Potencias, cuadrados y cubos – matemáticas 6º Primaria: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. \(2^4\) = 16 (2 · 2 = 4; 4 · 2 = 8; 8 · 2 = 16).
   2. \(5^3\) = 125 (5 · 5 = 25; 25 · 5 = 125).
   3. \(3^5\) = 243 (3, 9, 27, 81, 243).
   4. \(10^4\) = 10 000.
   5. \(7^2\) = 49.

2. Solución del ejercicio 2

   1. Base 2, exponente 5: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.
   2. Base 3, exponente 4: 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
   3. Base 4, exponente 3: 4 · 4 · 4 = 64.
   4. Base 6, exponente 2: 6 · 6 = 36.
   5. Base 10, exponente 5: 1 seguido de 5 ceros, 100 000.

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(9^2\) = 81; \(11^2\) = 121; \(12^2\) = 144; \(15^2\) = 225.
   2. \(2^3\) = 8; \(3^3\) = 27; \(5^3\) = 125; \(10^3\) = 1 000.
   3. \(8^1\) = 8 (un número elevado a 1 es él mismo); \(1^{100}\) = 1 (el 1 multiplicado por sí mismo siempre da 1).
   4. 64 = 8² y 121 = 11². Los demás no son cuadrados perfectos (7² = 49, 8² = 64; 9² = 81, 10² = 100; 12² = 144).

4. Solución del ejercicio 4

   1. 10³ = 1 000 (1 y tres ceros). 10⁶ = 1 000 000 (1 y seis ceros).
   2. 3 · 10 000 = 30 000.
   3. 45 · 100 = 4 500.
   4. 7 000 000 = 7 · 1 000 000 = \(7\cdot10^6\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. 3 405 tiene 3 millares, 4 centenas, 0 decenas y 5 unidades. Cada orden es una potencia de 10: millar = \(10^3\), centena = \(10^2\). Respuesta: \(3\cdot10^3+4\cdot10^2+5\).
   2. 52 718 = 5 decenas de millar + 2 millares + 7 centenas + 1 decena + 8 unidades. Respuesta: \(5\cdot10^4+2\cdot10^3+7\cdot10^2+1\cdot10+8\).
   3. 20 090: solo hay 2 decenas de millar y 9 decenas; los ceros no se escriben. Respuesta: \(2\cdot10^4+9\cdot10\).
   4. 8 006: 8 millares y 6 unidades. Respuesta: \(8\cdot10^3+6\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. Buscamos el número que multiplicado por sí mismo da 49: 7 · 7 = 49. Respuesta: \(\sqrt{49}=7\).
   2. 9 · 9 = 81. Respuesta: \(\sqrt{81}=9\).
   3. 12 · 12 = 144 (10 · 12 = 120 y 2 · 12 = 24). Respuesta: \(\sqrt{144}=12\).
   4. Acaba en 5, probamos con 15: 15 · 15 = 225. Respuesta: \(\sqrt{225}=15\).
   5. 400 = 4 · 100, y \(\sqrt4=2\), \(\sqrt{100}=10\): 2 · 10 = 20. Comprobamos: 20 · 20 = 400. Respuesta: 20.

7. Solución del ejercicio 7

   1. 4² = 16; 2 · 16 = 32; 3 + 32 = 35.
   2. (3 + 2) = 5; 4² = 16; 5 · 16 = 80.
   3. 3² = 9; 9 · 5 = 45; 50 − 45 = 5.
   4. 2³ = 8; 3² = 9; 8 + 9 = 17.
   5. 5² = 25; 100 : 25 = 4; 4 + 7 = 11.

8. Solución del ejercicio 8

   1. El área de un cuadrado es lado al cuadrado: 12² = 12 · 12 = 144. Respuesta: 144 m².
   2. 30² = 30 · 30 = 900. Respuesta: 900 cm².
   3. 15² = 15 · 15 = 225. Respuesta: 225 m².
   4. Ahora conocemos el área y buscamos el lado: es la raíz cuadrada de 169. Como 13 · 13 = 169, respuesta: el lado mide 13 cm.

9. Solución del ejercicio 9

   1. 4³ = 4 · 4 · 4 = 64 cm³.
   2. 10³ = 1 000 cm³ = 1 litro.
   3. 5³ = 125 dm³ = 125 litros.
   4. 6³ = 6 · 6 · 6 = 216, así que la arista mide 6 cm.

10. Solución del ejercicio 10

    1. 8 filas de 8 casillas: 8 · 8 = \(8^2\) = 64. Respuesta: 64 casillas.
    2. 10 · 10 = \(10^2\) = 100. Respuesta: 100 casillas.
    3. Cinco tableros de 64: 5 · 64 = 320. Respuesta: 320 casillas.
    4. Cada dado tiene 6 resultados y se combinan los tres: 6 · 6 · 6 = \(6^3\) = 36 · 6 = 216. Respuesta: 216 resultados.

11. Solución del ejercicio 11

    1. 2⁴ = 16 capas.
    2. 2¹⁰ = 1 024 capas.
    3. 1 024 · 0,1 = 102,4 mm = 10,24 cm.
    4. 2⁹ = 512 (no llega) y 2¹⁰ = 1 024 (sí supera 1 000): hacen falta 10 dobleces.

12. Solución del ejercicio 12

    1. 3² = 9 personas.
    2. 3⁴ = 81 personas.
    3. 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121 personas.
    4. 3⁴ = 81 y 3⁵ = 243. Se supera 200 en el paso 5.

13. Solución del ejercicio 13

    1. 7² = 49 baldosas.
    2. 49 · 3 = 147 €.
    3. 8² = 64 baldosas; 64 · 3 = 192 €.
    4. 64 − 49 = 15 baldosas más; 192 − 147 = 45 € más (15 · 3 = 45).

14. Solución del ejercicio 14

    1. 3 · 3 = 9 cubitos por capa y 3 capas: 9 · 3 = 27 = 3³. Respuesta: 27 cubitos.
    2. 4³ = 16 · 4 = 64 y 5³ = 25 · 5 = 125. Respuesta: 64 y 125 cubitos.
    3. Restamos: 64 − 27 = 37. Respuesta: 37 cubitos más.
    4. Caben 10 cubitos a lo largo, 10 a lo ancho y 10 a lo alto: 10³ = 1 000. Respuesta: 1 000 cubitos (1 dm³ = 1 litro).

15. Solución del ejercicio 15

    1. 20² = 400 cm².
    2. 6 · 400 = 2 400 cm².
    3. 20³ = 8 000 cm³ = 8 litros.
    4. 2 400 : 1 000 = 2,4; 2,4 · 0,50 = 1,20 €.
    5. Arista 40: volumen 40³ = 64 000 cm³, que es 64 000 : 8 000 = 8 veces más. Cartón: 6 · 40² = 9 600 cm², que es 9 600 : 2 400 = 4 veces más. El volumen se multiplica por 2³ = 8 y el área por 2² = 4.

16. Solución del ejercicio 16

    1. 18² = 324 butacas.
    2. 12² = 144 butacas.
    3. 324 + 2 · 144 + 20 = 324 + 288 + 20 = 632 butacas.
    4. 632 · 12 = 7 584 €.
    5. 632 : 4 · 3 = 474 entradas; 474 · 12 = 5 688 €.

17. Solución del ejercicio 17

    1. 3 · 4² = 3 · 16 = 48 lápices.
    2. 2³ = 8 gomas.
    3. 48 · 0,25 = 12 €.
    4. 8 · 0,50 = 4 €.
    5. 12 + 4 = 16 €. Con la expresión: 3 · 16 · 0,25 + 8 · 0,50 = 12 + 4 = 16 €.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(\sqrt{625}\) = 25, porque 25² = 625. El lado mide 25 m.
    2. Perímetro: 4 · 25 = 100 m. Coste: 100 · 12 = 1 200 €.
    3. \(\sqrt{400}\) = 20, porque 20² = 400. El lado mide 20 m.
    4. Perímetro: 4 · 20 = 80 m. Coste: 80 · 12 = 960 €.
    5. 1 200 − 960 = 240 €.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(48\cdot10^6\) y \(8\cdot10^9\).
    2. 8 000 000 000 : 48 000 000 = 166,67: unas 167 veces mayor.
    3. 384 000 : 300 000 = 1,28 segundos.
    4. \(3\cdot10^5\).
    5. Porque son más cortas, se leen mejor y evitan equivocarse al escribir muchos ceros.

20. Solución del ejercicio 20

    1. 8² = 64 cuadrados.
    2. 7² = 49 cuadrados.
    3. 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1² = 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 204 cuadrados.
    4. 3⁴ = 81 y 4³ = 64: es mayor 3⁴.
    5. Las últimas cifras se repiten cada 4 potencias (7, 9, 3, 1). 100 = 4 · 25, así que 7¹⁰⁰ acaba como 7⁴: en 1.