Integrales indefinidas – matemáticas 2º Bachillerato Ciencias: apuntes y teoría para descargar en PDF

Ejemplo 1

\(\int(3x^2-4x+5)\,dx=x^3-2x^2+5x+C\).

Ejemplo 2

\(\int(2x+3)^5\,dx=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(2x+3)^6}{6}+C=\dfrac{(2x+3)^6}{12}+C\) (ajustando \(u'=2\)).

Ejemplo 3

\(\int xe^{x^2}\,dx\): \(u=x^2\), \(du=2x\,dx\Rightarrow\int\tfrac12e^u\,du=\tfrac12e^{x^2}+C\).

Ejemplo 4

\(\int xe^x\,dx\): \(u=x,\ dv=e^xdx\Rightarrow du=dx,\ v=e^x\). \(=xe^x-\int e^xdx=(x-1)e^x+C\).

Ejemplo 5

\(I=\int e^x\sin x\,dx=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx=e^x\sin x-e^x\cos x-I\Rightarrow I=\tfrac12e^x(\sin x-\cos x)+C\).

Ejemplo 6

\(\int\dfrac{3x+5}{(x-1)(x+3)}dx\): \(\frac{3x+5}{(x-1)(x+3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}\Rightarrow3x+5=A(x+3)+B(x-1)\). Con \(x=1\): \(8=4A\Rightarrow A=2\). Con \(x=-3\): \(-4=-4B\Rightarrow B=1\). Integral: \(2\ln|x-1|+\ln|x+3|+C\).

Ejemplo 7

\(\int\sin^2x\,dx=\int\frac{1-\cos2x}{2}dx=\frac x2-\frac{\sin2x}{4}+C\).

Ejemplo 8

\(\int\cos^3x\,dx=\int(1-\sin^2x)\cos x\,dx\); con \(u=\sin x\): \(\sin x-\frac{\sin^3x}{3}+C\).

Ejemplo 9

Halla la primitiva de \(f(x)=6x^2-2x+1\) con \(F(0)=3\). \(F(x)=2x^3-x^2+x+C\) y \(F(0)=C=3\). Por tanto \(F(x)=2x^3-x^2+x+3\).

Ejemplo 10

Calcula \(\displaystyle\int\frac{x^2+2x+3}{x^3-x}\,dx\).

El grado del numerador es menor que el del denominador, que se factoriza como \(x(x-1)(x+1)\). Se buscan tres coeficientes con \(x^2+2x+3=A(x-1)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x-1)\). Dando a \(x\) los valores 0, 1 y \(-1\) se obtiene \(A=-3\), \(B=3\) y \(C=1\). La integral es \(-3\ln|x|+3\ln|x-1|+\ln|x+1|+K\). Como comprobación rápida, la suma de los coeficientes debe ser el coeficiente de \(x^2\) del numerador, que es 1.

Ejemplo 11

Un obrador tiene un coste marginal \(C^{\prime}(x)=0{,}6x+20\) euros y unos costes fijos de 500 €. Halla el coste total.

Se integra el coste marginal: \(C(x)=0{,}3x^2+20x+K\). La constante se calcula con el dato de los costes fijos, que son el coste de no fabricar nada: \(C(0)=K=500\). Así, \(C(x)=0{,}3x^2+20x+500\). En los problemas de aplicación, la constante de integración casi siempre tiene un significado: posición inicial, población inicial, costes fijos o agua que había al principio.

Ejemplo 12

Un autobús circula a 20 m/s y frena con deceleración de 1 m/s². ¿Qué distancia recorre hasta pararse?

Integrando la aceleración se obtiene la velocidad \(v(t)=20-t\), y integrando otra vez, la posición \(s(t)=20t-\tfrac{t^2}2\), con las constantes ajustadas a la velocidad inicial y a la posición inicial. El autobús se para cuando \(v=0\), a los 20 segundos, después de recorrer \(s(20)=200\) metros. Por eso la distancia de seguridad debe aumentar mucho con la velocidad: se multiplica por cuatro cuando la velocidad se duplica.