Ecuaciones de primer y segundo grado – matemáticas 3º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. \(3\cdot5-5=10\). Se cumple: \(x=5\) es solución. Los dos miembros valen 10, así que la igualdad es cierta.
   2. Miembro izquierdo: \(2\cdot5=10\); derecho: \(4+7=11\). No coinciden: \(x=4\) no es solución. (La solución es \(x=5\).) Una solución tiene que hacer iguales los dos miembros.
   3. \(2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0\). Sí es solución. Al sustituir, el polinomio se anula: \(x=2\) es solución.
   4. \((-1)^2+(-1)-2=1-1-2=-2\neq0\). No es solución. El resultado es \(-2\) y no cero, así que la igualdad es falsa.

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(5x=25\), \(x=5\). Comprobación: \(25-7=18\). Pasamos el \(-7\) sumando al otro miembro y dividimos entre 5. Solución: \(x=5\).
   2. \(3x-2x=-9-4\), \(x=-13\). Comprobación: \(-39+4=-35\) y \(-26-9=-35\). Restamos \(2x\) en los dos miembros y restamos 4. Los dos miembros valen \(-35\). Solución: \(x=-13\).
   3. \(4x-12=2x+6\), \(2x=18\), \(x=9\). Comprobación: \(4\cdot6=24\) y \(18+6=24\). Primero quitamos el paréntesis multiplicando 4 por cada término; después agrupamos. Solución: \(x=9\).
   4. \(-2x=3-9=-6\), \(x=3\). Comprobación: \(-6+9=3\). Restamos 9 en los dos miembros y dividimos entre \(-2\); menos entre menos da más. Solución: \(x=3\).

3. Solución del ejercicio 3

   1. Multiplicamos por \(6\): \(3x+2x=60\), \(5x=60\), \(x=12\). Una solución. Comprobación: \(6+4=10\).
   2. Multiplicamos por 12: \(3(x+1)-2(x-2)=12\), \(3x+3-2x+4=12\), \(x+7=12\), \(x=5\). Comprobación: \(\dfrac{6}{4}-\dfrac{3}{6}=1{,}5-0{,}5=1\). Una solución.
   3. Desarrollamos: \(3x-6-2x-2=x-4\), es decir, \(x-8=x-4\). Restando \(x\): \(-8=-4\), que es falso. No tiene solución. Una igualdad falsa indica que ningún número la cumple.
   4. Desarrollamos: \(2x+6=2x+6\). Es una identidad: tiene infinitas soluciones (cualquier número). Los dos miembros son idénticos, así que se cumple para todo \(x\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(x^2=49\), \(x=\pm7\). Pasamos 49 al otro miembro y hacemos la raíz cuadrada sin olvidar el doble signo. Soluciones: \(x=7\) y \(x=-7\).
   2. \(3x^2=27\), \(x^2=9\), \(x=\pm3\). Despejamos \(x^2\) dividiendo entre 3. Comprobación: \(3\cdot9-27=0\). Soluciones: \(x=3\) y \(x=-3\).
   3. \(x(x-5)=0\): \(x=0\) o \(x=5\). Un producto vale cero si alguno de sus factores es cero. Comprobación con 5: \(25-25=0\). Soluciones: \(0\) y \(5\).
   4. \(2x(x+4)=0\): \(x=0\) o \(x=-4\). Sacamos factor común \(2x\) e igualamos cada factor a cero. Comprobación con \(-4\): \(32-32=0\). Soluciones: \(0\) y \(-4\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(a=1,\ b=-5,\ c=6\). \(\Delta=25-24=1\). \(x=\dfrac{5\pm1}{2}\): \(x=3\) y \(x=2\). Comprobación: \(9-15+6=0\).
   2. \(a=1,\ b=2,\ c=-15\). \(\Delta=4+60=64\). \(x=\dfrac{-2\pm8}{2}\): \(x=3\) y \(x=-5\). Comprobación con \(-5\): \(25-10-15=0\).
   3. \(a=2,\ b=-7,\ c=3\). \(\Delta=49-24=25\). \(x=\dfrac{7\pm5}{4}\): \(x=3\) y \(x=\dfrac{1}{2}\). Comprobación con 3: \(18-21+3=0\).
   4. \(a=1,\ b=-4,\ c=4\). \(\Delta=16-16=0\). \(x=\dfrac{4}{2}=2\) (solución doble). Como el discriminante es cero, hay una sola solución: \(x^2-4x+4=(x-2)^2\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(\Delta=16-28=-12<0\). No tiene soluciones reales. Un discriminante negativo no tiene raíz cuadrada real, por eso la fórmula no da ningún número.
   2. \(\Delta=1+24=25\). \(x=\dfrac{1\pm5}{6}\): \(x=1\) y \(x=-\dfrac{2}{3}\). El discriminante es positivo, así que hay dos soluciones distintas. Comprobación con 1: \(3-1-2=0\).
   3. Debe ser \(\Delta=0\): \(36-4k=0\), \(k=9\). Entonces \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) y \(x=-3\). Una solución única corresponde siempre a un discriminante nulo. Respuesta: \(k=9\).
   4. \(\Delta=36-40=-4<0\): no tiene soluciones reales. Al aumentar \(k\) por encima de 9, el discriminante se hace negativo. Respuesta: con \(k=10\) la ecuación no tiene solución real.

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(x^2-x-6=14\), \(x^2-x-20=0\). \(\Delta=1+80=81\), \(x=\dfrac{1\pm9}{2}\): \(x=5\) y \(x=-4\). Primero desarrollamos el producto y pasamos el 14 al primer miembro. Comprobación: \(7\cdot2=14\).
   2. \(x^2+4x-45=0\). \(\Delta=16+180=196\), \(x=\dfrac{-4\pm14}{2}\): \(x=5\) y \(x=-9\). Comprobación con 5: \(5\cdot9=45\).
   3. Sin desarrollar: \(x-1=\pm4\), así que \(x=5\) y \(x=-3\). Hacemos la raíz cuadrada de los dos miembros, con doble signo, y despejamos \(x\). Comprobación: \(4^2=16\) y \((-4)^2=16\).
   4. \(x^2-3x-10=0\). \(\Delta=9+40=49\), \(x=\dfrac{3\pm7}{2}\): \(x=5\) y \(x=-2\). Pasamos todos los términos al primer miembro. Comprobación con 5: \(25=15+10\).

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(x^2+6=5x\), \(x^2-5x+6=0\), \(x=2\) y \(x=3\). Multiplicamos los dos miembros por \(x\) y ordenamos. El discriminante es \(25-24=1\), así que \(x=\dfrac{5\pm1}{2}\).
   2. \(12=x^2+x\), \(x^2+x-12=0\). \(\Delta=1+48=49\), \(x=\dfrac{-1\pm7}{2}\): \(x=3\) y \(x=-4\). Ninguna solución anula el denominador, así que las dos son válidas. Comprobación con \(-4\): \(\dfrac{12}{-4}=-3=-4+1\).
   3. Con \(x=2\): \(2+3=5\). Con \(x=3\): \(3+2=5\). Las dos valen. Ninguna anula el denominador, de modo que las dos soluciones son válidas.

9. Solución del ejercicio 9

   1. Hija: \(x\). Madre: \(3x\). «Triple» significa multiplicar por 3.
   2. Dentro de 6 años: \((x+6)+(3x+6)=64\). Las dos personas cumplen 6 años más, por eso sumamos 6 a cada edad.
   3. \(4x+12=64\), \(4x=52\), \(x=13\). La hija tiene 13 años y la madre \(39\). Agrupamos los términos en \(x\) y despejamos.
   4. Dentro de 6 años: \(19+45=64\). La madre tenía \(39-13=26\) años cuando nació su hija. La diferencia de edad entre ellas, 26 años, no cambia nunca.

10. Solución del ejercicio 10

    1. Manzanas: \(x\) €/kg. Peras: \(x+0{,}6\) €/kg. El precio de las peras es el de las manzanas más 0,60 €.
    2. \(3x+2(x+0{,}6)=11{,}2\). El coste total es el coste de las manzanas más el de las peras.
    3. \(3x+2x+1{,}2=11{,}2\), \(5x=10\), \(x=2\). Manzanas: 2 €/kg; peras: \(2{,}60\) €/kg. Comprobación: \(6+5{,}20=11{,}20\). Quitamos el paréntesis, agrupamos \(3x+2x=5x\) y despejamos \(x\).
    4. \(5\cdot2{,}6=13\) €. Multiplicamos el número de kilos por el precio del kilo de peras. Respuesta: pagaría 13 €.

11. Solución del ejercicio 11

    1. Con \(x\) alumnos paga \(\dfrac{360}{x}\); con \(x+6\) paga \(\dfrac{360}{x+6}\). Paga menos cuantos más alumnos hay.
    2. \(\dfrac{360}{x}-\dfrac{360}{x+6}=2\). Multiplicamos por \(x(x+6)\): \(360(x+6)-360x=2x(x+6)\), es decir, \(2\,160=2x^2+12x\) y \(x^2+6x-1\,080=0\). La diferencia entre lo que paga cada uno en los dos casos es de 2 €.
    3. \(\Delta=36+4\,320=4\,356=66^2\). \(x=\dfrac{-6\pm66}{2}\): \(x=30\) o \(x=-36\). Se descarta la negativa: van 30 alumnos. Un número de personas no puede ser negativo.
    4. Con 30 alumnos: \(360:30=12\) € cada uno. Con 36: \(360:36=10\) €, que son 2 € menos. Respuesta: cada alumno paga 12 €, y pagaría 10 € si fueran 36.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(x(x+5)=84\), es decir, \(x^2+5x-84=0\). El área de un rectángulo es el ancho por el largo, y el largo es \(x+5\).
    2. \(\Delta=25+336=361=19^2\). \(x=\dfrac{-5\pm19}{2}\): \(x=7\) o \(x=-12\). Solo vale \(x=7\) (una longitud no es negativa). Comprobación: \(7\cdot12=84\).
    3. Ancho 7 m y largo 12 m. Perímetro: \(2(7+12)=38\) m. El perímetro es la suma de los cuatro lados: dos anchos y dos largos.
    4. \(38\cdot12=456\) €. Multiplicamos los metros de valla por el precio de cada metro. Respuesta: cercar el jardín cuesta 456 €.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Tiempo \(=\dfrac{60}{v}\) y \(\dfrac{60}{v+5}\). Usamos que el tiempo es la distancia dividida entre la velocidad.
    2. \(\dfrac{60}{v}-\dfrac{60}{v+5}=1\). Multiplicamos por \(v(v+5)\): \(300=v^2+5v\), es decir, \(v^2+5v-300=0\). La diferencia entre los dos tiempos es de 1 hora.
    3. \(\Delta=25+1\,200=1\,225=35^2\). \(v=\dfrac{-5\pm35}{2}\): \(v=15\) (la otra, \(-20\), no es válida). Velocidad inicial: 15 km/h. Una velocidad no puede ser negativa.
    4. A 15 km/h: \(60:15=4\) h. A 20 km/h: \(60:20=3\) h. Ahorra 1 hora. La diferencia es exactamente 1 hora, lo que confirma la solución.

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(-5t^2+20t=0\), \(-5t(t-4)=0\): \(t=0\) (lanzamiento) y \(t=4\) s. Sacamos factor común \(-5t\) e igualamos cada factor a cero. Respuesta: el balón vuelve al suelo a los 4 segundos.
    2. \(-5t^2+20t=15\), \(t^2-4t+3=0\), \(t=\dfrac{4\pm2}{2}\): \(t=1\) s (sube) y \(t=3\) s (baja). Pasamos el 15 al primer miembro y dividimos entre \(-5\). Respuesta: está a 15 m a los 1 s y a los 3 s.
    3. \(h(2)=-20+40=20\) m (es la altura máxima, a mitad del vuelo). Sustituimos \(t=2\) en la fórmula de la altura.
    4. \(-5t^2+20t=25\) da \(t^2-4t+5=0\) con \(\Delta=16-20=-4<0\): no tiene solución. No llega a 25 m. Un discriminante negativo indica que la altura nunca toma ese valor, porque la máxima es 20 m.

15. Solución del ejercicio 15

    1. \((40+2x)\) por \((30+2x)\) centímetros. El marco añade \(x\) por cada lado, así que cada dimensión aumenta \(2x\).
    2. \((40+2x)(30+2x)-40\cdot30=800\), es decir, \((40+2x)(30+2x)=2\,000\). Desarrollando: \(4x^2+140x+1\,200=2\,000\) y \(x^2+35x-200=0\). Dividimos entre 4 para simplificar la ecuación.
    3. \(\Delta=1\,225+800=2\,025=45^2\). \(x=\dfrac{-35\pm45}{2}\): \(x=5\) (la otra solución es \(-40\)). El marco mide 5 cm de ancho. Una anchura no puede ser negativa.
    4. Dimensiones: \(50\cdot40=2\,000\) cm\(^2\). Marco: \(2\,000-1\,200=800\) cm\(^2\). Respuesta: el marco tiene 5 cm de ancho.

16. Solución del ejercicio 16

    1. El siguiente impar es \(x+2\). Dos impares consecutivos se diferencian en 2 unidades.
    2. \(x(x+2)=143\), \(x^2+2x-143=0\). \(\Delta=4+572=576=24^2\). \(x=\dfrac{-2\pm24}{2}\): \(x=11\) o \(x=-13\). Hay dos soluciones porque la ecuación es de segundo grado.
    3. Si \(x=11\): la pareja es \(11\) y \(13\). Si \(x=-13\): la pareja es \(-13\) y \(-11\). Cada solución de la ecuación da una pareja distinta.
    4. \(11\cdot13=143\) y también \((-13)\cdot(-11)=143\). Respuesta: los números positivos son 11 y 13.

17. Solución del ejercicio 17

    1. \(\dfrac{600}{x}\) y \(\dfrac{600}{x+2}\). El precio total se reparte entre el número de amigos.
    2. \(\dfrac{600}{x}-\dfrac{600}{x+2}=10\). Multiplicamos por \(x(x+2)\): \(1\,200=10x(x+2)\), \(10x^2+20x-1\,200=0\) y, dividiendo entre 10, \(x^2+2x-120=0\). La diferencia entre los dos precios por persona es de 10 €.
    3. \(\Delta=4+480=484=22^2\). \(x=\dfrac{-2\pm22}{2}\): \(x=10\) o \(x=-12\). El número de personas no puede ser negativo: \(x=10\). Comprobación: \(100+20-120=0\).
    4. Ahora: \(600:10=60\) € cada uno. Con 12: \(600:12=50\) €. Respuesta: ahora paga cada uno 60 €; con dos amigos más pagarían 50 €.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(x^2+(x+5)^2=25^2\), es decir, \(x^2+x^2+10x+25=625\). La diagonal es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por el ancho y el largo.
    2. \(2x^2+10x-600=0\); al dividir entre 2: \(x^2+5x-300=0\). Pasamos 625 al primer miembro y reducimos.
    3. \(\Delta=25+1\,200=1\,225=35^2\). \(x=\dfrac{-5\pm35}{2}\): \(x=15\) (la otra es \(-20\)). El patio mide 15 m por 20 m. Solo vale la solución positiva porque es una longitud.
    4. Área: \(15\cdot20=300\) m\(^2\). Perímetro: \(2(15+20)=70\) m. Comprobación: \(15^2+20^2=225+400=625=25^2\). Respuesta: el patio tiene 300 m\(^2\) y 70 m de perímetro.

19. Solución del ejercicio 19

    1. El segundo tarda \(x+3\) horas. En una hora llenan \(\dfrac{1}{x}\) y \(\dfrac{1}{x+3}\) del depósito.
    2. Juntos llenan en una hora la mitad del depósito: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{2}\).
    3. Multiplicamos por \(2x(x+3)\): \(2(x+3)+2x=x(x+3)\), \(4x+6=x^2+3x\), \(x^2-x-6=0\). \(x=\dfrac{1\pm5}{2}\): \(x=3\) o \(x=-2\). Vale \(x=3\): el primero tarda 3 h y el segundo 6 h.
    4. En una hora: \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}\). Tardan 2 horas. Respuesta: el primer grifo tarda 3 horas y el segundo 6 horas.

20. Solución del ejercicio 20

    1. \(9+3b-12=0\), \(b=1\). La ecuación es \(x^2+x-12=0\) y las soluciones suman \(-1\): la otra es \(-4\) (comprobación: \(3\cdot(-4)=-12\)).
    2. Si uno es \(x\), el otro es \(17-x\): \(x(17-x)=60\), \(x^2-17x+60=0\). \(\Delta=289-240=49\), \(x=\dfrac{17\pm7}{2}\): 12 y 5. Los números son 12 y 5.
    3. \(z^2-13z+36=0\): \(\Delta=169-144=25\), \(z=\dfrac{13\pm5}{2}\): \(z=9\) o \(z=4\). Entonces \(x=\pm3\) o \(x=\pm2\).
    4. Debe ser \(\Delta=0\): \(k^2-36=0\), \(k=6\) o \(k=-6\). Entonces \(x^2\pm6x+9=(x\pm3)^2\).