Aplicaciones de las derivadas – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(f^{\prime}(x)=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)\). Signo: negativo en \((-\infty,-2)\), positivo en \((-2,0)\), negativo en \((0,2)\) y positivo en \((2,+\infty)\). Decrece en \((-\infty,-2)\cup(0,2)\) y crece en \((-2,0)\cup(2,+\infty)\). Los ceros de \(f'\) son \(-2\), 0 y 2; el signo se estudia en los cuatro intervalos con valores de prueba, por ejemplo \(f'(1)=4-16=-12\lt0\). (2 puntos)
   2. Mínimos relativos en \((-2,-13)\) y \((2,-13)\); máximo relativo en \((0,3)\). Valores: \(f(\pm2)=16-32+3=-13\) y \(f(0)=3\). La función es par, por eso los dos mínimos tienen la misma altura. (1 punto)
   3. En \([-1,3]\): \(f(-1)=1-8+3=-4\), \(f(0)=3\), \(f(2)=-13\), \(f(3)=81-72+3=12\). Máximo absoluto 12 en \(x=3\) y mínimo absoluto \(-13\) en \(x=2\). (1 punto)

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \(f^{\prime\prime}(x)=6x-6\): cóncava en \((-\infty,1)\) y convexa en \((1,+\infty)\). Inflexión en \((1,0)\). La segunda derivada es negativa a la izquierda de 1 y positiva a la derecha, y \(f(1)=1-3+2=0\). (2 puntos)
   2. \(f^{\prime}(1)=3-6=-3\): \(y=-3(x-1)\), es decir, \(y=-3x+3\). La pendiente se calcula con \(f'(x)=3x^2-6x\). La tangente en un punto de inflexión atraviesa la curva.
   3. \(g^{\prime}(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\) y \(g^{\prime\prime}(x)=\dfrac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\): convexa en \((-1,1)\) y cóncava fuera. Inflexión en \((\pm1,\ln2)\). Para derivar el cociente: \(\frac{2(x^2+1)-2x\cdot2x}{(x^2+1)^2}\). El signo depende de \(1-x^2\), positivo solo en \((-1,1)\), y \(g(\pm1)=\ln2\approx0{,}69\). Como \(g\) es par, las dos inflexiones son simétricas. (1 punto)

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. \(f(0)=c=1\); \(f^{\prime}(1)=3+2a+b=0\); \(f^{\prime\prime}(2)=12+2a=0\). Pasar por \((0,1)\) da \(f(0)=1\). El extremo en \(x=1\) exige \(f'(1)=0\), con \(f'(x)=3x^2+2ax+b\). La inflexión en \(x=2\) exige \(f''(2)=0\), con \(f''(x)=6x+2a\). (1,5 puntos)
   2. \(a=-6\), \(b=-3-2a=9\), \(c=1\): \(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\). De la tercera ecuación, \(2a=-12\); al sustituir en la segunda, \(3-12+b=0\). Comprobación: \(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\) se anula en 1, y \(f''(2)=12-12=0\). (1,5 puntos)
   3. \(f^{\prime\prime}(1)=6-12=-6\lt 0\): máximo relativo, en \((1,5)\). Aquí \(f''(x)=6x-12\). El valor del máximo es \(f(1)=1-6+9+1=5\). El otro punto crítico, \(x=3\), es un mínimo: \(f(3)=27-54+27+1=1\).

   Resultado: \(a=-6\), \(b=9\), \(c=1\).

   Interpretación: la curva sube hasta \((1,5)\), baja hasta \((3,1)\) y cambia de curvatura en \((2,3)\), punto medio de ambos extremos.

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. Hay tres lados de longitud \(x\) y dos de longitud \(y\): \(3x+2y=240\), \(y=\dfrac{240-3x}{2}\). \(A(x)=x\cdot\dfrac{240-3x}{2}=120x-\tfrac32x^2\). La valla interior es paralela a los lados \(x\): hay tres tramos de longitud \(x\) (dos lados y la división) y dos de longitud \(y\). El dominio es \(0\lt x\lt80\) para que \(y\) sea positivo. (1,5 puntos)
   2. \(A^{\prime}(x)=120-3x=0\), \(x=40\) m; \(A^{\prime\prime}=-3\lt 0\): máximo. \(y=\dfrac{240-120}{2}=60\) m. Se deriva el área y se iguala a cero. Como la segunda derivada es negativa, el punto crítico es un máximo; además, en los extremos del dominio el área vale 0.
   3. \(A=40\cdot60=2\,400\) m². Comprobación de la valla: \(3\cdot40+2\cdot60=240\) m. El corral queda dividido en dos parcelas de \(40\times30\) m, de 1 200 m² cada una. (0,5 puntos)

   Respuesta: el corral óptimo mide 40 m por 60 m.

5. Solución del ejercicio 5 (4 puntos)

   1. Dominio \(\mathbb R\setminus\{1\}\). Vertical \(x=1\) (\(\lim_{x\to1^-}=-\infty\), \(\lim_{x\to1^+}=+\infty\)). Oblicua: \(\dfrac{x^2+3}{x-1}=x+1+\dfrac{4}{x-1}\), luego \(y=x+1\). (1,5 puntos)
   2. \(f^{\prime}(x)=\dfrac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}\). Crece en \((-\infty,-1)\) y \((3,+\infty)\); decrece en \((-1,1)\) y \((1,3)\). Máximo \((-1,-2)\) y mínimo \((3,6)\). (1,5 puntos)
   3. Rama izquierda: sube pegada a \(y=x+1\) por debajo, llega al máximo \((-1,-2)\) y baja hacia \(-\infty\) junto a \(x=1\). Rama derecha: baja desde \(+\infty\) hasta el mínimo \((3,6)\) y sube por encima de \(y=x+1\). (1 punto)

Total : 20 puntos