Extremwertprobleme und Optimierung Abitur Arbeitsblatt mit Lösungen zum Herunterladen als PDF

Dieses Arbeitsblatt mit Lösungen zum Thema Extremwertprobleme und Optimierung (Abitur) enthält 20 Aufgaben, von einfachen Übungen bis zu Sachaufgaben. Die Lösungen stehen auf einer eigenen Seite, damit du zuerst selbst rechnest.

Aufgabe 1 – Das Rechteck mit festem Umfang
Ein Rechteck hat den Umfang \(40\) cm.
a) Stellen Sie die Zielfunktion für den Flächeninhalt auf und geben Sie den Definitionsbereich an.
b) Bestimmen Sie die Seitenlängen, für die der Flächeninhalt maximal wird.
c) Wie groß ist der maximale Flächeninhalt?
Aufgabe 2 – Das Gehege an der Mauer
Ein Landwirt will ein rechteckiges Gehege an einer Stallwand mit \(60\) m Zaun einzäunen. Die Stallwand ersetzt eine Zaunseite.
a) Stellen Sie die Zielfunktion \(A(x)\) auf (Seite senkrecht zur Wand: \(x\)).
b) Bestimmen Sie die Maße des größten Geheges.
c) Wie groß ist die Fläche, und wie viel mehr als bei einem quadratischen Gehege (Seite \(20\) m)?
Aufgabe 3 – Zwei Gehege nebeneinander
Zwei gleich große rechteckige Gehege liegen nebeneinander und teilen sich eine Zwischenwand. Insgesamt stehen \(120\) m Zaun zur Verfügung (keine Mauer).
a) Skizzieren Sie die Anordnung. Wie viele Zaunstücke senkrecht und waagerecht gibt es?
b) Stellen Sie die Zielfunktion für die Gesamtfläche auf.
c) Bestimmen Sie die Maße und die maximale Gesamtfläche.
Aufgabe 4 – Dose mit kleinster Oberfläche
Eine zylindrische Dose soll \(1\) Liter (\(1\,000\,\mathrm{cm}^3\)) fassen. Die Materialmenge soll minimal sein.
a) Stellen Sie die Zielfunktion \(O(r)\) auf.
b) Bestimmen Sie Radius und Höhe für minimale Oberfläche.
c) Wie groß ist die minimale Oberfläche? Welcher Zusammenhang besteht zwischen \(h\) und \(r\)?
Aufgabe 5 – Offener Kasten aus Pappe
Aus einem quadratischen Pappstück der Seitenlänge \(24\) cm werden an den Ecken Quadrate der Seitenlänge \(x\) ausgeschnitten; die Seiten werden hochgeklappt.
a) Stellen Sie die Zielfunktion \(V(x)\) auf und geben Sie den Definitionsbereich an.
b) Bestimmen Sie \(x\) für maximales Volumen.
c) Berechnen Sie das maximale Volumen und die Abmessungen des Kastens.
Aufgabe 6 – Kürzester Abstand zur Parabel
Gesucht ist der Punkt der Parabel \(y=x^2\), der dem Punkt \(P(0|2)\) am nächsten liegt.
a) Stellen Sie das Abstandsquadrat \(D(x)\) auf.
b) Bestimmen Sie die Minimalstellen.
c) Wie groß ist der kleinste Abstand?
Aufgabe 7 – Randextrema
Gegeben ist \(f(x)=x^3-3x\) auf dem Intervall \([-2;3]\).
a) Bestimmen Sie die lokalen Extrema im Inneren.
b) Berechnen Sie die Randwerte.
c) Geben Sie das globale Maximum und Minimum an.
Aufgabe 8 – Das Normfenster
Ein Fenster besteht aus einem Rechteck (Breite \(2r\), Höhe \(h\)) mit aufgesetztem Halbkreis. Der Rahmenumfang beträgt \(6\) m.
a) Stellen Sie die Nebenbedingung auf.
b) Stellen Sie die Zielfunktion \(A(r)\) auf.
c) Bestimmen Sie \(r\), \(h\) und die maximale Fläche.
Aufgabe 9 – Der Preis macht den Gewinn
Ein Händler verkauft ein Gerät. Die Preis-Absatz-Funktion lautet \(p(x)=100-0{,}5x\) (in Euro, \(x\) Stück), die Kosten sind \(K(x)=20x+500\).
a) Stellen Sie die Gewinnfunktion \(G(x)\) auf.
b) Bestimmen Sie die gewinnmaximale Menge und den Preis.
c) Wie hoch ist der maximale Gewinn?
d) Bis zu welcher Menge macht der Händler überhaupt Gewinn?
Aufgabe 10 – Betriebsoptimum
Die Gesamtkosten betragen \(K(x)=x^3-6x^2+15x+32\) (in Tausend Euro, \(x\) in Tausend Stück).
a) Stellen Sie die Stückkostenfunktion \(k(x)\) auf.
b) Bestimmen Sie die Menge mit den geringsten Stückkosten.
c) Zeigen Sie, dass dort die Grenzkosten gleich den Stückkosten sind.
Aufgabe 11 – Das Seekabel
Ein Fluss ist \(100\) m breit. Ein Kabel soll von Punkt A am einen Ufer zu Punkt B am anderen Ufer verlegt werden, wobei B \(300\) m flussabwärts liegt. Unter Wasser kostet das Kabel \(120\,€\) pro Meter, an Land \(80\,€\) pro Meter. Das Kabel quert den Fluss schräg bis zum Punkt C, der \(x\) Meter flussabwärts von A liegt, und verläuft dann am Ufer zu B.
a) Stellen Sie die Kostenfunktion \(K(x)\) auf.
b) Bestimmen Sie die günstigste Stelle \(x\).
c) Berechnen Sie die minimalen Kosten und vergleichen Sie mit dem Kabel, das direkt von A nach B unter Wasser verlegt wird.
Aufgabe 12 – Rechteck unter der Parabel
Dem Graphen von \(f(x)=9-x^2\) wird ein Rechteck einbeschrieben, dessen Seiten parallel zu den Achsen sind und dessen obere Ecken auf dem Graphen liegen.
a) Stellen Sie die Flächenfunktion \(A(x)\) für die Hälfte der Breite \(x\) auf.
b) Bestimmen Sie die Abmessungen des Rechtecks mit größtem Flächeninhalt.
c) Wie groß ist die maximale Fläche?
Aufgabe 13 – Zylinder in der Kugel
In eine Kugel mit Radius \(R=10\) cm wird ein Zylinder (Höhe \(h\), Radius \(r\)) einbeschrieben.
a) Zeigen Sie: \(r^2=100-\frac{h^2}4\).
b) Stellen Sie die Zielfunktion \(V(h)\) auf.
c) Bestimmen Sie die Maße des Zylinders mit größtem Volumen.
Aufgabe 14 – Die Obstplantage
Auf einem Hektar stehen \(50\) Apfelbäume, die je \(800\) kg Äpfel tragen. Jeder zusätzlich gepflanzte Baum verringert den Ertrag aller Bäume um je \(10\) kg.
a) Stellen Sie den Gesamtertrag \(E(n)\) bei \(n\) zusätzlichen Bäumen auf.
b) Bestimmen Sie die ertragreichste Baumzahl.
c) Wie hoch ist der maximale Ertrag, und wie viel mehr als ohne zusätzliche Bäume?
Aufgabe 15 – Dose mit unterschiedlichen Materialkosten
Eine Konservendose mit \(500\,\mathrm{cm}^3\) Inhalt hat einen Mantel, der \(0{,}4\) Cent pro \(\mathrm{cm}^2\) kostet, sowie Boden und Deckel zu \(0{,}8\) Cent pro \(\mathrm{cm}^2\).
a) Stellen Sie die Kostenfunktion \(K(r)\) in Cent auf.
b) Bestimmen Sie \(r\) und \(h\) für minimale Kosten.
c) Berechnen Sie die minimalen Kosten.
Aufgabe 16 – Das Rechteck unter der Glockenkurve
Gegeben ist \(f(x)=\mathrm{e}^{-x^2}\). Ein Rechteck mit der Grundseite auf der \(x\)-Achse hat seine oberen Ecken auf dem Graphen und ist symmetrisch zur \(y\)-Achse.
a) Stellen Sie die Flächenfunktion \(A(x)\) für \(x>0\) (halbe Breite) auf.
b) Bestimmen Sie \(x\) für den größten Flächeninhalt.
c) Wie groß ist die maximale Fläche?
Aufgabe 17 – Der nächste Punkt der Geraden
Welcher Punkt der Geraden \(y=-2x+6\) liegt dem Ursprung am nächsten?
a) Stellen Sie das Abstandsquadrat auf.
b) Bestimmen Sie die Minimalstelle.
c) Berechnen Sie den Abstand und überprüfen Sie ihn mit der Abstandsformel Punkt–Gerade.
Aufgabe 18 – Der Kanal mit größtem Querschnitt
Ein rechteckiger Kanal wird aus einem \(12\) m langen Blechstreifen geformt (Boden und beide Seitenwände, oben offen).
a) Stellen Sie die Zielfunktion für den Querschnitt auf (Höhe \(h\)).
b) Bestimmen Sie Breite und Höhe für den größten Querschnitt.
c) Wie groß ist er, und welches Seitenverhältnis ergibt sich?
Aufgabe 19 – Zaun an der Mauer – allgemein
Ein Rechteck grenzt an eine Mauer und wird an den drei freien Seiten mit \(L\) Metern Zaun begrenzt.
a) Zeigen Sie: Die maximale Fläche beträgt \(A_{\max}=\frac{L^2}8\) bei \(x=\frac L4\).
b) Wie groß muss \(L\) sein, damit \(A_{\max}=800\,\mathrm{m}^2\) gilt?
c) Wie ändert sich \(A_{\max}\), wenn man \(L\) verdoppelt?
Aufgabe 20 – Die Tangente an 1/x
Die Tangente an den Graphen von \(f(x)=\frac1x\) (\(x>0\)) im Punkt \(P\left(a\left|\frac1a\right.\right)\) schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein.
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in Abhängigkeit von \(a\).
b) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte der Tangente.
c) Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt des Dreiecks für alle \(a\) gleich \(2\) ist.

So nutzt du das Arbeitsblatt Extremwertprobleme und Optimierung (Abitur) mit Lösungen

Lies zuerst den Lernzettel zu Extremwertprobleme und Optimierung, damit die Verfahren frisch sind. Danach löst du die Aufgaben der Reihe nach, denn sie werden nach und nach schwerer. Schreibe deinen Rechenweg auf und vergleiche ihn anschließend mit den Lösungen. Falls eine Aufgabe nicht klappt, schaust du dir das passende Beispiel noch einmal an. Schließlich probierst du die Klassenarbeit oder das Quiz.

Außerdem kannst du das Arbeitsblatt als PDF herunterladen und ausdrucken. Außerdem gehören alle Seiten dieses Kapitels zusammen, sodass du jederzeit wechseln kannst. Zum Beispiel lesen viele Schüler montags den Lernzettel, üben mittwochs und testen sich freitags. Kurz gesagt bereitet dich dieses Arbeitsblatt mit Lösungen zu Extremwertprobleme und Optimierung (Abitur) gut auf die Klassenarbeit vor.

Extremwertprobleme und Optimierung – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Aufgabe 1 – Das Rechteck mit festem Umfang

Aufgabe 2 – Das Gehege an der Mauer

Aufgabe 3 – Zwei Gehege nebeneinander

Aufgabe 4 – Dose mit kleinster Oberfläche

Aufgabe 5 – Offener Kasten aus Pappe

Aufgabe 6 – Kürzester Abstand zur Parabel

Aufgabe 7 – Randextrema

Aufgabe 8 – Das Normfenster

Aufgabe 9 – Der Preis macht den Gewinn

Aufgabe 10 – Betriebsoptimum

Aufgabe 11 – Das Seekabel

Aufgabe 12 – Rechteck unter der Parabel

Aufgabe 13 – Zylinder in der Kugel

Aufgabe 14 – Die Obstplantage

Aufgabe 15 – Dose mit unterschiedlichen Materialkosten

Aufgabe 16 – Das Rechteck unter der Glockenkurve

Aufgabe 17 – Der nächste Punkt der Geraden

Aufgabe 18 – Der Kanal mit größtem Querschnitt

Aufgabe 19 – Zaun an der Mauer – allgemein

Aufgabe 20 – Die Tangente an 1/x

So nutzt du das Arbeitsblatt Extremwertprobleme und Optimierung (Abitur) mit Lösungen

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