Geraden im Raum – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Stellen Sie jeweils eine Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte in Parameterform auf.

a) \(A(1|2|3)\) und \(B(4|0|5)\)
b) \(C(0|0|0)\) und \(D(2|-1|4)\)
c) \(P(2|2|0)\) und \(Q(2|5|0)\); beschreiben Sie die besondere Lage dieser Geraden.
d) Geben Sie zu a) eine zweite, andere Gleichung derselben Geraden an.

Gegeben ist die Gerade \(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\). Prüfen Sie, ob die Punkte auf \(g\) liegen.

a) \(P(5|0|6)\)
b) \(Q(-1|3|-3)\)
c) \(R(3|1|4)\)
d) Bestimmen Sie \(c\) so, dass \(T(7|c|9)\) auf \(g\) liegt.

Gegeben ist \(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\).

a) Geben Sie drei Punkte von \(g\) an.
b) Bestimmen Sie den Punkt von \(g\), der in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt.
c) Bestimmen Sie den Punkt von \(g\) mit \(x_1=0\).
d) Liegt der Ursprung auf \(g\)? Begründen Sie.

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden \(g:\ \vec x=\vec a+r\vec u\) und \(h:\ \vec x=\vec b+s\vec v\). Bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.

a) \(\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\), \(\vec u=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\), \(\vec b=\begin{pmatrix}5\\0\\6\end{pmatrix}\), \(\vec v=\begin{pmatrix}-4\\2\\-6\end{pmatrix}\)
b) \(\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\), \(\vec u=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\), \(\vec b=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec v=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\)
c) \(\vec a=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\), \(\vec u=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\), \(\vec b=\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}\), \(\vec v=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\)
d) \(\vec a=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec u=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\), \(\vec b=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\), \(\vec v=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\)

Gegeben sind \(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\) und \(h:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\-1\\8\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\).

a) Zeigen Sie, dass die Richtungsvektoren keine Vielfachen sind.
b) Stellen Sie das Gleichungssystem auf.
c) Lösen Sie es und bestimmen Sie den Schnittpunkt.
d) Machen Sie die Probe mit der dritten Gleichung.

Gegeben ist \(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\).

a) Berechnen Sie den Spurpunkt \(S_{12}\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene.
b) Berechnen Sie die Spurpunkte \(S_{13}\) und \(S_{23}\).
c) Zwischen welchen Spurpunkten verläuft die Gerade im ersten Oktanten (alle Koordinaten \(\ge0\))?

Gegeben sind \(A(2|-1|3)\) und \(B(8|5|0)\).

a) Bestimmen Sie den Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(\overline{AB}\).
b) Bestimmen Sie den Punkt \(T\), der die Strecke im Verhältnis \(1:2\) teilt (von \(A\) aus).
c) Zeigen Sie, dass \(C(10|7|-1)\) auf der Geraden \(AB\), aber nicht auf der Strecke \(\overline{AB}\) liegt.
d) Berechnen Sie die Länge der Strecke \(\overline{AB}\).

Ein Vermessungsbüro in Freiburg setzt eine Drohne ein. Sie startet im Punkt \(A(10|20|0)\) und bewegt sich pro Sekunde um den Vektor \(\vec u=(3|4|1)^T\) (Angaben in m). Auf dem Gelände steht bei \((55|80|0)\) ein \(4\) m hohes Gartenhaus.

a) Geben Sie die Position nach \(t\) Sekunden an und berechnen Sie die Position nach \(10\) s.
b) Wann erreicht die Drohne die Flughöhe \(30\) m, und wo ist sie dann?
c) Überfliegt die Drohne das Gartenhaus? Wenn ja, in welchem Abstand zum Dach?
d) Berechnen Sie die Geschwindigkeit in m/s und km/h.

Zwei Flugzeuge fliegen geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit (Angaben in km, \(t\) in Minuten nach 10:00 Uhr):
Flugzeug 1: \(\vec x_1(t)=(0|0|8)^T+t\cdot(8|6|0)^T\),
Flugzeug 2: \(\vec x_2(t)=(40|-30|10)^T+t\cdot(0|10|0)^T\).

a) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten beider Flugzeuge in km/h.
b) Zeigen Sie, dass die Flugbahnen windschief sind.
c) An welcher Stelle überfliegen sich die Bahnen? Geben Sie die Höhendifferenz an.
d) Zu welchen Uhrzeiten sind die Flugzeuge dort?

Eine Seilbahn führt geradlinig von der Talstation \(T(200|100|750)\) zur Bergstation \(B(1\,400|1\,000|1\,950)\) (Angaben in m, \(x_3\) ist die Höhe über dem Meer).

a) Stellen Sie eine Gleichung der Seilgeraden auf.
b) Berechnen Sie die Länge des Seils und den Höhenunterschied.
c) Berechnen Sie die mittlere Steigung in Prozent (Höhenunterschied durch horizontale Entfernung).
d) In welchem Punkt erreicht die Gondel \(1\,350\) m Höhe?
e) Eine Stütze steht bei einem Viertel der Strecke. Wo steht sie, und wie hoch ist sie, wenn das Gelände dort auf \(980\) m Höhe liegt?

Im Physikraum ist an der Wand im Punkt \(P(0|2|3)\) ein Laser befestigt. Sein Strahl hat die Richtung \(\vec u=(4|1|-2)^T\) (Angaben in m). Der Boden ist die \(x_1x_2\)-Ebene.

a) Geben Sie eine Gleichung des Laserstrahls an.
b) Wo trifft der Strahl auf den Boden?
c) Wie lang ist der Strahl von der Wand bis zum Boden?
d) Auf dem Boden steht bei \((4|3)\) ein \(1\) m hoher Experimentiertisch. Wird er getroffen?

Auf dem Schulhof steht ein \(8\) m hoher Fahnenmast mit Fußpunkt \(F(5|4|0)\). Die Sonnenstrahlen haben zu einem bestimmten Zeitpunkt die Richtung \(\vec s=(-2|-1|-1)^T\) (Angaben in m).

a) Stellen Sie die Gerade durch die Mastspitze in Richtung der Sonnenstrahlen auf.
b) Bestimmen Sie die Schattenspitze auf dem Boden.
c) Berechnen Sie die Länge des Schattens.
d) Wie hoch steht die Sonne über dem Horizont? (\(\tan\alpha=\frac{\text{Masthöhe}}{\text{Schattenlänge}}\))

Ein Tunnel wird von zwei Seiten gleichzeitig vorgetrieben (Angaben in m). Trupp 1 startet im Portal \(A(0|0|0)\) in Richtung \(\begin{pmatrix}10\\5\\1\end{pmatrix}\), Trupp 2 im Portal \(B(180|130|14)\) in Richtung \(\begin{pmatrix}-20\\-20\\-1\end{pmatrix}\).

a) Zeigen Sie, dass sich die beiden Vortriebsgeraden schneiden, und bestimmen Sie den Durchschlagspunkt.
b) Wie lang ist jeder der beiden Tunnelabschnitte?
c) Durch einen Messfehler arbeitet Trupp 2 in Richtung \(\begin{pmatrix}-20\\-20\\-2\end{pmatrix}\). Zeigen Sie, dass sich die Trupps dann verfehlen.
d) Erklären Sie, warum Vermesser bei Tunneln besonders auf die Höhenrichtung achten müssen.

Ein quaderförmiger Container hat die Ecken \(A(0|0|0)\), \(B(6|0|0)\), \(C(6|4|0)\), \(D(0|4|0)\) und darüber \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) in der Höhe \(3\) (Angaben in m).

a) Geben Sie die Koordinaten von \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) an.
b) Stellen Sie Gleichungen der Raumdiagonalen \(AG\) und \(BH\) auf.
c) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Raumdiagonalen.
d) Berechnen Sie die Länge einer Raumdiagonalen. Passt ein \(7{,}5\) m langes Rohr in den Container?

Die Flugsicherung beobachtet zwei Flugzeuge in derselben Flughöhe (Angaben in km, \(t\) in Minuten):
\(\vec x_1(t)=(0|0|9)^T+t\cdot(6|8|0)^T\), \(\vec x_2(t)=(30|0|9)^T+t\cdot(0|10|0)^T\).
Vorgeschrieben ist ein Mindestabstand von \(5\) nautischen Meilen, also etwa \(9{,}26\) km.

a) Zeigen Sie, dass sich die Flugbahnen schneiden, und bestimmen Sie den Schnittpunkt.
b) Zu welchen Zeitpunkten erreichen die Flugzeuge diesen Punkt? Kommt es zum Zusammenstoß?
c) Zeigen Sie: Der Abstand zur Zeit \(t\) ist \(d(t)=\sqrt{(6t-30)^2+4t^2}\).
d) Bestimmen Sie den kleinsten Abstand und den Zeitpunkt.
e) Wird der Mindestabstand eingehalten? Beurteilen Sie die Situation.

Ein Haus hat einen rechteckigen Grundriss von \(10\) m \(\times\) \(8\) m und ein Satteldach. Die Traufen liegen in \(6\) m Höhe, der First in \(9\) m Höhe genau über der Mitte. Koordinaten (in m): Traufpunkte \(A(0|0|6)\), \(B(10|0|6)\), \(C(10|8|6)\), \(D(0|8|6)\), Firstpunkte \(F_1(0|4|9)\), \(F_2(10|4|9)\).

a) Stellen Sie Gleichungen der Firstgeraden und der Traufgeraden \(AB\) auf und zeigen Sie, dass sie parallel sind.
b) Berechnen Sie die Länge eines Dachsparrens von \(A\) nach \(F_1\) und den Inhalt der gesamten Dachfläche.
c) Untersuchen Sie die Lage der Dachkanten \(AF_1\) und \(CF_2\).
d) Eine Antenne soll auf dem First bei \(x_1=7\) stehen. Geben Sie ihren Fußpunkt an.
e) Eine Solaranlage soll eine Dachhälfte ganz bedecken. Ein Modul ist \(1{,}7\) m \(\times\) \(1\) m groß. Wie viele Module passen höchstens auf eine Dachhälfte?

Eine Taucherin springt vom Boot im Punkt \(B(0|0|0)\) ins Wasser (Wasseroberfläche: \(x_3=0\), Angaben in m) und taucht geradlinig in Richtung \(\vec u=(2|1|-2)^T\) pro \(10\) Sekunden ab.

a) Wo ist sie nach \(1\) Minute?
b) Wann erreicht sie \(20\) m Tiefe, und welche Strecke hat sie dann zurückgelegt?
c) Ein Korallenriff beginnt im Punkt \(K(30|15|-30)\). Liegt \(K\) auf ihrer Bahn?
d) Wegen des Druckausgleichs soll sie höchstens \(18\) m pro Minute tiefer tauchen. Hält sie sich daran?

Gegeben sind \(g_a:\ \vec x=(1|0|0)^T+r\cdot(1|a|1)^T\) mit \(a\in\mathbb R\) und \(h:\ \vec x=(0|1|2)^T+s\cdot(1|1|0)^T\).

a) Zeigen Sie, dass \(g_a\) und \(h\) für kein \(a\) parallel sind.
b) Bestimmen Sie \(a\) so, dass sich \(g_a\) und \(h\) schneiden, und berechnen Sie den Schnittpunkt.
c) Welche Lage haben \(g_a\) und \(h\) für alle anderen Werte von \(a\)?
d) Zeigen Sie, dass alle Geraden \(g_a\) durch den Punkt \((1|0|0)\) gehen und in der Ebene \(x_1-x_3=1\) liegen.

In einem Kletterwald im Harz wird eine Seilrutsche über ein Tal gespannt. Sie beginnt auf einer Plattform im Punkt \(S(0|0|40)\) und endet im Punkt \(E(240|180|10)\) (Angaben in m, \(x_3\) Höhe über dem Talboden). Im Tal steht bei \((120|90)\) eine \(22\) m hohe Fichte, bei \((200|150)\) ein \(14\) m hoher Hochsitz. Der Sicherheitsabstand nach unten soll mindestens \(2\) m betragen.

a) Stellen Sie eine Gleichung der Seilgeraden auf.
b) Berechnen Sie die Länge des Seils und das Gefälle in Prozent.
c) Wie hoch über dem Wipfel der Fichte verläuft das Seil? Ist der Sicherheitsabstand eingehalten?
d) Prüfen Sie ebenso den Hochsitz.
e) Ein Rutschender hängt \(1{,}5\) m unter dem Seil. Was folgt daraus für Fichte und Hochsitz?

Gegeben sind die Punkte \(A(1|1|1)\), \(B(2|3|t)\) und \(C(4|7|7)\) mit \(t\in\mathbb R\).

a) Bestimmen Sie \(t\) so, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen.
b) Geben Sie für dieses \(t\) eine Gleichung der Geraden \(g\) an, deren Richtungsvektor die Länge \(3\) hat.
c) Bestimmen Sie alle Punkte von \(g\), die von \(A\) den Abstand \(6\) haben.
d) Für \(t=1\) bilden \(A\), \(B\), \(C\) ein Dreieck. Zeigen Sie, dass die Seitenhalbierende durch \(A\) den Mittelpunkt \(M_a\) von \(\overline{BC}\) trifft, und geben Sie den Schwerpunkt an.