Grenzwerte und Asymptoten – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Bestimmen Sie das Verhalten für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\). Klammern Sie dazu die höchste Potenz aus.

a) \(f(x)=x^3-2x\)
b) \(f(x)=-x^4+3x^2\)
c) \(f(x)=2x^5-x^3+7\)
d) \(f(x)=5-x^2\)

Bestimmen Sie den Grenzwert für \(x\to\pm\infty\) und geben Sie die Gleichung der waagerechten Asymptote an (falls vorhanden).

a) \(f(x)=\dfrac{3x^2+1}{x^2-4}\)
b) \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2+1}\)
c) \(f(x)=\dfrac{4x^3-x}{2x^3+5x^2}\)
d) \(f(x)=\dfrac{x^3+1}{x^2}\)

Bestimmen Sie die schiefe Asymptote mit Polynomdivision.

a) \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+2}\)
b) \(f(x)=\dfrac{2x^2-3x+4}{x-1}\)
c) \(f(x)=\dfrac{x^2-x-6}{x-3}\)

Bestimmen Sie die Polstellen und das Verhalten links und rechts der Polstelle.

a) \(f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}\)
b) \(f(x)=\dfrac1{(x-1)^2}\)
c) \(f(x)=\dfrac{x-3}{x^2-1}\)

Prüfen Sie, ob bei der angegebenen Stelle eine Polstelle oder eine hebbare Lücke vorliegt, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

a) \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\) bei \(x=1\)
b) \(f(x)=\dfrac{x^2-x-6}{x-3}\) bei \(x=3\)
c) \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2-4x+4}\) bei \(x=2\)

Bestimmen Sie die Grenzwerte.

a) \(\lim_{x\to\infty}x^2\mathrm{e}^{-x}\)
b) \(\lim_{x\to-\infty}x\,\mathrm{e}^x\)
c) \(\lim_{x\to\infty}(x+1)\mathrm{e}^{-x}\)
d) \(\lim_{x\to0}\dfrac{\mathrm{e}^x-1}x\)

Gegeben ist \(f(x)=x^2+ax\) für \(x<1\) und \(f(x)=3x-1\) für \(x\ge1\).

a) Bestimmen Sie den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle \(1\).
b) Bestimmen Sie \(a\) so, dass \(f\) stetig ist.
c) Prüfen Sie, ob \(f\) für dieses \(a\) auch differenzierbar ist.

Die Konzentration eines Medikaments (mg/l) nach der Einnahme wird durch \(c(t)=\dfrac{40\,t}{t^2+4}\) (\(t\) in Stunden) beschrieben.

a) Bestimmen Sie den Grenzwert für \(t\to\infty\) und deuten Sie ihn.
b) Zeigen Sie \(c'(t)=\dfrac{40(4-t^2)}{(t^2+4)^2}\).
c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt und die Höhe der maximalen Konzentration.
d) Wann ist die Konzentration nach dem Maximum auf \(5\) mg/l gesunken?

Die Gesamtkosten eines Betriebs betragen \(K(x)=2x+50\) (in Euro, \(x\) Stück). Die Stückkosten sind \(k(x)=\dfrac{K(x)}x\).

a) Stellen Sie \(k(x)\) als Summe dar.
b) Bestimmen Sie den Grenzwert für \(x\to\infty\) und deuten Sie ihn.
c) Bei welcher Stückzahl liegen die Stückkosten höchstens \(2{,}50\,€\)?

Die Population einer Hirschart in einem Naturpark wird durch \(N(t)=\dfrac{1000}{1+9\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}}\) (\(t\) in Jahren) beschrieben.

a) Wie groß ist die Anfangspopulation?
b) Bestimmen Sie die Sättigungsgrenze (Grenzwert für \(t\to\infty\)) und die Gleichung der Asymptote.
c) Wann sind \(900\) Tiere erreicht?
d) Begründen Sie, dass \(N\) streng monoton wächst.

Die Geschwindigkeit eines Fallschirmspringers nach dem Öffnen des Schirms ist \(v(t)=50\big(1-\mathrm{e}^{-0{,}2t}\big)\) (in m/s, \(t\) in Sekunden).

a) Bestimmen Sie die Endgeschwindigkeit und die Gleichung der Asymptote.
b) Wann hat der Springer \(90\,\%\) der Endgeschwindigkeit erreicht?
c) Berechnen Sie die Beschleunigung \(v'(t)\) und ihren Grenzwert für \(t\to\infty\).

Die Stückkosten eines Betriebs sind \(k(x)=0{,}5x+10+\dfrac{20}x\) (in Euro, \(x>0\) Stück).

a) Bestimmen Sie die schiefe Asymptote.
b) Deuten Sie die Asymptote und den Term \(\frac{20}x\).
c) Bestimmen Sie das Minimum der Stückkosten (Ableitung \(k'(x)=0{,}5-\frac{20}{x^2}\)).

Die Beleuchtungsstärke einer Lampe im Abstand \(d\) (in m) ist \(E(d)=\dfrac{100}{d^2}\) (in Lux).

a) Wie verhält sich \(E\) für \(d\to0^+\) und \(d\to\infty\)?
b) Geben Sie die Asymptoten an.
c) Bei welchem Abstand beträgt die Stärke \(1\) Lux?
d) Um welchen Faktor sinkt \(E\), wenn man den Abstand verdreifacht?

Gegeben ist \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2-1}\) (Abbildung).

a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge, Symmetrie und Nullstellen.
b) Bestimmen Sie die senkrechten Asymptoten und das Verhalten an den Polstellen.
c) Bestimmen Sie die waagerechte Asymptote.
d) Zeigen Sie \(f'(x)=\frac{6x}{(x^2-1)^2}\) und bestimmen Sie das Extremum.

Gegeben ist \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+2}\) mit \(D=\mathbb R\setminus\{-2\}\).

a) Bestimmen Sie die senkrechte und die schiefe Asymptote.
b) Zeigen Sie \(f'(x)=\frac{x^2+4x-1}{(x+2)^2}\).
c) Bestimmen Sie die Extremstellen.
d) Berechnen Sie den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse.

Gegeben ist \(f_a(x)=\dfrac{x^2-a}{x^2-1}\) mit \(a>0\), \(a\neq1\).

a) Bestimmen Sie die Nullstellen in Abhängigkeit von \(a\).
b) Bestimmen Sie die Asymptoten (unabhängig von \(a\)).
c) Was passiert im Fall \(a=1\)?
d) Für welches \(a\) hat der Graph den \(y\)-Achsenabschnitt \(3\)?

Gegeben ist \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}\) für \(x\neq2\) und \(f(x)=a\) für \(x=2\).

a) Vereinfachen Sie den Term für \(x\neq2\).
b) Bestimmen Sie \(a\) so, dass \(f\) stetig ist.
c) Skizzieren Sie den Graphen und beschreiben Sie, was für \(a\neq4\) passieren würde.

Der Graph von \(f(x)=\dfrac4{x^2}\) schließt mit der \(x\)-Achse über \([1;b]\) eine Fläche ein (\(b>1\)).

a) Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A(b)\).
b) Bestimmen Sie \(\lim_{b\to\infty}A(b)\) und deuten Sie das Ergebnis.
c) Für welches \(b\) beträgt die Fläche \(3{,}8\) FE?
d) Vergleichen Sie mit der Fläche unter \(g(x)=\frac4x\) über \([1;b]\).

Entscheiden Sie und begründen Sie (bei „falsch“ mit Gegenbeispiel).

a) Jede gebrochenrationale Funktion hat eine waagerechte Asymptote.
b) Hat \(f\) eine Polstelle bei \(x_0\), so gilt \(\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty\).
c) Der Graph kann seine waagerechte Asymptote schneiden.
d) Aus \(\lim f(x)=0\) folgt \(f(x)\neq0\) für alle \(x\).

Die Reaktionsgeschwindigkeit eines Enzyms hängt von der Substratkonzentration ab: \(v(S)=\dfrac{10\,S}{2+S}\) (\(S\) in mmol/l, \(v\) in mmol/min).

a) Bestimmen Sie die waagerechte Asymptote und deuten Sie sie.
b) Bei welcher Konzentration wird die halbe Sättigungsgeschwindigkeit erreicht?
c) Bei welcher Konzentration werden \(90\,\%\) erreicht?
d) Zeigen Sie \(v'(S)=\frac{20}{(2+S)^2}>0\) und deuten Sie.