Integrales indefinidas – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(x^4-6\ln|x|+\dfrac{e^{2x}}2+C\). Se integra término a término: \(\int4x^3dx=x^4\), \(\int\frac6xdx=6\ln|x|\) y \(\int e^{2x}dx=\frac{e^{2x}}2\). (1 punto)
   2. Numerador derivada del denominador: \(\ln|x^3+1|+C\). Es del tipo \(\int\frac{u'}{u}dx=\ln|u|\), con \(u=x^3+1\) y \(u'=3x^2\). (1 punto)
   3. \(\int\cos x(\sin x)^{-2}dx=\dfrac{(\sin x)^{-1}}{-1}=-\dfrac{1}{\sin x}+C\). Es del tipo \(\int u'u^ndx=\frac{u^{n+1}}{n+1}\), con \(u=\sin x\) y \(n=-2\). Comprobación: \(\left(-\frac1{\sin x}\right)'=\frac{\cos x}{\sin^2x}\). (1 punto)
   4. \(\tfrac12\int2(2x+1)^{-1/2}dx=\tfrac12\cdot\dfrac{(2x+1)^{1/2}}{1/2}=\sqrt{2x+1}+C\). Se completa la derivada de \(2x+1\), que es 2, multiplicando y dividiendo por 2. Comprobación: \((\sqrt{2x+1})'=\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}\). (1 punto)

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \(u=2x+1\), \(dv=e^xdx\): \(du=2dx\), \(v=e^x\). \((2x+1)e^x-\int2e^xdx=(2x+1)e^x-2e^x+C=(2x-1)e^x+C\). Se elige \(u\) el polinomio, que se simplifica al derivar, y \(dv\) la exponencial, fácil de integrar. Comprobación: \(((2x-1)e^x)'=2e^x+(2x-1)e^x=(2x+1)e^x\). (2 puntos)
   2. \(u=\ln x\), \(dv=x^2dx\): \(du=\tfrac{dx}x\), \(v=\tfrac{x^3}3\). \(\dfrac{x^3}{3}\ln x-\int\dfrac{x^2}3dx=\dfrac{x^3}{3}\ln x-\dfrac{x^3}{9}+C\). Aquí \(u=\ln x\) porque el logaritmo no tiene primitiva inmediata y su derivada es sencilla. Comprobación: \(\left(\frac{x^3}3\ln x-\frac{x^3}9\right)'=x^2\ln x+\frac{x^2}3-\frac{x^2}3=x^2\ln x\). (2 puntos)

   Criterio de elección: se deriva el factor que se simplifica y se integra el que no se complica; en a) la integral que queda, \(\int2e^xdx\), ya es inmediata.

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\). \(x+5=A(x+2)+B(x-1)\): con \(x=1\), \(6=3A\), \(A=2\); con \(x=-2\), \(3=-3B\), \(B=-1\). Las raíces del denominador son 1 y \(-2\); dando a \(x\) esos valores se obtienen los numeradores: \(\frac{x+5}{(x-1)(x+2)}=\frac2{x-1}-\frac1{x+2}\). (2 puntos)
   2. \(2\ln|x-1|-\ln|x+2|+C\). Cada fracción simple se integra como un logaritmo: \(\int\frac{2}{x-1}dx=2\ln|x-1|\) y \(\int\frac{-1}{x+2}dx=-\ln|x+2|\). También se puede escribir \(\ln\frac{(x-1)^2}{|x+2|}+C\). (1 punto)
   3. \(\dfrac{2}{x-1}-\dfrac1{x+2}=\dfrac{2x+4-x+1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{x+5}{x^2+x-2}\). Al derivar el resultado se recupera el integrando, lo que confirma la descomposición. (1 punto)

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. \(dt=2x\,dx\): \(\int\dfrac{x\,dx}{\sqrt{x^2+9}}=\tfrac12\int t^{-1/2}dt=t^{1/2}+C=\sqrt{x^2+9}+C\). Se despeja \(x\,dx=\frac{dt}{2}\); al integrar, \(\frac12\cdot\frac{t^{1/2}}{1/2}=\sqrt t\), y se deshace el cambio. Comprobación: \(\left(\sqrt{x^2+9}\right)'=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}=f(x)\). (2 puntos)
   2. \(F(4)=\sqrt{25}+C=5+C=6\), \(C=1\): \(F(x)=\sqrt{x^2+9}+1\). La condición inicial elige una sola primitiva de la familia: \(\sqrt{16+9}=5\). (1 punto)
   3. \(F(0)=3+1=4\). Detalle: \(F(0)=\sqrt{0+9}+1\). Es el valor mínimo de \(F\), porque \(F'=f\) es negativa para \(x\lt0\) y positiva para \(x\gt0\). (1 punto)

   Interpretación: la gráfica de \(F\) es la de \(\sqrt{x^2+9}\) desplazada una unidad hacia arriba, simétrica respecto del eje Y.

5. Solución del ejercicio 5 (4 puntos)

   1. \(v(t)=\int-1\,dt=-t+C\) con \(v(0)=20\): \(v(t)=20-t\) m/s. La velocidad es una primitiva de la aceleración; la constante se fija con la velocidad inicial. (1 punto)
   2. \(s(t)=\int(20-t)dt=20t-\tfrac{t^2}2+C\) con \(s(0)=0\): \(s(t)=20t-\tfrac{t^2}{2}\). La posición es una primitiva de la velocidad; como parte del origen, la constante es 0. (1 punto)
   3. \(v(t)=0\) en \(t=20\) s. \(s(20)=400-200=200\) m. Se para cuando \(v(t)=0\), es decir, \(20-t=0\). La distancia es la posición en ese instante: \(s(20)=20\cdot20-\frac{400}2\). (1,5 puntos)
   4. No: necesita 200 m y solo tenía 180 m. Le faltan 20 m: rebasaría el semáforo. Para pararse en 180 m debería frenar con una deceleración de unos \(\frac{20^2}{2\cdot180}\approx1{,}11\) m/s². (0,5 puntos)

Total : 20 puntos