Wachstumsmodelle und Differenzialgleichungen – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Ein Bestand wächst exponentiell. Zu Beginn sind es \(200\) Einheiten, nach \(3\) Stunden \(500\) Einheiten.

a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung \(N(t)=N_0\,\mathrm e^{kt}\).
b) Berechnen Sie die Verdopplungszeit.
c) Wie groß ist der Bestand nach \(5\) Stunden?
d) Geben Sie die Differenzialgleichung an, die \(N\) erfüllt.

Prüfen Sie durch Einsetzen.

a) \(f(t)=5\,\mathrm e^{0{,}3t}\) löst \(f^{\prime}=0{,}3f\).
b) \(g(t)=10-7\,\mathrm e^{-0{,}2t}\) löst \(g^{\prime}=0{,}2(10-g)\).
c) \(h(t)=3t^2\) löst \(h^{\prime}=0{,}5h\) nicht.
d) Welche Anfangswerte haben \(f\) und \(g\)?

Ein Wirkstoff wird im Körper abgebaut. Es gilt \(f^{\prime}(t)=-0{,}04f(t)\) mit \(f(0)=80\) (mg, \(t\) in Stunden).

a) Geben Sie die Lösung des Anfangswertproblems an.
b) Wie viel Wirkstoff ist nach \(24\) Stunden noch vorhanden?
c) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
d) Nach welcher Zeit sind nur noch \(10\) mg vorhanden?

Für einen Bestand gilt \(f^{\prime}=0{,}1(50-f)\) mit \(f(0)=10\).

a) Geben Sie die Schranke an und bestimmen Sie die Lösung.
b) Berechnen Sie \(f(10)\).
c) Wann ist \(f(t)=45\)?
d) Zeigen Sie, dass die Änderungsrate ständig abnimmt.

Gegeben ist \(f(t)=\dfrac{100}{1+9\,\mathrm e^{-0{,}5t}}\).

a) Bestimmen Sie \(f(0)\) und die Schranke \(G\).
b) Wann ist die Hälfte der Schranke erreicht?
c) Berechnen Sie die maximale Änderungsrate.
d) Geben Sie die logistische Differenzialgleichung an.

Ordnen Sie den Messreihen (gleiche Zeitabstände) ein passendes Modell zu und begründen Sie.

a) Untersuchen Sie Differenzen und Quotienten der Reihe A.
b) Untersuchen Sie Reihe B.
c) Reihe C strebt gegen \(100\). Untersuchen Sie die Abstände zu \(100\).
d) Geben Sie für jede Reihe eine Funktionsgleichung an.

Im Biologie-Leistungskurs wird eine Bakterienkultur beobachtet. Zu Beginn sind \(1\,000\) Bakterien vorhanden, ihre Zahl verdoppelt sich alle \(20\) Minuten.

a) Stellen Sie die Funktion \(N(t)\) auf (\(t\) in Minuten).
b) Wie viele Bakterien sind es nach \(3\) Stunden?
c) Wann ist eine Million erreicht?
d) Warum kann das Modell nicht über viele Stunden gelten?

Ein Tee hat \(90\,^\circ\mathrm C\), der Raum \(20\,^\circ\mathrm C\). Nach \(5\) Minuten misst man \(70\,^\circ\mathrm C\). Nach dem Abkühlungsgesetz von Newton gilt \(T^{\prime}=-k(T-20)\).

a) Begründen Sie den Ansatz \(T(t)=20+70\,\mathrm e^{-kt}\).
b) Bestimmen Sie \(k\).
c) Wann hat der Tee die Trinktemperatur \(55\,^\circ\mathrm C\)?
d) Wie schnell kühlt der Tee zu Beginn ab?

Ein Patient erhält im Krankenhaus eine Dauerinfusion, die \(2\) mg pro Stunde eines Wirkstoffs zuführt. Gleichzeitig baut der Körper stündlich \(10\,\%\) der vorhandenen Menge ab. Es gilt \(c^{\prime}=2-0{,}1c\), \(c(0)=0\).

a) Bestimmen Sie die Gleichgewichtsmenge.
b) Zeigen Sie, dass \(c(t)=20(1-\mathrm e^{-0{,}1t})\) die Lösung ist.
c) Wann sind \(15\) mg erreicht?
d) Die Infusion wird nach \(24\) Stunden beendet. Welche DGL gilt danach?

Beim Reaktorunglück von Tschernobyl 1986 gelangte Cäsium-137 bis nach Süddeutschland; noch heute sind manche Wildpilze im Bayerischen Wald belastet. Cäsium-137 hat eine Halbwertszeit von etwa \(30\) Jahren.

a) Bestimmen Sie die Zerfallskonstante.
b) Welcher Anteil der Menge von 1986 war 2026 noch vorhanden?
c) In welchem Jahr ist nur noch \(1\,\%\) vorhanden?
d) Erklären Sie, warum die Belastung von Pilzen langsamer zurückgeht als die von Getreide.

An einem Gymnasium mit \(1\,200\) Schülerinnen und Schülern nutzen am Tag \(0\) zwölf Personen eine neue App, einen Tag später \(60\). Die Ausbreitung wird logistisch modelliert: \(f(t)=\dfrac{1200}{1+99\,\mathrm e^{-kt}}\).

a) Zeigen Sie, dass \(f(0)=12\) gilt.
b) Bestimmen Sie \(k\).
c) Wann nutzt die Hälfte der Schule die App?
d) Wie viele neue Nutzer kommen am Tag der stärksten Ausbreitung ungefähr hinzu?

Ein Angelverein setzt in einen Baggersee \(1\,000\) Jungfische ein. Der See bietet Lebensraum für höchstens \(5\,000\) Fische. Der Bestand wird beschränkt modelliert: \(f^{\prime}=0{,}3(5000-f)\) (\(t\) in Jahren).

a) Geben Sie die Lösung an.
b) Wie groß ist der Bestand nach \(5\) Jahren?
c) Wann sind \(90\,\%\) der Kapazität erreicht?
d) Beurteilen Sie, ob ein logistisches Modell hier geeigneter wäre.

Eine Flasche Apfelschorle wird mit \(6\,^\circ\mathrm C\) aus dem Kühlschrank genommen und steht in einem \(22\,^\circ\mathrm C\) warmen Raum. Nach \(10\) Minuten hat sie \(12\,^\circ\mathrm C\).

a) Stellen Sie ein Modell \(T(t)=22-16\,\mathrm e^{-kt}\) auf und bestimmen Sie \(k\).
b) Welche Temperatur hat die Schorle nach einer halben Stunde?
c) Wann ist sie \(18\,^\circ\mathrm C\) warm?
d) Geben Sie die zugehörige Differenzialgleichung an.

Auf einer kleinen Nordseeinsel werden \(50\) Wildkaninchen ausgesetzt. Die Insel bietet Nahrung für etwa \(2\,000\) Tiere. Ein Biologe vergleicht zwei Modelle (\(t\) in Jahren):
exponentiell \(E(t)=50\,\mathrm e^{0{,}8t}\), logistisch \(L(t)=\dfrac{2000}{1+39\,\mathrm e^{-0{,}8t}}\).

a) Füllen Sie die Tabelle aus.
b) Bis wann stimmen die Modelle ungefähr überein?
c) Wann erreicht der logistische Bestand \(1\,000\) Tiere?
d) Welches Modell ist langfristig realistisch? Begründen Sie.

An einer Gesamtschule mit \(1\,500\) Schülerinnen und Schülern breitet sich eine Grippe aus. Die Zahl der bisher Erkrankten wird beschrieben durch \(f(t)=\dfrac{1500}{1+149\,\mathrm e^{-0{,}6t}}\) (\(t\) in Tagen).

a) Wie viele sind zu Beginn erkrankt?
b) Wann sind die meisten Neuerkrankungen pro Tag zu erwarten, und wie viele sind es?
c) Wann sind \(90\,\%\) der Schülerschaft erkrankt gewesen?
d) Die Schulleitung plant ab \(300\) Erkrankten Notmaßnahmen. Ab welchem Tag?
e) Nennen Sie zwei Gründe, warum das Modell die Wirklichkeit vereinfacht.

In einem Fernsehkrimi wird um \(22{:}00\) Uhr eine Leiche in einem \(18\,^\circ\mathrm C\) warmen Raum gefunden; ihre Temperatur beträgt \(30\,^\circ\mathrm C\). Um \(23{:}00\) Uhr misst die Rechtsmedizinerin \(28\,^\circ\mathrm C\). Die Körpertemperatur zum Todeszeitpunkt betrug \(37\,^\circ\mathrm C\). Es gilt das Abkühlungsgesetz von Newton.

a) Stellen Sie mit \(t=0\) um \(22{:}00\) Uhr den Ansatz \(T(t)=18+12\,\mathrm e^{-kt}\) auf und bestimmen Sie \(k\) (\(t\) in Stunden).
b) Bestimmen Sie den Todeszeitpunkt.
c) Welche Temperatur hätte der Körper um Mitternacht?
d) Ein Verdächtiger hat für die Zeit ab \(20{:}00\) Uhr ein Alibi. Ist er entlastet?

Ein Gartenpool wird mit einem Schlauch befüllt, der \(2\,\mathrm m^3\) pro Stunde liefert. Durch ein Leck verliert der Pool stündlich \(5\,\%\) seines Inhalts. Zu Beginn sind \(10\,\mathrm m^3\) Wasser im Pool, er fasst \(38\,\mathrm m^3\).

a) Stellen Sie die Differenzialgleichung für das Volumen \(V(t)\) auf.
b) Bestimmen Sie das Gleichgewichtsvolumen. Was bedeutet es für den Pool?
c) Zeigen Sie, dass \(V(t)=40-30\,\mathrm e^{-0{,}05t}\) die Lösung ist.
d) Wann ist der Pool randvoll?
e) Wie stark müsste der Schlauch mindestens sein, damit man den Pool trotz Leck voll bekommt?

Gesucht ist eine Lösung der Form \(f(t)=a\,\mathrm e^{kt}+b\) der Differenzialgleichung \(f^{\prime}=0{,}5f-3\) mit \(f(0)=10\).

a) Setzen Sie den Ansatz in die DGL ein und vergleichen Sie die Terme.
b) Bestimmen Sie \(k\) und \(b\).
c) Bestimmen Sie \(a\) aus der Anfangsbedingung.
d) Was passiert für den Startwert \(f(0)=6\)?

Gegeben ist \(f(t)=\dfrac G{1+c\,\mathrm e^{-kt}}\) mit \(G,c,k>0\).

a) Zeigen Sie: \(f^{\prime}(t)=\dfrac{Gck\,\mathrm e^{-kt}}{(1+c\,\mathrm e^{-kt})^2}\).
b) Zeigen Sie: \(f^{\prime}=\frac kGf(G-f)\).
c) Bestimmen Sie \(c\) aus dem Anfangswert \(f(0)=f_0\).
d) Zeigen Sie, dass der Wendepunkt bei \(f=\frac G2\) liegt.

Ein Fischbestand (in Tonnen) wächst ohne Fang logistisch nach \(f^{\prime}=0{,}02f(50-f)\). Eine Fischereigenossenschaft fängt jedes Jahr gleichmäßig \(8\) Tonnen: \(f^{\prime}=0{,}02f(50-f)-8\).

a) Bestimmen Sie die Gleichgewichtsbestände mit Fang.
b) Untersuchen Sie das Vorzeichen von \(f^{\prime}\) in den Bereichen dazwischen.
c) Welches Gleichgewicht ist stabil? Was passiert mit einem Bestand von \(8\) Tonnen?
d) Wie groß darf die jährliche Fangmenge höchstens sein, damit überhaupt ein Gleichgewicht existiert?