Integrales – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Integramos término a término con la regla de la potencia: \(\int6x^2dx=2x^3\), \(\int2x\,dx=x^2\) y \(\int1\,dx=x\). La familia de primitivas es \(F(x)=2x^3-x^2+x+C\); una primitiva concreta (con \(C=0\)) es \(2x^3-x^2+x\). Comprobación: al derivar \(2x^3-x^2+x\) se recupera \(6x^2-2x+1\). (1 punto)
   2. Por la regla de Barrow: \(\left[2x^3-x^2+x\right]_0^2=(16-4+2)-0=14\). El resultado positivo encaja con que \(f(x)\gt0\) en todo \([0,2]\), ya que su discriminante, \(4-24\), es negativo. (1,5 puntos)
   3. Imponemos la condición: \(F(1)=2-1+1+C=2+C=5\), luego \(C=3\). La primitiva pedida es \(F(x)=2x^3-x^2+x+3\). Comprobación: \(F(1)=2-1+1+3=5\), como se pedía. (1,5 puntos)

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. Los cortes con el eje X cumplen \(y=0\): \(3x-x^2=x(3-x)=0\), con \(x=0\) y \(x=3\). Los puntos son \((0,0)\) y \((3,0)\).
   2. Entre 0 y 3 la parábola está por encima del eje (por ejemplo, en \(x=1\) vale 2), así que el área es la integral definida: \(A=\displaystyle\int_0^3(3x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{3x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac{27}{2}-9=\dfrac{9}{2}\) u\(^2\), es decir, 4,5 unidades cuadradas. Se puede comprobar con la regla de Arquímedes: el área es \(\frac23\) del rectángulo de base 3 y altura máxima \(\frac94\), es decir, \(\frac23\cdot3\cdot\frac94=\frac92\). (3 puntos)

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. Igualamos: \(x^2=x+2\), es decir, \(x^2-x-2=0\), cuyas soluciones son \(x=-1\) y \(x=2\). Los puntos de corte son \((-1,1)\) y \((2,4)\). Para obtener las ordenadas se sustituye en cualquiera de las dos funciones: \(g(-1)=1\) y \(g(2)=4\).
   2. En \(x=0\), \(g(0)=2\) y \(f(0)=0\), así que entre los cortes \(g\ge f\). El área es la integral de \(g-f\): \(A=\displaystyle\int_{-1}^2(x+2-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}+2x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^2=\dfrac{10}{3}-\left(-\dfrac{7}{6}\right)=\dfrac{9}{2}\) u\(^2\). Detalle de Barrow: en \(x=2\) la primitiva vale \(2+4-\frac83=\frac{10}{3}\) y en \(x=-1\) vale \(\frac12-2+\frac13=-\frac76\). Si se integrara \(f-g\) saldría \(-\frac92\), y el área se tomaría en valor absoluto. (2 puntos)

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. El coste de producir es la integral del coste marginal. Una primitiva de \(0{,}2x+10\) es \(0{,}1x^2+10x\): \(\displaystyle\int_0^{50}(0{,}2x+10)\,dx=\left[0{,}1x^2+10x\right]_0^{50}=250+500=750\) €. Los primeros 5 000 huevos cuestan 750 €. El término \(0{,}1x^2\) aporta 250 € y el término \(10x\), 500 €. (1,5 puntos)
   2. El coste adicional es la integral entre 50 y 100: \(\left[0{,}1x^2+10x\right]_{50}^{100}=(1\,000+1\,000)-750=1\,250\) €. La segunda tanda cuesta más que la primera porque el coste marginal aumenta con la producción. (1,5 puntos)

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. \(80-\dfrac{q^2}{5}=44\) da \(q^2=180\), \(q_0=\sqrt{180}\approx13{,}4\) decenas, es decir, unas 134 gafas. (1 punto)
   2. Ingreso \(=44\cdot134=5\,896\) € (con \(q_0=13{,}4\) decenas, es decir, unas 134 gafas). (1 punto)
   3. \(\displaystyle\int_0^{13{,}4}\left(36-\dfrac{q^2}{5}\right)dq=\left[36q-\dfrac{q^3}{15}\right]_0^{13{,}4}=482{,}4-160{,}4=322\) (en decenas·euros), unos 3 220 €. (2 puntos)
   4. Es la suma que los compradores habrían pagado de más si hubiera existido un precio distinto para cada uno. (1 punto)
   5. A 40 €: \(q_1=\sqrt{200}=14{,}14\) decenas, unas 141 gafas, y el ingreso sería \(40\cdot141=5\,640\) €, que es menos que 5 896 €: bajar el precio reduciría el ingreso. (1 punto)

Total : 20 puntos