Semejanza, Pitágoras y modelos geométricos – matemáticas 4º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(x=\dfrac{6\cdot15}{9}=10\). Multiplicamos en cruz. Comprobación: \(\dfrac{6}{10}=\dfrac{9}{15}\).
   2. \(k=\dfrac{30}{18}=\dfrac{5}{3}\); el lado mide \(5\cdot\dfrac{5}{3}=\dfrac{25}{3}\approx8{,}33\) cm. La razón de los perímetros es la razón de semejanza.
   3. \(k^2=\dfrac{25}{9}\approx2{,}78\). Las áreas están en razón \(k^2\).

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por \(x=10\). En b) 0,75 puntos por la razón \(\dfrac{5}{3}\), obtenida de los perímetros, y 0,75 por el lado \(\dfrac{25}{3}\) cm. En c) 1,5 puntos por elevar la razón al cuadrado; dar \(\dfrac{5}{3}\) como razón de áreas no puntúa.

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \(\sqrt{64+36}=10\) m. El cable es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 8 m y 6 m. Respuesta: 10 m.
   2. \(h=\sqrt{169-36}=\sqrt{133}\approx11{,}53\) m. Ahora conocemos la hipotenusa, 13 m, y un cateto, 6 m; despejamos el otro restando cuadrados.

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por reconocer el triángulo rectángulo formado por el poste, el suelo y el cable, y 1 punto por el resultado de 10 m, que corresponde a la terna 6, 8, 10. En b) 1 punto por plantear \(13^2-6^2\) y 1 punto por la altura de unos 11,53 m.

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. \(4\cdot150=600\) cm \(=6\) m y \(3\cdot150=450\) cm \(=4{,}5\) m. Multiplicamos cada medida por 150 y pasamos a metros.
   2. \(6\cdot4{,}5=27\) m\(^2\) (razón de áreas \(150^2=22\,500\): \(12\cdot22\,500=270\,000\) cm\(^2=27\) m\(^2\)).

   Criterios de corrección: en a) 0,75 puntos por cada dimensión real, 6 m y 4,5 m. En b) 1,5 puntos por el área de 27 m\(^2\), aceptando los dos métodos: multiplicar las medidas reales o multiplicar los 12 cm\(^2\) del plano por \(150^2\).

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. \(h^2=mn\): \(36=3n\), \(n=12\). Aplicamos el teorema de la altura: \(h^2=m\cdot n\).
   2. Hipotenusa \(3+12=15\). Cateto: \(b^2=3\cdot15=45\), \(b=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\approx6{,}71\). Aplicamos el teorema del cateto con la proyección de 3.

   Criterios de corrección: en a) 1,5 puntos por despejar \(n=12\) del teorema de la altura. En b) 0,5 puntos por la hipotenusa 15 y 1 punto por el cateto \(3\sqrt5\). Comprobación con Pitágoras: el otro cateto mide \(\sqrt{12\cdot15}=\sqrt{180}\) y \(45+180=225=15^2\).

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. Los rayos del sol son paralelos: alumna y campanario forman con sus sombras triángulos rectángulos con el mismo ángulo en el suelo.
   2. \(\dfrac{h}{30}=\dfrac{1{,}60}{2}\), \(h=24\) m.
   3. \(\dfrac{24}{100}=0{,}24\) m \(=24\) cm.
   4. Lado de la maqueta \(\dfrac{600}{100}=6\) cm; área \(36\) cm\(^2\). El área real es \(36\) m\(^2\) y la razón es \(\dfrac{360\,000}{36}=10\,000=100^2\).

   Criterios de corrección: la justificación vale 1 punto, la altura 2 puntos, la maqueta 1 punto y la planta 2 puntos.

Total : 20 puntos