Ecuaciones de primer y segundo grado – matemáticas 3º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(3x-6=x+8\), \(2x=14\), \(x=7\). Quitamos el paréntesis, pasamos \(x\) al primer miembro y el \(-6\) al segundo. Comprobación: \(3\cdot5=15=7+8\).
   2. Multiplicamos por 6: \(2x+3(x-2)=24\), \(5x-6=24\), \(5x=30\), \(x=6\). El mínimo común múltiplo de 3 y 2 es 6. Comprobación: \(2+2=4\).
   3. \(2x-2=2x+5\) lleva a \(-2=5\), que es falso: no tiene solución. Al llegar a una igualdad falsa sin \(x\), la ecuación no tiene ninguna solución.

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \(\Delta=81-80=1\), \(x=\dfrac{9\pm1}{2}\): \(x=5\) y \(x=4\). Identificamos \(a=1\), \(b=-9\) y \(c=20\). Comprobación con 4: \(16-36+20=0\).
   2. \(3x(x-4)=0\): \(x=0\) y \(x=4\). Es incompleta: sacamos factor común \(3x\) e igualamos cada factor a cero.
   3. \(\Delta=1+48=49\), \(x=\dfrac{-1\pm7}{4}\): \(x=\dfrac{3}{2}\) y \(x=-2\). Identificamos \(a=2\), \(b=1\) y \(c=-6\). Comprobación con \(-2\): \(8-2-6=0\).

   Criterios de corrección: en a) se dan 0,5 puntos por el discriminante y 1 punto por las dos raíces 4 y 5; en b) 1 punto si se saca factor común \(3x\) sin dividir entre \(x\), porque así se perdería la solución 0; en c) 1,5 puntos repartidos entre \(\Delta=49\) y las raíces \(\dfrac{3}{2}\) y \(-2\).

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. \(\Delta=9-40=-31<0\): no tiene soluciones reales. Con \(a=2\), \(b=-3\) y \(c=5\); un discriminante negativo no tiene raíz real.
   2. \(\Delta=64-4k=0\), \(k=16\). Entonces \((x-4)^2=0\). La solución doble es \(x=4\).
   3. \(4-16+k=0\), \(k=12\). La ecuación \(x^2-8x+12=0\) tiene soluciones \(2\) y \(6\). Sustituimos \(x=2\) para hallar \(k\) y luego factorizamos: \(x^2-8x+12=(x-2)(x-6)\).

   Criterios de corrección: los tres apartados sobre el discriminante valen 1 punto cada uno: medio punto por el cálculo y medio por la conclusión. En a) basta concluir que no hay raíces reales porque \(-31\lt 0\). En b) se exige igualar \(64-4k\) a cero y dar la raíz doble 4. En c) primero se calcula \(k=12\) sustituyendo el 2 y después la otra raíz, 6; comprobación: \(36-48+12=0\).

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. Si el primero es \(x\): \(x^2+(x+1)^2=313\). El consecutivo de \(x\) es \(x+1\).
   2. \(2x^2+2x+1=313\), \(2x^2+2x-312=0\), \(x^2+x-156=0\). \(\Delta=1+624=625=25^2\), \(x=\dfrac{-1\pm25}{2}\): \(x=12\) o \(x=-13\). Se descarta \(-13\) porque no es natural.
   3. Los números son 12 y 13: \(144+169=313\). Respuesta: los números son 12 y 13.

   Criterios de corrección: el planteamiento vale 1 punto si aparece \((x+1)^2\) y no \(x^2+1\). La resolución vale 1,5 puntos: 0,5 por reducir a \(x^2+x-156=0\), 0,5 por \(\Delta=625\) y 0,5 por descartar \(-13\), que no es natural. La comprobación \(12^2+13^2=313\) vale 0,5 puntos.

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. \(\dfrac{480}{x}-\dfrac{480}{x+8}=3\). Lo que paga cada uno es el precio dividido entre el número de socios; la diferencia es de 3 €.
   2. Multiplicamos por \(x(x+8)\): \(480(x+8)-480x=3x(x+8)\), \(3\,840=3x^2+24x\), \(x^2+8x-1\,280=0\). \(\Delta=64+5\,120=5\,184=72^2\), \(x=\dfrac{-8\pm72}{2}\): \(x=32\) o \(x=-40\) (se descarta).
   3. Van 32 socios y cada uno paga \(480:32=15\) €.
   4. Con 40 socios: \(480:40=12\) €, que son 3 € menos que 15 €. Respuesta: van 32 socios y cada uno paga 15 €.

Total : 20 puntos