Crecimiento y tasas de variación – matemáticas 4º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(f(1)=2\), \(f(3)=12\): \(TVA=10\) y \(TVM=5\). La TVM es la TVA dividida entre la longitud del intervalo, 2.
   2. \(f(-2)=2\), \(f(1)=2\): \(TVA=0\) y \(TVM=0\); la función vuelve al mismo valor. La longitud del intervalo es 3.

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por \(f(1)=2\) y \(f(3)=12\) y 1 punto por las tasas 10 y 5. En b) 1 punto por \(f(-2)=f(1)=2\) y 1 punto por interpretar que una tasa media nula no significa que la función sea constante: baja hasta \(x=-\dfrac{1}{2}\) y luego sube.

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. Primer año: \(TVA=+40\), \(TVR=\dfrac{40}{250}=16\ \%\). Segundo año: \(TVA=-29\), \(TVR=\dfrac{-29}{290}=-10\ \%\). Cada TVR se calcula sobre la cantidad del año anterior.
   2. \(\dfrac{261-250}{250}=\dfrac{11}{250}=4{,}4\ \%\). Coincide con \(1{,}16\cdot0{,}9=1{,}044\). La TVR total se calcula sobre la cantidad inicial.

   Criterios de corrección: en a) medio punto por cada tasa: +40 socios y 16 % el primer año, \(-29\) socios y \(-10\ \%\) el segundo. En b) 1 punto por la tasa total del 4,4 % y 1 punto por comprobarla con el producto de factores \(1{,}16\cdot0{,}90=1{,}044\).

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. \(50\cdot1{,}2\cdot0{,}9=54\) €. Multiplicamos por los dos factores de variación.
   2. \(1{,}2\cdot0{,}9=1{,}08\): \(+8\ \%\). Restamos 1 al factor total.

   Criterios de corrección: en a) 0,75 puntos por el precio tras la subida, 60 €, y 0,75 por el precio final de 54 €. En b) 1,5 puntos por el factor total 1,08 y su lectura como subida del 8 %; responder +10 % sumando porcentajes no puntúa.

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. \(P\cdot0{,}8=64\), \(P=80\) €. Dividimos entre el factor de la rebaja, 0,8.
   2. \(\dfrac{80-64}{64}=0{,}25\): subida del \(25\ \%\). La subida se calcula sobre el precio rebajado.

   Criterios de corrección: en a) 1,5 puntos por dividir 64 entre 0,8 y obtener 80 €. En b) 1,5 puntos por calcular la subida sobre los 64 € rebajados: 16 € de 64 € son el 25 %. Responder 20 % no puntúa, porque el porcentaje se aplica sobre otra cantidad.

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. 2019-2020: \(TVA=4000\), \(TVR=5\ \%\). 2020-2021: \(TVA=4200\), \(TVR=\dfrac{4200}{84000}=5\ \%\).
   2. La \(TVR\) es constante: crecimiento exponencial con factor \(1{,}05\). \(P(n)=80\,000\cdot1{,}05^{n}\).
   3. 2024 (\(n=5\)): \(80\,000\cdot1{,}05^{5}\approx102\,102\) habitantes.
   4. \(TVM=\dfrac{8200}{2}=4100\) habitantes por año de media.

   Criterios de corrección: las tasas valen 2 puntos, el modelo exponencial 2 puntos, la predicción de 2024 1 punto y la TVM 1 punto. Comprobación del modelo: \(80\,000\cdot1{,}05^2=88\,200\). La TVM de 4 100 habitantes al año está entre los aumentos de 4 000 y 4 200, como debe ser.

Total : 20 puntos