Límites y continuidad – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: ejercicios para descargar en PDF

Calcula los límites siguientes. En todos ellos la función es continua en el punto, así que basta con sustituir; explica en cada caso por qué se puede hacer.

1. \(\displaystyle\lim_{x\to2}(3x^2-5x+1)\)
2. \(\displaystyle\lim_{x\to-1}\dfrac{x^2+3}{x+4}\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to4}\sqrt{x+5}\)
4. \(\displaystyle\lim_{x\to0}(2^x+x)\)

Al sustituir, los límites siguientes dan \(\tfrac00\). Resuélvelos factorizando numerador y denominador y simplificando el factor común.

1. \(\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}\)
2. \(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2+2x-3}{x^2-1}\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to-2}\dfrac{x^3+8}{x+2}\)
4. \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{x^2+5x}{3x}\)

Sean \(f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}\) y \(g(x)=\dfrac{5}{(x+3)^2}\).

1. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to2^-}f(x)\) y \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}f(x)\) estudiando el signo del denominador.
2. ¿Existe \(\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)\)? Justifícalo.
3. Calcula los límites laterales de \(g\) en \(x=-3\).
4. Indica las asíntotas verticales de las dos funciones.

Calcula los límites comparando los grados del numerador y del denominador. Indica en cada caso el tipo de resultado.

1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-x}{x^2+4}\)
2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x+1}{x^2-5}\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^3-2}{4x^2+1}\)
4. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{5x-2}{1-2x}\)

Estudia la función \(f(x)=\dfrac{2x^2}{x^2-4}\).

1. Calcula el dominio y las asíntotas verticales.
2. Calcula los límites laterales en cada asíntota vertical.
3. Calcula la asíntota horizontal.
4. Comprueba que \(f(x)-2=\dfrac{8}{x^2-4}\) y deduce si la gráfica está por encima o por debajo de la asíntota horizontal cuando \(|x|\) es grande.

Estudia la continuidad de las funciones siguientes en el punto donde cambia la expresión.

1. \(f(x)=\begin{cases}x^2+1 & \text{si } x\lt 2\\ ax-1 & \text{si } x\ge2\end{cases}\). Halla \(a\) para que \(f\) sea continua en \(x=2\).
2. Con ese valor de \(a\), calcula \(f(0)\), \(f(2)\) y \(f(5)\).
3. \(g(x)=\begin{cases}x+1 & \text{si } x\le1\\ 4-x & \text{si } x\gt 1\end{cases}\). Calcula los límites laterales en \(x=1\).
4. Clasifica la discontinuidad de \(g\) en \(x=1\).

El instituto de Getafe encarga sudaderas con su logotipo para el viaje de fin de curso. El taller cobra 1 200 € por el diseño y la preparación de las máquinas y 3 € por cada sudadera. El coste medio por sudadera al encargar \(x\) unidades es \(CM(x)=\dfrac{1\,200+3x}{x}\).

1. Calcula el coste medio si se encargan 100, 400 y 1 000 sudaderas.
2. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}CM(x)\) e interpreta el resultado.
3. ¿Cuántas sudaderas hay que encargar para que el coste medio no supere 5 €?
4. ¿Puede el coste medio llegar a ser de 2,50 €? Razónalo.

En un ensayo clínico de un hospital de Granada, la concentración de un medicamento en sangre, en mg/L, \(t\) horas después de tomarlo es \(C(t)=\dfrac{40t}{t^2+16}\).

1. Calcula la concentración a las 2, 4 y 10 horas.
2. Calcula \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}C(t)\) e interpreta el resultado.
3. ¿En qué momentos la concentración es de 4 mg/L?
4. A la vista de los resultados, ¿en qué momento parece alcanzarse la concentración máxima?

Un aparcamiento público de Bilbao cobra 2 € por la primera hora (o fracción) y 1,50 € por cada hora o fracción adicional, con un máximo de 12 € al día.

1. Calcula lo que se paga por 30 minutos, por 1 hora y por 2 horas y media.
2. Calcula los límites laterales de la función precio en \(t=1\) hora.
3. ¿Es continua la función precio? Indica dónde presenta discontinuidades y de qué tipo son.
4. ¿A partir de cuántas horas se paga la tarifa máxima?

Una confederación hidrográfica repuebla un embalse de Asturias con truchas. El número de truchas \(t\) años después es \(P(t)=\dfrac{3\,000t+500}{t+1}\).

1. ¿Cuántas truchas se soltaron? Calcula la población a los 1, 4 y 9 años.
2. Calcula \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}P(t)\). ¿Qué representa?
3. ¿Cuántos años tardará la población en llegar a 2 900 truchas?
4. Comprueba que \(P(t)=3\,000-\dfrac{2\,500}{t+1}\) y explica por qué la población nunca supera las 3 000 truchas.

Un ayuntamiento de Castilla-La Mancha cobra el agua por tramos de consumo mensual \(x\) (en m³): \(F(x)=0{,}5x\) si \(0\le x\le20\); \(F(x)=10+0{,}9(x-20)\) si \(20\lt x\le40\); \(F(x)=28+1{,}5(x-40)\) si \(x\gt 40\).

1. Calcula la factura de un hogar que consume 15 m³, 30 m³ y 50 m³.
2. Estudia la continuidad de \(F\) en \(x=20\) y en \(x=40\).
3. ¿Por qué interesa que una tarifa por tramos sea continua?
4. Una familia ha pagado 34 €. ¿Cuánta agua ha consumido?

Una empresa de Valencia lanza una horchata embotellada. Las ventas semanales, en miles de botellas, \(t\) semanas después del lanzamiento se estiman con \(V(t)=\dfrac{200t}{t+5}\).

1. Calcula las ventas en las semanas 5, 15 y 45.
2. Calcula el límite de las ventas a largo plazo.
3. ¿En qué semana se alcanzarán las 190 000 botellas semanales?
4. El departamento comercial afirma que «con más publicidad se venderán 250 000 botellas semanales». ¿Es coherente con el modelo?

En una academia de informática de Córdoba, las pulsaciones por minuto que alcanza un alumno tras \(t\) semanas de curso son, de media, \(N(t)=\dfrac{60t}{t+4}\) palabras por minuto.

1. Calcula \(N(1)\), \(N(4)\), \(N(12)\) y \(N(36)\).
2. Calcula el límite de \(N\) cuando \(t\to+\infty\) e interprétalo.
3. ¿Cuántas semanas hacen falta para llegar a 50 palabras por minuto?
4. Calcula cuánto mejora entre las semanas 4 y 12 y entre las semanas 12 y 36. ¿Qué observas?

Considera la función \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}\).

1. Calcula la asíntota vertical y los límites laterales.
2. ¿Tiene asíntota horizontal? Justifícalo.
3. Divide \(x^2+1\) entre \(x-1\) y deduce que la recta \(y=x+1\) es una asíntota oblicua.
4. Calcula \(f(3)\) y compáralo con el valor de la asíntota en \(x=3\).

Una empresa de la cuenca del Ebro debe reducir los residuos que vierte al río. Los técnicos han estimado que el coste, en miles de euros, de eliminar el \(p\,\%\) de los residuos es \(C(p)=\dfrac{60p}{100-p}\), con \(0\le p\lt 100\). La empresa dispone de un presupuesto de 360 000 € y la administración le exige eliminar al menos el 80 %. La tabla recoge algunos valores.

1. Completa la tabla: calcula el coste de eliminar el 50 %, el 80 %, el 90 % y el 95 %.
2. Calcula \(\displaystyle\lim_{p\to100^-}C(p)\) e interpreta el resultado.
3. ¿Qué porcentaje máximo puede eliminar con su presupuesto?
4. ¿Cumple la exigencia de la administración? ¿Cuánto dinero le sobra al eliminar exactamente el 80 %?
5. Un ecologista pide eliminar el 100 % de los residuos. ¿Es posible según el modelo? Razónalo.

Una comercializadora eléctrica diseña para pequeños comercios de Zaragoza una tarifa mensual (en euros) según los kWh consumidos \(x\): \(F(x)=0{,}20x\) si \(0\le x\le100\); \(F(x)=a+0{,}15x\) si \(100\lt x\le300\); \(F(x)=b+0{,}12x\) si \(x\gt 300\). La empresa quiere que la tarifa sea continua para que ningún cliente pague mucho más por consumir un poco más.

1. Halla \(a\) para que \(F\) sea continua en \(x=100\).
2. Halla \(b\) para que \(F\) sea continua en \(x=300\).
3. Calcula la factura de una tienda que consume 250 kWh y la de otra que consume 400 kWh.
4. Calcula el precio medio por kWh de la tienda que consume 400 kWh.
5. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{F(x)}{x}\) y explica su significado para los grandes consumidores.

Una plataforma de pódcast en español con sede en Barcelona tenía 1 000 suscriptores de pago al empezar una campaña. Los analistas estiman que, \(t\) meses después, el número de suscriptores será \(S(t)=8\,000-7\,000\cdot0{,}8^t\). Cada suscriptor paga 9 € al mes. La tabla recoge la previsión de algunos meses.

1. Comprueba que \(S(0)=1\,000\) y calcula \(S(3)\), \(S(6)\) y \(S(12)\) redondeando a unidades.
2. Calcula \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}S(t)\) justificando qué le ocurre a \(0{,}8^t\).
3. ¿A partir de qué mes se superarán los 7 000 suscriptores?
4. ¿Qué ingreso mensual máximo puede esperar la plataforma a largo plazo?
5. La dirección quiere llegar a 10 000 suscriptores con esta campaña. ¿Es realista? Razónalo.

Una empresa de mensajería de Sevilla cobra los envíos nacionales según el peso \(x\) del paquete en kilogramos: 4 € hasta 1 kg; 6,50 € si pesa más de 1 kg y hasta 2 kg; 9 € si pesa más de 2 kg y hasta 5 kg; y, por encima de 5 kg, 9 € más 1,20 € por cada kilogramo que pase de 5. La tabla resume las tarifas.

1. Escribe la función precio \(P(x)\) a trozos.
2. Calcula el precio de paquetes de 0,8 kg, 1,5 kg, 4 kg y 7,5 kg.
3. Calcula los límites laterales en \(x=1\), \(x=2\) y \(x=5\).
4. Indica en qué puntos es discontinua la función y de qué tipo es cada discontinuidad.
5. Un cliente tiene dos paquetes de 1 kg y 1,2 kg. ¿Le conviene enviarlos por separado o juntos? Razónalo.

En una cafetería de Salamanca se sirve un café a 90 °C en una sala que está a 20 °C. Su temperatura \(t\) minutos después es \(T(t)=20+70\cdot0{,}9^t\) grados. Un cliente prefiere tomarlo cuando está a 50 °C o menos, pero no por debajo de 35 °C. La tabla recoge varias mediciones.

1. Calcula la temperatura a los 5 y a los 10 minutos.
2. Calcula \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}T(t)\) e interprétalo físicamente.
3. ¿Cuántos minutos tarda en bajar a 50 °C?
4. ¿Cuántos minutos tarda en bajar a 35 °C? ¿Durante cuánto tiempo está el café a gusto del cliente?
5. ¿Puede llegar el café a 15 °C si se deja en la sala? Justifícalo.

Se define \(f(x)=\dfrac{x^2+ax+b}{x-2}\) si \(x\neq2\) y \(f(2)=5\).

1. Explica por qué, para que \(f\) sea continua en \(x=2\), el numerador debe anularse en \(x=2\). Escribe la ecuación que deben cumplir \(a\) y \(b\).
2. Si el numerador se anula en \(x=2\), se puede escribir como \((x-2)(x-c)\). Calcula el límite en función de \(c\).
3. Halla \(a\), \(b\) y \(c\) para que \(f\) sea continua en \(x=2\).
4. Con esos valores, calcula \(f(3)\) y estudia si \(f\) tiene asíntotas.