Integrales indefinidas – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: ejercicios para descargar en PDF

Una primitiva de \(x^n\) (\(n\neq-1\)) es \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\), y la de \(\dfrac1x\) es \(\ln|x|\). Calcula, comprobando cada resultado al derivar:

1. \(\displaystyle\int(3x^2-4x+5)\,dx\)
2. \(\displaystyle\int\left(\sqrt x+\frac{1}{x^2}\right)dx\)
3. \(\displaystyle\int\frac{2}{x}\,dx\)
4. \(\displaystyle\int\frac{x^3-2x}{x}\,dx\)

Usa la tabla de integrales inmediatas. Recuerda que si dentro aparece \(ax\), hay que dividir entre \(a\).

1. \(\displaystyle\int e^{3x}\,dx\)
2. \(\displaystyle\int\cos(2x)\,dx\)
3. \(\displaystyle\int5^x\,dx\)
4. \(\displaystyle\int\frac{1}{1+x^2}\,dx\)

Si en el integrando aparece una función \(u\) y su derivada \(u^{\prime}\), se usan \(\int\frac{u^{\prime}}{u}=\ln|u|\), \(\int u^{\prime}u^n=\frac{u^{n+1}}{n+1}\) y \(\int u^{\prime}e^u=e^u\).

1. \(\displaystyle\int\frac{2x}{x^2+1}\,dx\)
2. \(\displaystyle\int x(x^2+3)^4\,dx\)
3. \(\displaystyle\int\cos x\,\sin^3x\,dx\)
4. \(\displaystyle\int xe^{x^2}\,dx\)

Todas las primitivas de una función se diferencian en una constante. Para elegir una, basta un dato.

1. Halla todas las primitivas de \(f(x)=6x^2-2x\).
2. Halla la primitiva \(F\) que cumple \(F(1)=4\).
3. Halla la función \(g\) con \(g^{\prime\prime}(x)=6x\), \(g^{\prime}(0)=1\) y \(g(0)=2\).

El cambio de variable \(t=g(x)\), \(dt=g^{\prime}(x)\,dx\), transforma la integral en otra más sencilla. Al final se deshace el cambio.

1. \(\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\,dx\) con \(t=x+1\).
2. \(\displaystyle\int\frac{e^x}{1+e^x}\,dx\) con \(t=1+e^x\).
3. \(\displaystyle\int\frac{\ln x}{x}\,dx\) con \(t=\ln x\).

La fórmula es \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\). Conviene elegir como \(u\) la función que se simplifica al derivar (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos).

1. \(\displaystyle\int xe^x\,dx\)
2. \(\displaystyle\int x\ln x\,dx\)
3. \(\displaystyle\int x\cos x\,dx\)

A veces hay que aplicar la fórmula de integración por partes varias veces, o la integral vuelve a aparecer y se despeja.

1. \(\displaystyle\int x^2e^x\,dx\)
2. \(\displaystyle\int e^x\sin x\,dx\)
3. Comprueba los dos resultados derivando.

Si el denominador tiene raíces reales distintas, se descompone en fracciones simples: \(\dfrac{P(x)}{(x-a)(x-b)}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

1. Factoriza \(x^2-x-2\).
2. Descompón \(\dfrac{5x-1}{x^2-x-2}\) en fracciones simples.
3. Calcula \(\displaystyle\int\frac{5x-1}{x^2-x-2}\,dx\).

Si el denominador tiene una raíz doble, \(\dfrac{P(x)}{(x-a)^2}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{(x-a)^2}\).

1. Descompón \(\dfrac{x+3}{(x-1)^2}\).
2. Calcula \(\displaystyle\int\frac{x+3}{(x-1)^2}\,dx\).
3. Comprueba el resultado derivando.

Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, primero se divide: \(\dfrac{P}{Q}=C(x)+\dfrac{R(x)}{Q(x)}\).

1. Divide \(x^2+1\) entre \(x-1\).
2. Calcula \(\displaystyle\int\frac{x^2+1}{x-1}\,dx\).
3. Calcula \(\displaystyle\int\frac{x^3}{x^2+1}\,dx\).

Un tren de cercanías sale de la estación de Atocha. Su aceleración (m/s²) durante los primeros 10 segundos es \(a(t)=0{,}6t\) m/s². Al arrancar ya se movía a 0,2 m/s.

1. Calcula la velocidad \(v(t)\) integrando la aceleración.
2. Calcula la posición \(s(t)\) si \(s(0)=0\).
3. ¿Qué distancia ha recorrido a los 10 s? ¿A qué velocidad va?
4. Expresa esa velocidad en km/h.

Un obrador de pan de Valladolid conoce su coste marginal: fabricar la unidad número \(x\) (en cajas de pan) cuesta aproximadamente \(C^{\prime}(x)=0{,}6x+20\) euros. Los costes fijos diarios son de 500 €.

1. Halla la función de coste total \(C(x)\).
2. Calcula el coste de fabricar 100 cajas.
3. Si vende cada caja a 70 €, escribe el beneficio \(B(x)\).
4. ¿Cuántas cajas maximizan el beneficio?

Un pueblo de la costa de Huelva tenía 5 000 habitantes en 2020. Desde entonces su población crece a un ritmo de \(P^{\prime}(t)=300e^{0{,}1t}\) habitantes por año (\(t\) en años desde 2020).

1. Halla \(P(t)\).
2. ¿Cuántos habitantes habrá en 2030?
3. ¿En qué año llegará a 15 000 habitantes?
4. ¿Es realista suponer que el ritmo se mantiene indefinidamente? Razona.

Un depósito de riego de una finca de Lleida tiene 100 L de agua. Se abre un grifo cuyo caudal disminuye con el tiempo: \(Q(t)=40-2t\) litros por minuto, hasta que se cierra solo en \(t=20\) min.

1. Halla el volumen \(V(t)\) de agua en el depósito.
2. ¿Cuánta agua hay cuando se cierra el grifo?
3. ¿Cuánto tiempo tarda en tener 400 L?
4. Explica por qué la gráfica de \(V\) es cóncava.

Un ayuntamiento de Málaga diseña una rampa para un parque de skate. Su perfil es la gráfica de una función \(f\) cuya curvatura viene dada por \(f^{\prime\prime}(x)=6x-2\) (metros, \(0\le x\le2\)). Se quiere que en \(x=1\) la rampa tenga tangente horizontal y una altura de 2 m.

1. Halla \(f^{\prime}(x)\) usando la condición de la tangente horizontal.
2. Halla \(f(x)\) usando la condición de la altura.
3. Calcula la altura en los extremos \(x=0\) y \(x=2\).
4. ¿Es \(x=1\) un máximo o un mínimo de la rampa?
5. ¿Dónde cambia la curvatura? ¿Qué sentirá el patinador al pasar por ese punto?

Las integrales racionales son típicas de la PAU. Se pide calcular \(\displaystyle\int\frac{x^2+2x+3}{x^3-x}\,dx\) siguiendo el método completo y comprobando cada paso.

1. Comprueba que el grado del numerador es menor y factoriza el denominador.
2. Plantea la descomposición en fracciones simples.
3. Halla los coeficientes dando valores a \(x\).
4. Comprueba los coeficientes con el coeficiente de \(x^2\).
5. Calcula la integral.

En un estudio farmacológico de un hospital de Granada se mide el ritmo al que el organismo absorbe un medicamento: \(r(t)=20te^{-t/2}\) mg por hora, \(t\) horas después de tomarlo. La cantidad absorbida \(A(t)\) cumple \(A^{\prime}(t)=r(t)\) y \(A(0)=0\). La tabla muestra el ritmo en algunos instantes.

1. Calcula \(\int20te^{-t/2}\,dt\) por partes.
2. Halla \(A(t)\).
3. ¿Cuánto se ha absorbido a las 2 horas y a las 6 horas?
4. ¿Qué cantidad total se absorbe a largo plazo? (\(\lim_{t\to\infty}A(t)\).)
5. ¿En qué instante el ritmo de absorción es máximo?

Para integrar potencias pares de senos y cosenos se usan las fórmulas del ángulo doble: \(\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}\) y \(\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}\).

1. Calcula \(\displaystyle\int\sin^2x\,dx\).
2. Calcula \(\displaystyle\int\cos^2x\,dx\).
3. Calcula \(\displaystyle\int\tan x\,dx\) escribiendo la tangente como cociente.
4. Calcula \(\displaystyle\int\sin x\cos x\,dx\) de dos formas y explica por qué los resultados parecen distintos.

Si el denominador es un polinomio de segundo grado sin raíces reales, se completa el cuadrado para llegar a la arcotangente: \(\int\dfrac{dx}{(x-a)^2+1}=\arctan(x-a)\).

1. Comprueba que \(x^2+4x+5\) no tiene raíces reales y escríbelo como \((x+2)^2+1\).
2. Calcula \(\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+4x+5}\).
3. Calcula \(\displaystyle\int\frac{2x+4}{x^2+4x+5}\,dx\).
4. Calcula \(\displaystyle\int\frac{2x+7}{x^2+4x+5}\,dx\) separándola en las dos anteriores.

Para ir más allá. Algunas integrales necesitan combinar técnicas.

1. Calcula \(\displaystyle\int\ln x\,dx\) por partes, tomando \(dv=dx\).
2. Calcula \(\displaystyle\int e^{\sqrt x}\,dx\) con el cambio \(t=\sqrt x\) y después por partes.
3. Comprueba el resultado del apartado b) derivando.