Divisibilidad: múltiplos y divisores – matemáticas 6º Primaria: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48 (6 · 1, 6 · 2, …, 6 · 8).
   2. Los divisores vienen por parejas: 1 · 36, 2 · 18, 3 · 12, 4 · 9, 6 · 6. Divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
   3. Sí, porque 56 = 7 · 8. Por tanto 56 es múltiplo de 7 y 7 es divisor de 56.
   4. Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Comunes: 1, 2, 3 y 6.

2. Solución del ejercicio 2

   1. 495: suma de cifras 18. Divisible por 3, 5, 9.
   2. 1.260: suma de cifras 9. Divisible por 2, 3, 5, 9, 10.
   3. 2.376: suma de cifras 18. Divisible por 2, 3, 9.
   4. 7.115: suma de cifras 14. Divisible por 5.

3. Solución del ejercicio 3

   1. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 (son 15).
   2. 21 = 3 · 7 compuesto; 29 primo; 39 = 3 · 13 compuesto; 41 primo; 51 = 3 · 17 compuesto.
   3. Porque solo tiene un divisor (él mismo); para ser primo necesita exactamente dos.
   4. El 2. Todo número par mayor que 2 es divisible por 2, así que tiene al menos tres divisores (1, 2 y él mismo).

4. Solución del ejercicio 4

   1. 60 : 2 = 30; 30 : 2 = 15; 15 : 3 = 5; 5 : 5 = 1. Entonces 60 = 2² · 3 · 5.
   2. 90 : 2 = 45; 45 : 3 = 15; 15 : 3 = 5; 5 : 5 = 1. Entonces 90 = 2 · 3² · 5.
   3. 126 : 2 = 63; 63 : 3 = 21; 21 : 3 = 7; 7 : 7 = 1. Entonces 126 = 2 · 3² · 7.
   4. 150 : 2 = 75; 75 : 3 = 25; 25 : 5 = 5; 5 : 5 = 1. Entonces 150 = 2 · 3 · 5².
   5. 252 : 2 = 126; 126 : 2 = 63; 63 : 3 = 21; 21 : 3 = 7; 7 : 7 = 1. Entonces 252 = 2² · 3² · 7.

5. Solución del ejercicio 5

   1. Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24… Múltiplos de 8: 8, 16, 24… El primero común es 24.
   2. 12 = 2² · 3 y 15 = 3 · 5. m.c.m. = 2² · 3 · 5 = 60.
   3. 9 = 3² y 12 = 2² · 3. m.c.m. = 2² · 3² = 36.
   4. 4 = 2², 6 = 2 · 3, 10 = 2 · 5. m.c.m. = 2² · 3 · 5 = 60.
   5. 5 y 7 son primos entre sí: m.c.m. = 5 · 7 = 35.

6. Solución del ejercicio 6

   1. 18 = 2 · 3² y 24 = 2³ · 3. Comunes con menor exponente: 2 · 3 = 6.
   2. 30 = 2 · 3 · 5 y 45 = 3² · 5. Comunes: 3 · 5 = 15.
   3. 28 = 2² · 7 y 42 = 2 · 3 · 7. Comunes: 2 · 7 = 14.
   4. 16 = 2⁴ y 40 = 2³ · 5. Común: 2³ = 8.
   5. 7 y 9 no tienen factores comunes: m.c.d. = 1 (son primos entre sí).

7. Solución del ejercicio 7

   1. El m.c.d., porque se reparte en partes iguales sin que sobre nada.
   2. 48 = 2⁴ · 3 y 72 = 2³ · 3². m.c.d. = 2³ · 3 = 24 bolsas.
   3. Fresa: 48 : 24 = 2. Limón: 72 : 24 = 3. Cada bolsa lleva 2 de fresa y 3 de limón.
   4. 24 · 1,50 = 36 €.

8. Solución del ejercicio 8

   1. El m.c.m. de 12 y 18, porque se buscan múltiplos comunes.
   2. 12 = 2² · 3 y 18 = 2 · 3². m.c.m. = 2² · 3² = 36 minutos. Coinciden a las 8:36.
   3. 8:36, 9:12 y 9:48 (se suman 36 minutos cada vez).
   4. De 8:00 a 12:00 hay 240 minutos; 240 : 36 = 6,67. Hay 6 coincidencias después de las 8:00 y con la de las 8:00 son 7: 8:00, 8:36, 9:12, 9:48, 10:24, 11:00 y 11:36.

9. Solución del ejercicio 9

   1. El lado es el m.c.d.(360, 240). 360 = 2³ · 3² · 5 y 240 = 2⁴ · 3 · 5. m.c.d. = 2³ · 3 · 5 = 120 cm.
   2. 360 : 120 = 3 a lo largo y 240 : 120 = 2 a lo ancho.
   3. 3 · 2 = 6 baldosas.
   4. 360 : 30 = 12 y 240 : 30 = 8; 12 · 8 = 96 baldosas (16 veces más).

10. Solución del ejercicio 10

    1. 60 = 2² · 3 · 5; 75 = 3 · 5²; 90 = 2 · 3² · 5. m.c.m. = 2² · 3² · 5² = 900 segundos.
    2. 900 : 60 = 15 minutos.
    3. 900 : 60 = 15 vueltas; 900 : 75 = 12 vueltas; 900 : 90 = 10 vueltas.
    4. 60 min : 15 min = 4 veces (a los 15, 30, 45 y 60 minutos).

11. Solución del ejercicio 11

    1. 36 = 2² · 3²; 54 = 2 · 3³; 90 = 2 · 3² · 5. m.c.d. = 2 · 3² = 18 cajas.
    2. Naranjas: 36 : 18 = 2. Mandarinas: 54 : 18 = 3. Limones: 90 : 18 = 5.
    3. 2 + 3 + 5 = 10 piezas.
    4. 18 · 6 = 108 €.

12. Solución del ejercicio 12

    1. 3, 4 = 2² y 6 = 2 · 3. m.c.m. = 2² · 3 = 12 días.
    2. 12 = 7 + 5: pasan una semana y 5 días más. Lunes + 5 días = sábado.
    3. 60 : 12 = 5 veces.
    4. Ana y Carlos: m.c.m.(3, 6) = 6 días. Ana y Beatriz: m.c.m.(3, 4) = 12. Beatriz y Carlos: m.c.m.(4, 6) = 12. Coinciden más Ana y Carlos, cada 6 días.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
    2. 4 + x + 5 = 9 + x. Debe ser múltiplo de 9: x = 0 (suma 9) o x = 9 (suma 18). Candidatos: 405 y 495.
    3. Como es menor que 450, el número es 405 (405 = 9 · 45).
    4. 405 : 3 = 135; 135 : 3 = 45; 45 : 3 = 15; 15 : 3 = 5; 5 : 5 = 1. Entonces 405 = 3⁴ · 5.

14. Solución del ejercicio 14

    1. La distancia es m.c.d.(60, 45). 60 = 2² · 3 · 5 y 45 = 3² · 5. m.c.d. = 3 · 5 = 15 m.
    2. 2 · (60 + 45) = 210 m.
    3. 210 : 15 = 14 árboles (en un perímetro cerrado, hay tantos árboles como tramos).
    4. 14 · 18 = 252 €.

15. Solución del ejercicio 15

    1. 120 = 2³ · 3 · 5; 180 = 2² · 3² · 5; 150 = 2 · 3 · 5². m.c.d. = 2 · 3 · 5 = 30 bandejas.
    2. Bocadillos: 120 : 30 = 4. Zumos: 180 : 30 = 6. Fruta: 150 : 30 = 5.
    3. 30 · 6 = 180 niños.
    4. m.c.d.(150, 180, 150) = 30. Siguen siendo 30 bandejas y cada una lleva 150 : 30 = 5 bocadillos.
    5. No. 40 divide a 120 (120 : 40 = 3) pero no a 180 (180 : 40 = 4,5). El número de bandejas debe ser divisor de las tres cantidades, es decir, divisor de 30.

16. Solución del ejercicio 16

    1. 6 = 2 · 3; 8 = 2³; 12 = 2² · 3. m.c.m. = 2³ · 3 = 24 segundos.
    2. 60 : 24 = 2,5. Coinciden a los 24 s y a los 48 s: 2 veces.
    3. 3 600 : 24 = 150 veces.
    4. 9 = 3². m.c.m.(6, 8, 12, 9) = 2³ · 3² = 72 segundos.
    5. 3 600 : 72 = 50 veces. Hay menos porque el intervalo de coincidencia aumenta (de 24 s a 72 s) al exigir que también coincida el cuarto faro.

17. Solución del ejercicio 17

    1. 252 = 2² · 3² · 7 y 180 = 2² · 3² · 5. m.c.d. = 2² · 3² = 36 cm.
    2. 252 : 36 = 7 azulejos por fila y 180 : 36 = 5 por columna.
    3. 7 · 5 = 35 azulejos.
    4. 252 : 12 = 21 y 180 : 12 = 15; 21 · 15 = 315 azulejos.
    5. Porque 252 : 15 = 16,8 no es un número exacto: 15 no es divisor de 252.

18. Solución del ejercicio 18

    1. 60 = 2² · 3 · 5; 90 = 2 · 3² · 5; 150 = 2 · 3 · 5². m.c.d. = 2 · 3 · 5 = 30 litros.
    2. Naranja: 60 : 30 = 2. Manzana: 90 : 30 = 3. Uva: 150 : 30 = 5. En total 10 bidones.
    3. 60 : 15 = 4; 90 : 15 = 6; 150 : 15 = 10. Total 20 bidones.
    4. 10 · 4 = 40 €.
    5. Porque el m.c.d. es el mayor divisor común: con bidones más grandes se necesitan menos recipientes.

19. Solución del ejercicio 19

    1. 3, 4 = 2² y 5 son primos entre sí dos a dos: m.c.m. = 3 · 4 · 5 = 60 días.
    2. Del 1 de marzo, 30 días llegan al 31 de marzo y otros 30 días llegan al 30 de abril. Vuelven a coincidir el 30 de abril.
    3. 300 : 60 = 5 veces.
    4. m.c.m.(3, 5) = 15 días.
    5. Porque 3, 4 y 5 no comparten ningún factor primo; al no haber factores repetidos, el m.c.m. es su producto.

20. Solución del ejercicio 20

    1. 6: 1 + 2 + 3 = 6. 28: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Los dos son perfectos.
    2. Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Suma de los propios: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, distinto de 12.
    3. 15 · b = 60 · 5 = 300; b = 20. Comprobación: m.c.m.(15, 20) = 60 y m.c.d.(15, 20) = 5.
    4. Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; son 9 (impar), porque el 6 se repite en la pareja 6 · 6 y solo se cuenta una vez.