Matrices – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Primero \(2A=\begin{pmatrix}4&2\\0&6\end{pmatrix}\). Restamos \(B\) elemento a elemento: \(2A-B=\begin{pmatrix}4-1&2+1\\0-2&6-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&3\\-2&6\end{pmatrix}\). Multiplicar una matriz por un número multiplica cada uno de sus elementos. (1,5 puntos)
   2. Fila de \(A\) por columna de \(B\): \(AB=\begin{pmatrix}2\cdot1+1\cdot2&2\cdot(-1)+1\cdot0\\0\cdot1+3\cdot2&0\cdot(-1)+3\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-2\\6&0\end{pmatrix}\). Como \(A\) y \(B\) son de orden \(2\times2\), el producto existe y es otra matriz \(2\times2\). (1,5 puntos)
   3. \(BA=\begin{pmatrix}1\cdot2-1\cdot0&1\cdot1-1\cdot3\\2\cdot2+0&2\cdot1+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-2\\4&2\end{pmatrix}\). Como \(BA\neq AB\), se comprueba que el producto de matrices no es conmutativo. Basta un elemento distinto, por ejemplo el de la posición (1,1): vale 4 en \(AB\) y 2 en \(BA\). (1 punto)

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \(|K|=1\cdot3-2\cdot2=3-4=-1\). Como el determinante es distinto de 0, la matriz es regular y existe \(K^{-1}\). Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es nulo. (1 punto)
   2. Intercambiamos la diagonal principal, cambiamos el signo de la secundaria y dividimos entre \(|K|\): \(K^{-1}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix}3&-2\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}\). Este atajo solo sirve en orden 2; para matrices de orden 3 hay que recurrir a la matriz adjunta. (2 puntos)
   3. \(KK^{-1}=\begin{pmatrix}1\cdot(-3)+2\cdot2&1\cdot2+2\cdot(-1)\\2\cdot(-3)+3\cdot2&2\cdot2+3\cdot(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I\). La inversa es correcta. También puede comprobarse \(K^{-1}K=I\), que da el mismo resultado. (1 punto)

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. \(|A|=2\cdot3-1\cdot1=5\neq0\), así que existe la inversa: \(A^{-1}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}3&-1\\-1&2\end{pmatrix}\). Se intercambian 2 y 3 en la diagonal principal, se cambia el signo de los dos unos de la secundaria y se divide entre 5. (1,5 puntos)
   2. Multiplicamos por \(A^{-1}\) por la izquierda en los dos miembros: \(X=A^{-1}B\). Entonces \(X=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}3\cdot5-5&3\cdot2-1\\-5+10&-2+2\end{pmatrix}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}10&5\\5&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}\). Comprobación: \(AX=\begin{pmatrix}4+1&2+0\\2+3&1+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&2\\5&1\end{pmatrix}=B\). No se puede escribir \(X=BA^{-1}\): el producto no es conmutativo y el orden de los factores importa. (1,5 puntos)

   Solución: \(X=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}\).

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. Determinante de orden 2: \(|A|=k\cdot k-4\cdot1=k^2-4\). El determinante resulta ser un polinomio de segundo grado en \(k\). (1 punto)
   2. La inversa no existe cuando el determinante se anula: \(k^2-4=0\), es decir, \(k=2\) y \(k=-2\). Para cualquier otro valor de \(k\), \(A\) es invertible. Para \(k=\pm2\) las filas son proporcionales; con \(k=2\), la primera fila \((2,4)\) es el doble de la segunda, \((1,2)\). (1 punto)
   3. Para \(k=3\): \(A=\begin{pmatrix}3&4\\1&3\end{pmatrix}\) y \(|A|=9-4=5\). Con la fórmula de orden 2, \(A^{-1}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}3&-4\\-1&3\end{pmatrix}\). Comprobación: \(AA^{-1}=\dfrac15\begin{pmatrix}9-4&-12+12\\3-3&-4+9\end{pmatrix}=I\). (1 punto)

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. Con \(p=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\): \(Vp=\begin{pmatrix}90\\160\\110\end{pmatrix}\), es decir, 90 €, 160 € y 110 €. \(V\) es \(3\times2\) y \(p\) es \(2\times1\): el producto es una columna \(3\times1\), con una fila por cafetería. Por ejemplo, la primera: \(30\cdot2+10\cdot3=90\). (1,5 puntos)
   2. Con \(c=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\): \(Vc=\begin{pmatrix}50\\100\\70\end{pmatrix}\), es decir, 50 €, 100 € y 70 €. Para la segunda cafetería: \(20\cdot1+40\cdot2=100\). (1,5 puntos)
   3. \(p-c=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\) y \(V(p-c)=\begin{pmatrix}40\\60\\40\end{pmatrix}\): 40 €, 60 € y 40 €. Coinciden con ingresos menos costes. (1,5 puntos)
   4. \(40+60+40=140\) €. (0,5 puntos)
   5. La cafetería 2, con 60 € de beneficio. Aunque la cafetería 3 ingresa más que la 1, ambas obtienen el mismo beneficio, 40 €. (1 punto)

Total : 20 puntos