le restan 25 L por minuto y al segundo se le suman 15 L. Primero: \(800-25t\). Segundo: \(200+15t\).
    2. Igualamos los contenidos y sustituimos el tiempo obtenido. \(800-25t=200+15t\), \(600=40t\) y \(t=15\) min. Contenido: \(800-375=425\) L y \(200+225=425\) L.
    3. Se vacía cuando su contenido es 0: \(800-25t=0\), \(t=32\) min.
    4. Sustituimos \(t=32\) en la expresión del segundo: A los 32 minutos: \(200+15\cdot32=680\) litros.

19. Solución del ejercicio 19

    1. Una rebaja del 20 % deja el 80 % del precio; después se restan 10 €. Con la rebaja se paga \(0{,}8x\); después se resta 10: \(0{,}8x-10=62\).
    2. Sumamos 10 y dividimos entre 0,8: \(0{,}8x=72\) y \(x=90\) €.
    3. El ahorro es la diferencia entre el precio original y lo pagado: \(90-62=28\) €.
    4. Dividimos el ahorro entre el precio original y multiplicamos por 100: \(\dfrac{28}{90}=0{,}311\dots\approx31{,}1\,\%\).

    Comprobación: \(0{,}8\cdot90-10=62\) €.

20. Solución del ejercicio 20

    1. \(\dfrac{x}{6}+\dfrac{x}{12}+\dfrac{x}{7}+5+\dfrac{x}{2}+4=x\).
    2. mcm\(=84\): \(14x+7x+12x+420+42x+336=84x\), es decir, \(75x+756=84x\); entonces \(756=9x\) y \(x=84\) años.
    3. Se casó a los \(\dfrac{84}{6}+\dfrac{84}{12}+\dfrac{84}{7}=14+7+12=33\) años. Su hijo nació cuando Diofanto tenía \(33+5=38\) años. El hijo vivió \(84:2=42\) años.
    4. \(14+7+12+5+42+4=84\). Las partes suman 84, la vida total.