Estos apuntes de límites y continuidad de 1º Bachillerato CCSS están pensados para alumnos de 16-17 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Límites y asíntotas. Antes de empezar, conviene repasar funciones definidas a trozos y sucesiones y progresiones, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de límites y continuidad 1º Bachillerato CCSS: lo que vas a aprender
Los límites describen hacia dónde se dirige una función: qué valor se acerca a tomar cerca de un punto o a largo plazo. Con ellos se definen la continuidad y las asíntotas, y se interpreta el comportamiento de costes, concentraciones o poblaciones.
Actividad de introducción: camisetas para la carrera solidaria
El instituto organiza una carrera solidaria y encarga camisetas. El taller cobra 600 € por preparar la serigrafía y 4 € por camiseta. Si se encargan \(x\) camisetas, el coste medio es \(\dfrac{600+4x}{x}\). Con 50 camisetas, cada una sale a 16 €; con 200, a 7 €; con 1 000, a 4,60 €; con 10 000, a 4,06 €. ¿Bajará alguna vez de 4 €? Observa que, cuantas más camisetas, más se reparten los 600 € fijos, y el coste medio se acerca cada vez más a 4 € sin llegar nunca a ese valor. Decimos que el límite del coste medio cuando \(x\) crece sin parar es 4. Este capítulo enseña a calcular límites como este, a encontrar las asíntotas de una gráfica y a saber si una función se puede dibujar «sin levantar el lápiz», es decir, si es continua.
Idea de límite
Definición: límite y límites laterales
El límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(a\), \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L\), es el valor al que se acercan las imágenes cuando \(x\) se aproxima a \(a\), sin que \(x\) llegue a valer \(a\). Los límites laterales \(\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)\) y \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)\) estudian cada lado. El límite existe solo si ambos coinciden; puede ser un número, \(+\infty\) o \(-\infty\).
Cálculo de límites en un punto
Regla: sustitución
En polinomios, racionales (con denominador no nulo), exponenciales y logarítmicas, el límite en un punto del dominio se calcula sustituyendo: \(\displaystyle\lim_{x\to2}(x^2-3x+1)=4-6+1=-1\).
Método: indeterminación 0/0
- Comprueba que la sustitución da \(\tfrac00\).
- Factoriza numerador y denominador.
- Simplifica el factor común.
- Sustituye en la expresión simplificada.
Ejemplo 1
\(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2+x-2}{x^2-1}\)
Da \(\tfrac00\). \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\) y \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Queda \(\dfrac{x+2}{x+1}\to\dfrac32\).
Regla: k/0
Si el numerador tiende a \(k\neq0\) y el denominador a 0, no hay indeterminación: el límite es \(\pm\infty\) y el signo se decide con los límites laterales. \(\displaystyle\lim_{x\to2^-}\dfrac1{x-2}=-\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}\dfrac1{x-2}=+\infty\).
Límites en el infinito
Regla: cociente de polinomios
Para \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) con \(x\to\pm\infty\) se comparan los grados: si el de \(P\) es menor, el límite es 0; si son iguales, es el cociente de los coeficientes principales; si el de \(P\) es mayor, es \(\pm\infty\).
Propiedad: exponenciales y logaritmos
\(\lim_{x\to+\infty}a^x=+\infty\) si \(a>1\) y \(0\) si \(0<a<1\). \(\lim_{x\to+\infty}\log x=+\infty\) y \(\lim_{x\to0^+}\log x=-\infty\).
Ejemplo 2
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-x}{2x^2+5}\) y \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+1}{x^2-3}\)
Grados iguales: \(\tfrac32\). Numerador de menor grado: \(0\).
Asíntotas
Definición: asíntota
Una asíntota es una recta a la que se acerca la gráfica indefinidamente. Es vertical \(x=a\) si algún límite lateral en \(a\) es infinito; horizontal \(y=L\) si \(\lim_{x\to\pm\infty}f=L\); oblicua \(y=mx+n\) cuando el grado del numerador supera en uno al del denominador (se obtiene dividiendo).
Ejemplo 3
Asíntotas de \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}\).
El denominador se anula en \(x=3\) y el numerador vale 7: asíntota vertical \(x=3\). \(\lim_{x\to\infty}f=2\): asíntota horizontal \(y=2\).
Ejemplo 4: oblicua
Asíntotas de \(f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}\).
\(\dfrac{x^2}{x-1}=x+1+\dfrac1{x-1}\): oblicua \(y=x+1\). Además, vertical \(x=1\).
Continuidad
Definición: continuidad
Una función es continua en \(x=a\) si existe \(f(a)\), existe \(\lim_{x\to a}f(x)\) y ambos valores coinciden. Los polinomios y exponenciales son continuos en \(\mathbb R\); las racionales, salvo donde se anula el denominador; los logaritmos, en \((0,+\infty)\).
Propiedad: tipos de discontinuidad
- Evitable: existe el límite pero no coincide con \(f(a)\) o \(f(a)\) no existe.
- De salto: los límites laterales existen y son distintos.
- Asintótica: algún límite lateral es infinito.
Ejemplo 5
\(f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-4}{x-2}&x\ne2\\ k&x=2\end{cases}\). Halla \(k\) para que sea continua.
Para \(x\ne2\), \(\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2\), con límite 4 en \(x=2\). Hace falta \(k=4\).
Ejemplo 6: interpretación económica
Coste medio \(\bar C(x)=\dfrac{500+2x}{x}\).
\(\bar C(x)=\dfrac{500}{x}+2\to2\) cuando \(x\to\infty\): los costes fijos se diluyen y el coste medio se acerca a 2 € por unidad, asíntota horizontal.
¡Atención!
- \(\tfrac00\) es una indeterminación (no vale 0) y \(\tfrac k0\) da infinito.
- Comprueba los límites laterales antes de afirmar que un límite existe.
- Donde el factor se simplifica no hay asíntota vertical, sino una discontinuidad evitable.
Observación: estudio de una racional
Para describir una función racional: calcula el dominio, los límites en las raíces del denominador (laterales, para el signo), los límites en \(\pm\infty\) (asíntotas horizontales u oblicuas), y unos puntos de la gráfica con los cortes con los ejes. Con esos datos se hace un esbozo razonable.
Ampliación: técnicas y aplicaciones
Propiedad: operaciones con límites
Si \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L\) y \(\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=M\) son finitos, entonces el límite de la suma es \(L+M\), el de la diferencia es \(L-M\), el del producto es \(L\cdot M\) y el del cociente es \(L/M\) siempre que \(M\neq0\). También el límite de una potencia es la potencia del límite. Gracias a estas reglas, el límite de un polinomio o de una función racional en un punto de su dominio se calcula sustituyendo directamente. Las mismas reglas valen cuando \(x\) tiende a infinito.
Definición: indeterminaciones
Una indeterminación es un resultado que no permite conocer el límite sin hacer más cálculos, porque según la función puede valer cualquier cosa. Las más habituales en este curso son \(\tfrac00\), \(\tfrac{\infty}{\infty}\), \(\infty-\infty\) y \(0\cdot\infty\). En cambio, \(\tfrac{k}{0}\) con \(k\neq0\) no es una indeterminación: el límite es infinito y solo hay que averiguar el signo con los límites laterales.
Método: calcular un límite paso a paso
- Sustituye el valor al que tiende \(x\). Si sale un número, ese es el límite.
- Si sale \(\tfrac{k}{0}\) con \(k\neq0\), el límite es infinito: estudia el signo por la izquierda y por la derecha.
- Si sale \(\tfrac00\) en una racional, factoriza numerador y denominador (factor común, identidades notables o Ruffini) y simplifica.
- Si \(x\to\pm\infty\) en una racional, compara los grados: menor arriba da 0, iguales da el cociente de coeficientes principales y mayor arriba da infinito.
- Si sale \(\infty-\infty\) con raíces, multiplica y divide por la expresión conjugada.
Ejemplo 7
Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)\).
Al sustituir resulta \(\infty-\infty\). Multiplicamos y dividimos por el conjugado: \(\dfrac{(x^2+4x)-x^2}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\dfrac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}\). Al dividir numerador y denominador entre \(x\) queda \(\dfrac{4}{\sqrt{1+4/x}+1}\to\dfrac{4}{1+1}=2\). El límite es 2.
Propiedad: límites de funciones exponenciales
Si la base es \(a\gt 1\), la exponencial \(a^x\) tiende a \(+\infty\) cuando \(x\to+\infty\) y tiende a \(0\) cuando \(x\to-\infty\). Si la base cumple \(0\lt a\lt 1\), ocurre al revés: \(a^x\to0\) cuando \(x\to+\infty\). Por eso los modelos del tipo \(y=K-B\cdot a^t\), con \(0\lt a\lt 1\), tienen la asíntota horizontal \(y=K\): describen ventas, temperaturas o poblaciones que se estabilizan con el tiempo.
Ejemplo 8
Una aplicación de recetas de cocina tiene \(U(t)=50\,000-40\,000\cdot0{,}7^t\) usuarios tras \(t\) meses. ¿Cuántos usuarios tendrá a largo plazo?
Como \(0{,}7\lt 1\), \(0{,}7^t\to0\) y \(U(t)\to50\,000\). Al principio tiene \(U(0)=10\,000\) usuarios y, con el tiempo, se acerca a 50 000 sin alcanzarlos: la recta \(U=50\,000\) es una asíntota horizontal.
Definición: tipos de discontinuidad
Una función es continua en \(x=a\) si existe \(f(a)\), existe el límite en \(a\) y ambos coinciden. Cuando falla alguna condición, la discontinuidad puede ser de tres tipos. Es evitable si el límite existe y es finito, pero no coincide con \(f(a)\) o \(f(a)\) no existe: basta redefinir un punto. Es de salto finito si los límites laterales son finitos y distintos: la gráfica «salta» de un valor a otro, como en las tarifas por tramos. Es de salto infinito (o asintótica) si algún límite lateral es infinito: allí hay una asíntota vertical.
Ejemplo 9
Clasifica las discontinuidades de \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\) en \(x=1\) y de \(g(x)=\dfrac{1}{x-1}\) en \(x=1\).
En \(f\): \(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=2\), finito, pero \(f(1)\) no existe: discontinuidad evitable (un «agujero» en la recta \(y=x+1\)). En \(g\): los límites laterales son \(-\infty\) y \(+\infty\): discontinuidad de salto infinito con asíntota vertical \(x=1\).
Regla: continuidad de las funciones elementales
Los polinomios son continuos en todo \(\mathbb{R}\). Las funciones racionales son continuas en todos los puntos salvo en los que anulan el denominador. Las raíces de índice par son continuas donde el radicando es positivo o cero. Las exponenciales son continuas en todo \(\mathbb{R}\) y los logaritmos en \((0,+\infty)\). Por eso, en una función a trozos solo hay que estudiar con detalle los puntos donde cambia la expresión y los puntos que no pertenecen al dominio de algún trozo.
Método: continuidad de una función a trozos
- Comprueba que cada trozo es continuo en su intervalo.
- En cada punto de unión, calcula el valor de la función con la expresión que incluye ese punto.
- Calcula los límites laterales con la expresión de cada lado.
- Si los tres valores coinciden, la función es continua; si no, clasifica la discontinuidad. Si hay un parámetro, iguala los límites laterales y resuelve la ecuación.
Ejemplo 10
Un taxi de Madrid cobra 2,50 € de bajada de bandera y 1,10 € por kilómetro durante los primeros 10 km, y 1,30 € por kilómetro a partir del décimo. Escribe el precio y estudia si es continuo en \(x=10\).
\(P(x)=2{,}5+1{,}1x\) si \(0\le x\le10\) y \(P(x)=13{,}5+1{,}3(x-10)\) si \(x\gt 10\). En \(x=10\): por la izquierda \(2{,}5+11=13{,}5\) y por la derecha \(13{,}5+0=13{,}5\). Es continua: el precio no salta al pasar del kilómetro 10, solo cambia la pendiente. Un trayecto de 15 km cuesta \(13{,}5+1{,}3\cdot5=20\) €.
Errores frecuentes
- Escribir que \(\tfrac{5}{0}=0\): en realidad el límite es infinito y hay que estudiar el signo por los dos lados.
- Simplificar sin factorizar, por ejemplo tachar las \(x^2\) en \(\dfrac{x^2-9}{x^2-3x}\) como si fueran factores.
- Comparar grados en un punto finito: la regla de los grados solo sirve cuando \(x\to\pm\infty\).
- Pensar que una función continua es la que «no tiene fórmula rara»: hay que comprobar los tres requisitos en cada punto dudoso.
- Olvidar los límites laterales en las funciones a trozos.
¿Sabías que?
Hace 2 500 años, el filósofo Zenón de Elea planteó la paradoja de Aquiles y la tortuga: si Aquiles debe llegar primero donde estaba la tortuga, y entonces la tortuga ya ha avanzado un poco, parece que nunca la alcanzará. La solución llegó con la idea de límite: la suma de infinitos tiempos cada vez más pequeños puede dar un tiempo finito. La definición rigurosa la escribieron Cauchy y Weierstrass en el siglo XIX. Hoy los economistas usan límites para estudiar el coste medio a largo plazo y los biólogos para estimar la población máxima que admite un ecosistema.
El consejo de Otto
Ante \(\tfrac00\), factoriza; ante \(\tfrac\infty\infty\), compara grados. Casi todos los límites del curso se resuelven con una de esas dos ideas.
Cómo usar los apuntes de límites y continuidad de 1º Bachillerato CCSS
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de límites y continuidad y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de límites y continuidad y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de límites y continuidad de 1º Bachillerato CCSS reúnen todo lo necesario para el tema.
Páginas similares
Más de este capítulo
EjerciciosLímites y continuidad – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: ejercicios para descargar en PDF
SolucionesLímites y continuidad – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF
TestLímites y continuidad – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: test para descargar en PDF
TestLímites y continuidad – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: quiz para descargar en PDF
ExamenLímites y continuidad – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: examen para descargar en PDF
Soluciones del examenLímites y continuidad – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: soluciones del examen para descargar en PDF
Cálculo mentalLímites y continuidad – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: cálculo mental para descargar en PDFOtros capítulos de este nivel
ApuntesAritmética mercantil – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: apuntes y teoría para descargar en PDF
ApuntesPolinomios, ecuaciones e inecuaciones – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: apuntes y teoría para descargar en PDF
ApuntesSistemas de ecuaciones e inecuaciones – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: apuntes y teoría para descargar en PDF
ApuntesFunciones elementales – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: apuntes y teoría para descargar en PDF
ApuntesFunciones definidas a trozos – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: apuntes y teoría para descargar en PDF
ApuntesSucesiones y progresiones – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: apuntes y teoría para descargar en PDF
ApuntesDerivadas – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: apuntes y teoría para descargar en PDF
ApuntesEstadística unidimensional – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: apuntes y teoría para descargar en PDF