Funciones y ecuaciones trigonométricas – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. \(\operatorname{sen}0=0\), \(\cos0=1\), \(\operatorname{tg}0=0\). \(\operatorname{sen}\frac{\pi}{6}=\frac12\), \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}\), \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\).
   2. \(\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}\), \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}=1\). \(\operatorname{sen}\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\), \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\), \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt3\).
   3. \(\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}=1\), \(\cos\frac{\pi}{2}=0\) (la tangente no existe). \(\operatorname{sen}\pi=0\), \(\cos\pi=-1\), \(\operatorname{tg}\pi=0\).
   4. \(\operatorname{sen}\frac{3\pi}{2}=-1\), \(\cos\frac{3\pi}{2}=0\). La tangente es el cociente por el coseno, y no se puede dividir entre \(\cos x=0\); por eso hay asíntotas verticales en \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\).

2. Solución del ejercicio 2

   1. Aplicamos las fórmulas del enunciado. \(y=\operatorname{sen}2x\): \(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\). \(y=\cos\frac{x}{2}\): \(T=\frac{2\pi}{1/2}=4\pi\). \(y=\operatorname{tg}3x\): \(T=\frac{\pi}{3}\). Multiplicar \(x\) por un número mayor que 1 comprime la gráfica y acorta el periodo.
   2. Seno y coseno: dominio \(\mathbb{R}\) y recorrido \([-1,1]\). Tangente: no está definida donde \(\cos x=0\), así que su dominio es \(\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi\}\), y su recorrido es \(\mathbb{R}\).
   3. \(\operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}x\): impar. \(\cos(-x)=\cos x\): par. \(\operatorname{tg}(-x)=\dfrac{-\operatorname{sen}x}{\cos x}=-\operatorname{tg}x\): impar.
   4. Por la periodicidad, \(\operatorname{sen}(x+2\pi)=\operatorname{sen}x=0{,}6\). Por ser impar, \(\operatorname{sen}(-x)=-0{,}6\).

3. Solución del ejercicio 3

   1. Amplitud 3, periodo \(\pi\), desfase 0, recorrido \([-3,3]\).
   2. Amplitud 2, periodo \(2\pi\), desfase \(\frac{\pi}{3}\) a la derecha, recorrido \([-1,3]\).
   3. Amplitud 1 (el signo menos refleja la gráfica), periodo \(4\pi\), recorrido \([-1,1]\).
   4. Amplitud 1, periodo \(\pi\), desfase \(-\frac{\pi}{2}\) (a la izquierda), recorrido \([-3,-1]\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. Sustituimos los valores conocidos del seno (0, 1, 0, \(-1\), 0): \(y(0)=2\cdot0+1=1\); \(y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cdot1+1=3\); \(y(\pi)=1\); \(y\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-2+1=-1\); \(y(2\pi)=1\).
   2. El seno alcanza su máximo 1 en \(\frac{\pi}{2}\) y su mínimo \(-1\) en \(\frac{3\pi}{2}\). Por tanto, la función tiene máximo \(2\cdot1+1=3\) en \(x=\frac{\pi}{2}\) y mínimo \(2\cdot(-1)+1=-1\) en \(x=\frac{3\pi}{2}\).
   3. Multiplicar por 2 estira la gráfica verticalmente (amplitud 2) y sumar 1 la desplaza una unidad hacia arriba, de modo que la línea media pasa a ser \(y=1\). El periodo no cambia: sigue siendo \(2\pi\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. El ángulo agudo con seno \(\frac12\) es \(\frac{\pi}{6}\). El seno también es positivo en el segundo cuadrante, así que la otra solución es \(\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\). General: \(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) o \(x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\).
   2. El ángulo de referencia es \(\frac{\pi}{4}\), y el coseno es negativo en el segundo y tercer cuadrante: \(x=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}\) y \(x=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}\). General: \(\frac{3\pi}{4}+2k\pi\) o \(\frac{5\pi}{4}+2k\pi\).
   3. \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt3\), y la tangente se repite cada \(\pi\): \(x=\frac{\pi}{3}\) y \(x=\frac{4\pi}{3}\). General: \(x=\frac{\pi}{3}+k\pi\).
   4. No tiene solución: el seno solo toma valores en \([-1,1]\) y \(\frac32>1\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. Con \(t=\cos x\) queda \(2t^2-t-1=0\), cuyas soluciones son \(t=\frac{1\pm3}{4}\), es decir, \(t=1\) o \(t=-\frac12\). Deshacemos el cambio: \(\cos x=1\) da \(x=0\); \(\cos x=-\frac12\) da \(x=\frac{2\pi}{3}\) y \(x=\frac{4\pi}{3}\).
   2. \(\operatorname{tg}^2x=3\), luego \(\operatorname{tg}x=\pm\sqrt3\). Para \(\sqrt3\): \(\frac{\pi}{3}\) y \(\frac{4\pi}{3}\). Para \(-\sqrt3\): \(\frac{2\pi}{3}\) y \(\frac{5\pi}{3}\). Son cuatro soluciones.
   3. Con \(t=\operatorname{sen}x\): \(2t^2-3t+1=0\), con \(t=\frac{3\pm1}{4}\), es decir, \(t=1\) o \(t=\frac12\). \(\operatorname{sen}x=1\) da \(x=\frac{\pi}{2}\); \(\operatorname{sen}x=\frac12\) da \(x=\frac{\pi}{6}\) y \(x=\frac{5\pi}{6}\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. Usamos \(\operatorname{sen}2x=2\operatorname{sen}x\cos x\) y pasamos todo a un miembro: \(2\operatorname{sen}x\cos x-\operatorname{sen}x=0\). Sacamos factor común: \(\operatorname{sen}x(2\cos x-1)=0\). Entonces \(\operatorname{sen}x=0\) (\(x=0,\pi\)) o \(\cos x=\frac12\) (\(x=\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\)).
   2. Escribimos \(\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}=2\operatorname{sen}x\) y multiplicamos por \(\cos x\neq0\): \(\operatorname{sen}x=2\operatorname{sen}x\cos x\), es decir, \(\operatorname{sen}x(1-2\cos x)=0\). Soluciones: \(x=0,\pi\) y \(x=\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\); en ninguna el coseno vale 0, así que todas son válidas.
   3. \(\operatorname{sen}\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866\) y \(\operatorname{sen}\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866\): coinciden.

8. Solución del ejercicio 8

   1. Si \(x\in[0,2\pi)\), entonces \(2x\in[0,4\pi)\): hay que dar dos vueltas. Las soluciones de \(\operatorname{sen}u=\frac{\sqrt3}{2}\) son \(u=\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\) y, sumando \(2\pi\), \(\frac{7\pi}{3},\frac{8\pi}{3}\). Dividiendo entre 2: \(x=\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3},\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3}\).
   2. Ahora \(3x\in[0,6\pi)\), tres vueltas. \(\cos u=\frac12\) da \(u=\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\) en cada vuelta: \(3x=\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3},\frac{7\pi}{3},\frac{11\pi}{3},\frac{13\pi}{3},\frac{17\pi}{3}\). Luego \(x=\frac{\pi}{9},\frac{5\pi}{9},\frac{7\pi}{9},\frac{11\pi}{9},\frac{13\pi}{9},\frac{17\pi}{9}\).
   3. Cuatro soluciones: el periodo de \(\operatorname{sen}2x\) es \(\pi\), de modo que en \([0,2\pi)\) caben dos periodos y cada periodo aporta dos soluciones.

9. Solución del ejercicio 9

   1. Máximo \(8+7=15\) m, mínimo \(8-7=1\) m, periodo \(T=\frac{2\pi}{\pi/15}=30\) s.
   2. \(h(10)=8-7\cos\frac{2\pi}{3}=8-7\cdot\left(-\frac12\right)=11{,}5\) m.
   3. \(8-7\cos\frac{\pi t}{15}=12\Rightarrow\cos\frac{\pi t}{15}=-\frac47\). Un ángulo es \(\arccos\left(-\frac47\right)\approx2{,}179\) rad, luego \(t\approx10{,}40\) s. El otro es \(2\pi-2{,}179\), luego \(t=30-10{,}40\approx19{,}60\) s.
   4. El 8 es la altura del centro de la noria (1 m del suelo más el radio de 7 m) y el 7 es el radio, es decir, la amplitud de la oscilación.

10. Solución del ejercicio 10

    1. Máximo \(4\) m, mínimo \(1\) m, periodo \(\frac{2\pi}{\pi/6}=12\) h.
    2. \(h(3)=2{,}5+1{,}5\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}=4\) m (pleamar) y \(h(9)=2{,}5-1{,}5=1\) m (bajamar).
    3. \(\operatorname{sen}\frac{\pi t}{6}=\frac{0{,}75}{1{,}5}=\frac12\Rightarrow\frac{\pi t}{6}=\frac{\pi}{6}\) o \(\frac{5\pi}{6}\), luego \(t=1\) y \(t=5\).
    4. El nivel supera 3,25 m si \(\operatorname{sen}\frac{\pi t}{6}>\frac12\), es decir, entre la 1:00 y las 5:00. La ventana dura 4 horas.

11. Solución del ejercicio 11

    1. Mínimo \(15-8=7\) °C cuando \(\cos=1\), es decir, \(t=3\) (3:00). Máximo \(15+8=23\) °C cuando \(\cos=-1\), es decir, \(t=15\) (15:00).
    2. \(T(12)=15-8\cos\frac{9\pi}{12}=15-8\cos\frac{3\pi}{4}=15-8\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\approx20{,}7\) °C.
    3. \(15-8\cos u>19\Rightarrow\cos u<-\frac12\Rightarrow u\in\left(\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\right)\) con \(u=\frac{\pi(t-3)}{12}\). Entonces \(t-3\in(8,16)\), es decir, entre las 11:00 y las 19:00.
    4. La media es 15 °C, el valor de la línea media \(D\), porque el coseno oscila simétricamente.

12. Solución del ejercicio 12

    1. Amplitud 5 cm; periodo \(\frac{2\pi}{4\pi}=0{,}5\) s; frecuencia \(f=\frac{1}{0{,}5}=2\) Hz.
    2. \(x(0{,}1)=5\cos(0{,}4\pi)\approx5\cdot0{,}309=1{,}545\) cm.
    3. \(\cos4\pi t=0\Rightarrow4\pi t=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=0{,}125\) s.
    4. En cada periodo (0,5 s) pasa 2 veces por \(x=0\); en 2 s hay 4 periodos, luego 8 pasos por el equilibrio.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Amplitud \(0{,}8\); periodo \(T=\frac{2\pi}{2\pi\cdot440}=\frac{1}{440}\approx0{,}00227\) s; frecuencia 440 Hz.
    2. Con frecuencia 880 Hz: \(p_2(t)=0{,}8\operatorname{sen}(2\pi\cdot880\,t)\) y periodo \(\frac{1}{880}\) s, la mitad.
    3. \(2\pi\cdot440\cdot\frac{1}{1\,760}=\frac{\pi}{2}\), luego \(p=0{,}8\cdot1=0{,}8\).
    4. Estira la gráfica verticalmente: las ondas son más altas pero el periodo no cambia. El sonido tiene el mismo tono (la misma nota) y suena más fuerte.

14. Solución del ejercicio 14

    1. Máximo \(12+2{,}5=14{,}5\) h, mínimo \(9{,}5\) h, periodo \(365\) días.
    2. \(L(80)=12\) h (equinoccio de primavera); \(L(172)\approx14{,}5\) h (solsticio de verano, máximo); \(L(355)\approx9{,}5\) h (solsticio de invierno, mínimo).
    3. \(\operatorname{sen}\theta>0{,}4\) si \(\theta\in(0{,}4115;\ 2{,}730)\) con \(\theta=\frac{2\pi(d-80)}{365}\). La longitud de ese intervalo es \(\pi-2\cdot0{,}4115=2{,}319\) rad, y \(\frac{2{,}319}{2\pi}\cdot365\approx135\) días (aproximadamente del día 104 al 239).
    4. La amplitud \(A\) sería mayor (más diferencia entre verano e invierno), por ejemplo \(A=3{,}5\); la línea media seguiría en 12.

15. Solución del ejercicio 15

    1. La línea media está a mitad de camino entre el máximo y el mínimo: \(D=\frac{5+(-1)}{2}=2\). La amplitud es la mitad de la distancia entre ellos: \(A=\frac{5-(-1)}{2}=3\).
    2. El periodo de \(\operatorname{sen}(Bx)\) es \(\frac{2\pi}{B}\). Igualando a \(\pi\): \(\frac{2\pi}{B}=\pi\), luego \(B=2\).
    3. La función es \(f(x)=3\operatorname{sen}2x+2\). Comprobación: \(f(0)=3\cdot0+2=2\). Como \(A=3>0\), el seno empieza creciendo, como se pedía.
    4. \(f\left(\frac{\pi}{4}\right)=3\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}+2=3+2=5\), el máximo, y \(f\left(\frac{3\pi}{4}\right)=3\operatorname{sen}\frac{3\pi}{2}+2=-3+2=-1\), el mínimo, separados medio periodo.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(D=\frac{4{,}2+0{,}6}{2}=2{,}4\) y \(A=\frac{4{,}2-0{,}6}{2}=1{,}8\). Luego \(h(t)=2{,}4+1{,}8\cos\frac{\pi(t-3)}{6}\).
    2. Periodo \(\frac{2\pi}{\pi/6}=12\) h. \(h(3)=2{,}4+1{,}8=4{,}2\) m y \(h(9)=2{,}4+1{,}8\cos\pi=0{,}6\) m. Se cumplen los datos.
    3. \(2{,}4+1{,}8\cos u=3\Rightarrow\cos u=\frac13\Rightarrow u=\pm1{,}231\) con \(u=\frac{\pi(t-3)}{6}\). Entonces \(t-3=\pm2{,}351\) y \(t\approx0{,}65\) o \(t\approx5{,}35\). Puede entrar entre las 0:39 y las 5:21.
    4. La ventana dura \(5{,}35-0{,}65\approx4{,}70\) horas, es decir, unas 4 h 42 min.

17. Solución del ejercicio 17

    1. El periodo de \(\cos(20t)\) es \(T=\frac{2\pi}{20}=\frac{\pi}{10}\approx0{,}314\) s: es lo que tarda la rueda en dar una vuelta. Vueltas por segundo: \(\frac{1}{T}=\frac{10}{\pi}\approx3{,}18\).
    2. La altura es máxima cuando \(\cos20t=-1\): \(h=33+33=66\) cm, que es el diámetro de la rueda (\(2\cdot33\)), como corresponde al punto más alto.
    3. \(33-33\cos20t=49{,}5\) da \(\cos20t=-\frac{16{,}5}{33}=-\frac12\). En la primera vuelta, \(20t=\frac{2\pi}{3}\) o \(\frac{4\pi}{3}\). Entonces \(t=\frac{\pi}{30}\approx0{,}105\) s o \(t=\frac{\pi}{15}\approx0{,}209\) s.
    4. Un metro por segundo son 3,6 km/h (3 600 s entre 1 000 m): \(6{,}6\cdot3{,}6=23{,}76\) km/h.

18. Solución del ejercicio 18

    1. Sacamos factor común \(\cos x\): \(\cos x(2\operatorname{sen}x-1)=0\). Entonces \(\cos x=0\) (\(x=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\)) o \(\operatorname{sen}x=\frac12\) (\(x=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\)). Comprobación con \(\frac{\pi}{6}\): \(2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}=0\) ✓.
    2. \(\operatorname{tg}^2x=\frac13\), luego \(\operatorname{tg}x=\pm\frac{1}{\sqrt3}\). El ángulo de referencia es \(\frac{\pi}{6}\), y hay una solución en cada cuadrante: \(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\).
    3. Sustituimos \(\cos^2x=1-\operatorname{sen}^2x\): \(2-2\operatorname{sen}^2x+3\operatorname{sen}x=3\), es decir, \(2\operatorname{sen}^2x-3\operatorname{sen}x+1=0\). Con \(t=\operatorname{sen}x\): \(t=1\) o \(t=\frac12\). Soluciones: \(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\).

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(\operatorname{sen}x=\cos x\Rightarrow\operatorname{tg}x=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}\) o \(x=\frac{5\pi}{4}\).
    2. Estudiando un valor de cada tramo: en \(x=\frac{\pi}{2}\), \(1>0\); luego \(f>g\) en \(\left(\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right)\).
    3. Para \(x=0\): \(0+1=1\) y \(\sqrt2\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}=\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=1\). Para \(x=\frac{\pi}{4}\): \(\sqrt2\) y \(\sqrt2\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}=\sqrt2\).
    4. La amplitud de la suma es \(\sqrt2\approx1{,}41\) y el máximo vale \(\sqrt2\), mayor que cada onda por separado.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Sustituimos la identidad: \(\operatorname{sen}x+3\operatorname{sen}x-4\operatorname{sen}^3x=4\operatorname{sen}x-4\operatorname{sen}^3x\). Sacamos factor común \(4\operatorname{sen}x\): \(4\operatorname{sen}x(1-\operatorname{sen}^2x)=4\operatorname{sen}x\cos^2x\). La ecuación queda \(4\operatorname{sen}x\cos^2x=0\).
    2. Un producto es nulo si lo es algún factor. \(\operatorname{sen}x=0\) da \(x=0,\pi,2\pi\) (el intervalo es cerrado). \(\cos x=0\) da \(x=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\). En total, cinco soluciones: \(0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi\).
    3. Para \(x=\frac{\pi}{2}\): \(\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}+\operatorname{sen}\frac{3\pi}{2}=1+(-1)=0\) ✓, sin necesidad de la identidad.