Extremwertprobleme und Optimierung – Mathe Abitur (Klasse 12-13) Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   Lösungsweg und Bewertung: Mit der Seite \(x\) senkrecht zur Mauer ist die parallele Seite \(80-2x\); die Fläche als Produkt ist die Zielfunktion, der Definitionsbereich folgt aus der Zaunlänge (zwei BE). Die Ableitung wird null gesetzt, die zweite Ableitung bestätigt das Maximum, danach werden Maße und Fläche angegeben (zwei BE). Kontrolle: \(A(20)=800\) ist größer als \(A(19)=798\) und \(A(21)=798\); das bestätigt das Maximum auch ohne zweite Ableitung.

   a) \(A(x)=x(80-2x)\) mit \(0\lt x<40\). (2 BE)
   b) \(A'(x)=80-4x=0\Rightarrow x=20\); Maße \(20\,\mathrm{m}\times40\,\mathrm{m}\), \(A=800\,\mathrm{m}^2\). (2 BE)

2. Lösung zu Aufgabe 2 (5 BE/Punkte)

   Lösungsweg und Bewertung: Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe, also \(x(30-2x)^2\) (eine BE). Die Ableitung wird mit Produkt- und Kettenregel gebildet und faktorisiert; von den Nullstellen liegt nur eine im Inneren des Definitionsbereichs, die zweite Ableitung bestätigt das Maximum (drei BE). Das maximale Volumen folgt durch Einsetzen (eine BE).

   a) \(V(x)=x(30-2x)^2\), \(0\lt x<15\). (1 BE)
   b) \(V'(x)=(30-2x)(30-6x)=0\Rightarrow x=5\) (\(x=15\) liegt am Rand); \(V''(5)<0\): Maximum. (3 BE)
   c) \(V(5)=5\cdot20^2=2\,000\,\mathrm{cm}^3\). (1 BE)

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   Lösungsweg und Bewertung: Die lokalen Extrema im Inneren findet man mit den Nullstellen der Ableitung und der Prüfung ihrer Art (zwei BE). Anschließend werden die Funktionswerte an beiden Intervallrändern berechnet und mit den lokalen Extrema verglichen; der größte Wert ist das globale Maximum, der kleinste das globale Minimum (zwei BE).

   a) \(f'(x)=3(x-1)(x-3)\): Hochpunkt \((1|4)\), Tiefpunkt \((3|0)\). (2 BE)
   b) Randwerte \(f(0)=0\), \(f(5)=20\). Globales Maximum \(20\) bei \(x=5\), globales Minimum \(0\) bei \(x=0\) und \(x=3\). (2 BE)

4. Lösung zu Aufgabe 4 (5 BE/Punkte)

   Lösungsweg und Bewertung: Der Erlös ist Menge mal Preis; zieht man die Kosten ab, erhält man die Gewinnfunktion (zwei BE). Die Ableitung der Gewinnfunktion wird null gesetzt, die gewinnmaximale Menge in die Preis-Absatz-Funktion eingesetzt und der maximale Gewinn berechnet; die zweite Ableitung bestätigt das Maximum (drei BE). Kontrolle: Bei \(x=50\) sind Grenzerlös \(60-x=10\) und Grenzkosten \(10\) gleich groß, wie es im Gewinnmaximum sein muss.

   a) \(G(x)=x(60-0{,}5x)-10x-200=50x-0{,}5x^2-200\). (2 BE)
   b) \(G'(x)=50-x=0\Rightarrow x=50\); \(p(50)=35\) Euro; \(G(50)=2500-1250-200=1050\) Euro. (3 BE)

5. Lösung zu Aufgabe 5 (2 BE/Punkte)

   Lösungsweg und Bewertung: Mit der Seite \(x\) ist die zweite Seite \(\frac U2-x\); die Fläche ist eine nach unten geöffnete Parabel in \(x\). Ihre Ableitung null gesetzt liefert \(x=\frac U4\), und die zweite Seite hat dieselbe Länge. Für Zielfunktion und Nachweis des Quadrats gibt es je eine Bewertungseinheit.

   Mit \(A(x)=x\left(\frac U2-x\right)\) und \(A'(x)=\frac U2-2x=0\) folgt \(x=\frac U4\); die andere Seite ist \(\frac U2-\frac U4=\frac U4\): ein Quadrat; \(A''=-2<0\). (2 BE)

Gesamt : 20 Punkte