Estos apuntes de divisibilidad de 6º Primaria están pensados para alumnos de 11-12 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Relación de divisibilidad, múltiplos y divisores. Antes de empezar, conviene repasar naturales, fracciones y decimales: comparar y ordenar y potencias, cuadrados y cubos, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de divisibilidad 6º Primaria: lo que vas a aprender
Los múltiplos y los divisores sirven para repartir en partes iguales y para saber cuándo coinciden dos ciclos.
Actividad de introducción: las luces del escenario
En el escenario de las fiestas de un pueblo hay dos luces: la azul parpadea cada 4 segundos y la roja cada 6. Si se encienden a la vez, ¿cuándo volverán a coincidir? Escribe los múltiplos: la azul parpadea en 4, 8, 12, 16… y la roja en 6, 12, 18… ¡Coinciden a los 12 segundos! Ese 12 es el mínimo común múltiplo de 4 y 6. Ahora cambia la pregunta: quieres repartir 12 caramelos y 18 gominolas en bolsas iguales. El mayor número de bolsas es 6, el máximo común divisor. En este capítulo aprenderás a decidir cuándo usar uno y cuándo el otro.
Múltiplos y divisores
Definición: múltiplo y divisor
Un múltiplo se obtiene multiplicando un número por 1, 2, 3… Un divisor divide de forma exacta. Si 12 = 3 × 4, entonces 12 es múltiplo de 3 y 3 es divisor de 12.
Criterios de divisibilidad
Regla: criterios
Por 2: acaba en cifra par. Por 3: la suma de las cifras es múltiplo de 3. Por 5: acaba en 0 o 5. Por 9: la suma de las cifras es múltiplo de 9. Por 10: acaba en 0.
Ejemplo 1
¿Es 2.340 divisible por 2, 3, 5, 9 y 10?
Acaba en 0: divisible por 2, 5 y 10. Suma de cifras: 2 + 3 + 4 + 0 = 9: divisible por 3 y por 9. Es divisible por 2, 3, 5, 9 y 10.
Primos y compuestos
Definición: número primo
Un número es primo si solo tiene dos divisores: 1 y él mismo. El 1 no es primo. Los que tienen más divisores son compuestos.
Método: descomponer en factores primos
- Divide entre el menor primo posible.
- Repite con el cociente.
- Para cuando llegues a 1.
- Escribe el producto de los primos.
Ejemplo 2
Descompón 84 en factores primos.
84 : 2 = 42; 42 : 2 = 21; 21 : 3 = 7; 7 : 7 = 1. Entonces 84 = 2² × 3 × 7.
m.c.m. y m.c.d.
Definición: m.c.m. y m.c.d.
El m.c.m. es el menor múltiplo común (distinto de 0). El m.c.d. es el mayor divisor común.
Regla: con factores primos
Para el m.c.m. se toman todos los primos con el mayor exponente. Para el m.c.d. se toman solo los comunes con el menor exponente.
Ejemplo 3
Calcula el m.c.m. y el m.c.d. de 12 y 18.
12 = 2² × 3 y 18 = 2 × 3². m.c.m. = 2² × 3² = 36. m.c.d. = 2 × 3 = 6.
Ejemplo 4
Quiero repartir 24 galletas y 36 caramelos en bolsas iguales sin que sobre nada. ¿Cuál es el máximo de bolsas?
Es el m.c.d. de 24 y 36 = 12 bolsas.
Ejemplo 5
Dos luces parpadean cada 4 y cada 6 segundos. Si parpadean juntas ahora, ¿cuándo coinciden otra vez?
m.c.m.(4, 6) = 12 segundos.
¡Atención!
El 1 no es primo y el 2 sí lo es. No confundas el m.c.d. (repartir) con el m.c.m. (coincidir).
Más criterios y la criba de Eratóstenes
Regla: otros criterios útiles
Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3 a la vez. Es divisible por 4 si sus dos últimas cifras forman un múltiplo de 4 (por ejemplo, 1 316 porque 16 = 4 · 4). Es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras en posición par y en posición impar es 0 o múltiplo de 11 (por ejemplo, 2 728: 2 + 2 = 4 y 7 + 8 = 15; 15 − 4 = 11).
Ejemplo 6
¿Es 4 860 divisible por 6? ¿Y por 4?
Acaba en 0, es par: divisible por 2. La suma de cifras es 4 + 8 + 6 + 0 = 18, múltiplo de 3: divisible por 3. Como lo es por 2 y por 3, es divisible por 6. Por 4: las dos últimas cifras forman 60 = 4 · 15, así que también es divisible por 4.
Método: la criba de Eratóstenes
- Escribe los números del 2 al 50.
- Rodea el 2 y tacha todos sus múltiplos.
- Rodea el siguiente número sin tachar (el 3) y tacha sus múltiplos.
- Repite con 5 y con 7; los que queden sin tachar son los números primos hasta 50.
La relación entre m.c.m. y m.c.d.
Propiedad: producto de m.c.m. y m.c.d.
Para dos números naturales a y b se cumple siempre: \(\text{m.c.m.}(a,b)\cdot\text{m.c.d.}(a,b)=a\cdot b\). Por ejemplo, con 12 y 18: m.c.m. = 36 y m.c.d. = 6; 36 · 6 = 216 y 12 · 18 = 216. Si el m.c.d. de dos números es 1 se dice que son primos entre sí y su m.c.m. es el producto.
Ejemplo 7
Calcula el m.c.m. de 8 y 12 con la propiedad anterior.
m.c.d.(8, 12) = 4. m.c.m. = (8 · 12) : 4 = 96 : 4 = 24. Se comprueba con los múltiplos: 24 es el primero común de ambos.
Ejemplo 8
Una frutera quiere colocar 40 peras y 56 manzanas en cestas iguales, sin que sobre nada y con el mayor número de cestas. ¿Cuántas cestas son y qué lleva cada una?
Hay que repartir: es el m.c.d. 40 = 2³ · 5 y 56 = 2³ · 7; m.c.d. = 2³ = 8 cestas. Cada cesta lleva 40 : 8 = 5 peras y 56 : 8 = 7 manzanas.
Ejemplo 9
Dos barcos zarpan hoy del mismo puerto; uno vuelve cada 8 días y el otro cada 10. ¿Cuándo volverán a coincidir en puerto?
Es una coincidencia: se usa el m.c.m. 8 = 2³ y 10 = 2 · 5; m.c.m. = 2³ · 5 = 40. Volverán a coincidir dentro de 40 días.
¡Atención! Errores frecuentes
- Pensar que el 1 es primo o que el 2 no lo es.
- Calcular el m.c.m. tomando los factores comunes con menor exponente: eso es el m.c.d.
- Olvidar algún factor no común al calcular el m.c.m.
- Confundir los problemas de reparto (m.c.d.) con los de coincidencia (m.c.m.).
¿Sabías que…?
Eratóstenes de Cirene (siglo III a. C.), bibliotecario de Alejandría, midió el tamaño de la Tierra y además inventó la criba para encontrar números primos. Hoy los números primos muy grandes protegen los pagos por Internet y las claves de los móviles. Los números perfectos 6 y 28 ya fascinaban a los griegos.
El consejo de Otto
Reparto = m.c.d. Coincidencia = m.c.m. Pregúntate qué te piden y elige.
Cómo usar los apuntes de divisibilidad de 6º Primaria
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de divisibilidad: múltiplos y divisores y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de divisibilidad: múltiplos y divisores y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de divisibilidad de 6º Primaria reúnen todo lo necesario para el tema.
En resumen, practicar a menudo funciona mejor que una sesión larga. Por ejemplo, diez minutos al día suelen bastar. Además, los errores son útiles, porque muestran qué repasar. Luego, cuando un método te parezca fácil, prueba un ejercicio más difícil. Así, ganas confianza poco a poco.
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