Semejanza, Pitágoras y modelos geométricos – matemáticas 4º ESO: ejercicios para descargar en PDF

Tres rectas paralelas cortan a dos rectas secantes que se cruzan en \(O\). Aplica el teorema de Tales (los segmentos correspondientes son proporcionales) para hallar \(x\).

1. \(\dfrac{4}{6}=\dfrac{x}{9}\)
2. \(\dfrac{5}{x}=\dfrac{10}{14}\)
3. \(\dfrac{x}{x+4}=\dfrac{3}{5}\)
4. \(\dfrac{2{,}4}{3{,}6}=\dfrac{x}{15}\)

Un triángulo tiene lados \(3\), \(4\) y \(5\) cm. Otro triángulo semejante tiene su lado menor igual a \(9\) cm.

1. Calcula la razón de semejanza \(k\).
2. Calcula los otros dos lados del segundo triángulo.
3. Calcula los perímetros y compara su razón con \(k\).
4. Calcula las áreas y compara su razón con \(k^2\).

Un mapa de carreteras de Navarra está a escala \(1:50\,000\).

1. Dos pueblos están a \(3{,}2\) cm en el mapa. ¿A qué distancia real están?
2. Una ruta real de \(12\) km, ¿cuántos centímetros mide en el mapa?
3. Un lago ocupa \(20\) cm\(^2\) en el mapa. ¿Cuántos km\(^2\) ocupa en la realidad?
4. ¿Qué escala tendría un mapa en el que \(12\) km reales midieran \(6\) cm?

Dos cuerpos semejantes tienen razón de semejanza \(k=3\) (el segundo es el mayor).

1. Si el perímetro de una cara del primero es \(12\) cm, ¿cuánto mide el del segundo?
2. Si el área de una cara del primero es \(10\) cm\(^2\), ¿cuánto mide el del segundo?
3. Si el volumen del primero es \(4\) cm\(^3\), ¿cuánto mide el del segundo?
4. Si el volumen del segundo es \(27\) veces el del primero, ¿cuál es la razón de semejanza?

Calcula el lado que falta en cada triángulo rectángulo (\(a\) y \(b\) son los catetos y \(c\) la hipotenusa).

1. \(a=6\) y \(b=8\). Calcula \(c\).
2. \(c=13\) y \(a=5\). Calcula \(b\).
3. \(a=7\) y \(c=25\). Calcula \(b\).
4. Calcula la diagonal de un cuadrado de lado \(5\) cm (exacta y aproximada).

En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa la divide en dos segmentos de \(4\) cm y \(9\) cm.

1. Calcula la hipotenusa.
2. Calcula la altura con el teorema de la altura \(h^2=m\cdot n\).
3. Calcula los catetos con el teorema del cateto \(b^2=m\cdot c\).
4. Comprueba que los catetos cumplen Pitágoras y calcula el área.

Un excursionista de \(1{,}80\) m de altura proyecta una sombra de \(2{,}40\) m en un parque de Soria. En ese mismo instante, un árbol proyecta una sombra de \(12\) m.

1. Explica por qué los triángulos formados son semejantes.
2. Plantea la proporción y calcula la altura del árbol.
3. Calcula la razón de semejanza.
4. A otra hora, la sombra del árbol mide \(18\) m. ¿Cuánto mide entonces la sombra del excursionista?

Un bombero de Bilbao apoya una escalera de \(6\) m contra una fachada vertical.

1. Si el pie está a \(1{,}5\) m de la pared, ¿a qué altura llega? (exacta y aproximada)
2. Para llegar a una ventana situada a \(5\) m de altura, ¿a qué distancia de la pared debe colocar el pie?
3. ¿Qué distancia máxima al pie de la pared permite alcanzar al menos \(4\) m de altura?
4. Si se aleja el pie hasta \(3\) m, ¿cuánto baja la parte alta respecto del caso a)?

Una arquitecta de Málaga construye una maqueta a escala \(1:200\) de un edificio de \(60\) m de altura, \(45\) m de ancho y \(40\) m de fondo.

1. Calcula las dimensiones de la maqueta en centímetros.
2. La fachada de la maqueta tiene una superficie de \(300\) cm\(^2\). ¿Cuántos m\(^2\) tiene la fachada real?
3. El volumen interior de la maqueta es de \(5\) L. ¿Cuántos m\(^3\) tiene el real?
4. Razona por qué la razón de áreas no es \(200\).

Un mapa topográfico de la Sierra de Gredos tiene escala \(1:25\,000\).

1. Una ruta mide \(4{,}5\) cm en el mapa. ¿Cuántos kilómetros mide en la realidad?
2. Una ruta real de \(6\) km, ¿cuántos centímetros ocupa en el mapa?
3. Una laguna ocupa un rectángulo de \(2\) cm por \(3\) cm en el mapa. Calcula su superficie real en m\(^2\) y km\(^2\).
4. Un desnivel real de \(450\) m, ¿cuántos mm mide a escala?

Una pantalla de televisor de una tienda de Valencia tiene proporción \(16:9\) y una diagonal de \(55\) pulgadas (\(1\) pulgada \(=2{,}54\) cm).

1. Calcula la diagonal en centímetros.
2. Si el ancho es \(16k\) y el alto \(9k\), calcula \(k\) con Pitágoras: \((16k)^2+(9k)^2=d^2\).
3. Calcula el ancho y el alto en centímetros.
4. Una segunda pantalla de \(32\) pulgadas tiene la misma proporción. ¿Cuál es la razón entre las áreas de las dos pantallas?

Una pizzería de Zaragoza vende una pizza de \(20\) cm de diámetro por \(8\) € y otra de \(30\) cm de diámetro por \(15\) €. Ambas tienen el mismo grosor.

1. Calcula el área de cada pizza.
2. Calcula la razón de semejanza y la razón de áreas.
3. Calcula el precio por centímetro cuadrado de cada una.
4. ¿Cuál conviene más? ¿Cuánto debería costar la grande para tener el mismo precio por cm\(^2\)?

Un campo de fútbol de Vigo mide \(105\) m de largo y \(68\) m de ancho.

1. Calcula la longitud de la diagonal.
2. Un jugador va de una esquina a la opuesta por la diagonal; otro lo hace bordeando el campo. ¿Cuánto más recorre el segundo?
3. ¿Cuánto tarda cada uno a \(6\) m/s?
4. Un campo de entrenamiento semejante tiene la mitad de largo. ¿Cuál es su área y qué fracción del área del campo grande?

Una fotografía de \(15\) cm por \(10\) cm se amplía para un cartel de forma que el lado mayor mida \(45\) cm.

1. Calcula la razón de semejanza.
2. Calcula el otro lado del cartel.
3. Calcula la razón de áreas y el área de la foto y del cartel.
4. Si el cartel debe tener \(24\) cm de lado menor, ¿cuánto mide el lado mayor?

Un topógrafo quiere medir la anchura \(x\) de un río sin cruzarlo. En la orilla opuesta hay un árbol \(T\). En su orilla clava dos estacas y traza dos rectas desde el árbol: sobre la orilla de la que mide, las dos rectas determinan un segmento de \(4\) m; sobre una segunda línea de estacas, paralela a la orilla y situada a \(12\) m de ella, determinan un segmento de \(10\) m.

1. Dibuja un esquema y explica dónde aparecen triángulos semejantes.
2. Plantea la proporción \(\dfrac{x}{x+12}=\dfrac{4}{10}\).
3. Resuelve la ecuación y da la anchura del río.
4. Comprueba el resultado y calcula la razón de semejanza de los dos triángulos.

Una pista de esquí de Sierra Nevada salva un desnivel vertical de \(120\) m con una distancia horizontal de \(500\) m.

1. Calcula la longitud de la pista.
2. Calcula la pendiente en % (desnivel entre distancia horizontal).
3. Un esquiador baja a \(54\) km/h. ¿Cuánto tarda?
4. Otro tramo semejante a este tiene un desnivel de \(60\) m. ¿Cuál es su longitud y distancia horizontal?

Se diseña un depósito de agua para un pueblo de Lleida con una capacidad de \(2\,000\) L. Se construye primero un prototipo semejante a escala \(1:5\) para hacer pruebas.

1. Calcula la capacidad del prototipo.
2. La superficie interior del depósito real es de \(24\) m\(^2\). ¿Cuál es la del prototipo?
3. Si el depósito real tiene una altura de \(1{,}5\) m, ¿cuánto mide el prototipo?
4. Con un grifo de \(0{,}5\) L/s, ¿cuánto tarda en llenarse el prototipo?

El tejado de una nave de una granja en Lugo tiene forma de triángulo isósceles en su sección: la base mide \(10\) m y la altura \(3\) m. La nave tiene \(12\) m de largo.

1. Calcula la longitud de cada faldón inclinado (lado del triángulo).
2. Calcula la superficie total de tejado (dos faldones rectangulares).
3. Si las tejas cuestan \(18\) €/m\(^2\) colocadas, calcula el coste.
4. Una nave semejante con razón \(k=1{,}5\), ¿cuánto medirá su tejado en superficie?

En un teatro de títeres escolar de un colegio de Cádiz, una linterna ilumina un muñeco de \(10\) cm de altura situado a \(2\) m de la linterna. La pared de proyección está a \(5\) m de la linterna.

1. Dibuja el esquema con los triángulos semejantes.
2. Calcula la altura de la sombra en la pared.
3. ¿A qué distancia de la linterna hay que colocar el muñeco para que la sombra mida \(40\) cm?
4. Calcula la razón de áreas entre la sombra y el muñeco.

Resuelve estos retos.

1. Calcula la diagonal de un cubo de arista \(4\) cm: primero la diagonal de la base y luego la del cubo.
2. La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide \(12\) y la hipotenusa mide \(25\). Calcula los dos segmentos en que divide a la hipotenusa.
3. Dos figuras semejantes tienen áreas \(49\) cm\(^2\) y \(25\) cm\(^2\). Calcula la razón de semejanza y la razón de volúmenes de sólidos semejantes con esa razón.
4. Demuestra que si los lados de un triángulo son proporcionales a \(5,12,13\) el triángulo es rectángulo.