Límites y continuidad – matemáticas 1º Bachillerato Ciencias: examen para descargar en PDF

Calcula:

1. \(\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}\) (1 punto)
2. \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{4x^2-x}{2x^2+3}\) (1 punto)
3. \(\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac2x\right)^{3x}\) (1 punto)
4. \(\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)\) (1 punto)

Estudia las asíntotas de \(f(x)=\dfrac{2x^2-3x}{x-2}\).

1. Asíntota vertical y límites laterales. (1,5 puntos)
2. Asíntota horizontal. (0,5 puntos)
3. Asíntota oblicua. (2 puntos)

Sea \(f(x)=\begin{cases}ax-1&\text{si }x<2\\ x^2-a&\text{si }x\ge2\end{cases}\)

1. Calcula los límites laterales en \(x=2\) en función de \(a\). (1,5 puntos)
2. Halla \(a\) para que \(f\) sea continua en \(x=2\). (1,5 puntos)
3. Con ese valor, calcula \(f(0)\) y \(f(3)\). (1 punto)

Sea \(f(x)=x^3-3x+1\).

1. Demuestra que \(f\) es continua y calcula \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(-1)\) y \(f(-2)\). (1,5 puntos)
2. Demuestra que la ecuación \(f(x)=0\) tiene al menos una raíz en \((0,1)\). (1 punto)
3. Demuestra que tiene otras dos raíces en \((1,2)\) y en \((-2,-1)\). (1,5 puntos)

En el servicio de urgencias de un hospital se administra un fármaco por suero. La concentración en sangre (en mg/L) al cabo de \(t\) horas es \(C(t)=\dfrac{8t}{t+3}\).

1. Calcula \(C(3)\) y \(C(12)\). (1 punto)
2. Calcula \(\lim_{t\to\infty}C(t)\) y escribe la asíntota. (1 punto)
3. Explica por qué la concentración crece pero nunca llega al valor del límite. (1 punto)
4. ¿En qué momento alcanza 6 mg/L? (1 punto)