Crecimiento y tasas de variación – matemáticas 4º ESO: ejercicios para descargar en PDF

Sea \(f(x)=x^2-2x\). Recuerda que \(TVA[a,b]=f(b)-f(a)\) y \(TVM[a,b]=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\).

1. Calcula \(TVA\) y \(TVM\) en \([1,4]\).
2. Calcula \(TVA\) y \(TVM\) en \([0,2]\) e interpreta el resultado.
3. Calcula \(TVA\) y \(TVM\) en \([2,5]\).
4. Calcula \(TVR[2,5]\) y explica por qué no existe.

Las ventas anuales, en miles de euros, de un pequeño comercio durante cinco años consecutivos han sido: \(100,\ 120,\ 150,\ 150,\ 180\).

1. Calcula la \(TVA\) de cada año respecto al anterior.
2. Calcula la \(TVR\) de cada año (en %).
3. Calcula \(TVA\) y \(TVM\) en todo el periodo (de la primera a la última medida).
4. ¿En qué año el crecimiento fue mayor en términos absolutos y en cuál en términos relativos?

Calcula la variación porcentual total en cada caso.

1. Subida del \(20\ \%\) y después bajada del \(20\ \%\).
2. Dos subidas seguidas del \(10\ \%\).
3. Dos bajadas seguidas del \(10\ \%\).
4. Subida del \(50\ \%\) y después bajada del \(50\ \%\).

Resuelve con el factor de variación \(1+TVR\).

1. Un abrigo pasa de \(40\) € a \(46\) €. ¿Cuál es la variación porcentual?
2. Un videojuego pasa de \(80\) € a \(68\) €. ¿Y aquí?
3. Tras una subida del \(5\ \%\) un producto cuesta \(63\) €. ¿Cuánto costaba antes?
4. Tras una bajada del \(25\ \%\) un producto cuesta \(45\) €. ¿Cuánto costaba antes?

Sea \(f(x)=3x+2\).

1. Calcula la \(TVM\) en \([0,5]\) y en \([2,10]\).
2. ¿Qué relación tiene la \(TVM\) con la pendiente de la recta?
3. Calcula \(TVA[1,2]\) y \(TVA[7,8]\).
4. ¿Es constante la \(TVR\)? Calcula \(TVR[0,1]\) y \(TVR[4,5]\).

Estudia \(g(x)=x^2\) en intervalos consecutivos de longitud \(1\).

1. Calcula \(TVM[0,1]\), \(TVM[1,2]\), \(TVM[2,3]\) y \(TVM[3,4]\).
2. ¿Qué observas? ¿Crece cada vez más deprisa?
3. Calcula \(TVM[-2,0]\) y \(TVM[-2,2]\) e interpreta el segundo valor.
4. Relaciona el resultado con la forma de la parábola.

La población de una localidad de la Rioja Baja ha evolucionado así: 2018, \(52\,000\) habitantes; 2019, \(53\,560\); 2020, \(53\,000\); 2021, \(54\,060\); 2022, \(56\,223\).

1. Calcula la \(TVA\) de cada año y di en cuáles hubo pérdida de población.
2. Calcula la \(TVR\) de cada año en % (con un decimal).
3. Calcula la \(TVM\) del periodo 2018-2022 e interprétala.
4. Si la población creciera un \(3\ \%\) cada año desde 2022, ¿cuántos habitantes tendría en 2024?

Una tienda de deportes de Alicante vende \(3\,200\) € en enero. En febrero las ventas suben un \(10\ \%\), en marzo bajan un \(5\ \%\) y en abril suben un \(10\ \%\).

1. Calcula las ventas de febrero, marzo y abril.
2. Calcula la variación porcentual acumulada de enero a abril.
3. Calcula la \(TVA\) y la \(TVM\) de enero a abril.
4. ¿Cuál sería la subida mensual constante que da el mismo resultado en tres meses? (usa que \(1{,}1495^{1/3}\approx1{,}0475\))

El litro de gasolina cuesta \(1{,}60\) € en una gasolinera de Zaragoza. Sube un \(8\ \%\) en un mes y luego baja un \(5\ \%\) el mes siguiente.

1. Calcula el precio tras la subida y tras la bajada.
2. Calcula la variación porcentual acumulada.
3. Una familia gasta \(60\) L al mes. ¿Cuánto paga antes y después de los dos cambios?
4. ¿Qué bajada habría que aplicar al precio subido para volver al precio inicial?

Un termómetro de Burgos marca estas temperaturas: a las \(6\) h, \(8\) °C; a las \(12\) h, \(19\) °C; a las \(15\) h, \(22\) °C; a las \(18\) h, \(16\) °C; a las \(24\) h, \(9\) °C.

1. Calcula la \(TVA\) de cada intervalo entre medidas consecutivas.
2. Calcula la \(TVM\) de cada intervalo (en °C por hora, con dos decimales).
3. ¿En qué intervalo se calienta más deprisa y en cuál se enfría más deprisa?
4. Calcula la \(TVM\) de las \(6\) h a las \(24\) h e interpreta su signo.

Una familia de León ingresa \(2\,000\) € en una cuenta que paga el \(3\ \%\) anual de interés compuesto.

1. Calcula el saldo al final de cada uno de los tres primeros años.
2. Calcula la \(TVA\) de cada año y comprueba que aumenta.
3. Calcula la \(TVR\) de cada año.
4. Compara con una cuenta que paga siempre \(60\) € de interés fijo al año (interés simple). ¿Cuál tiene más saldo a los \(3\) años?

En unas rebajas de enero, unos zapatos de \(80\) € se rebajan un \(30\ \%\) y después, en un segundo cartel, se aplica una rebaja adicional del \(15\ \%\) sobre el precio ya rebajado.

1. Calcula el precio después de cada rebaja.
2. Calcula el descuento total en %.
3. ¿Es lo mismo aplicar primero el \(15\ \%\) y después el \(30\ \%\)?
4. ¿Equivale a una rebaja única del \(45\ \%\)? Compara los precios.

La altura de una planta de un vivero de Cádiz, en cm, medida cada semana, es: \(10,\ 13,\ 17,\ 22,\ 28\).

1. Calcula la \(TVA\) semanal.
2. Calcula la \(TVR\) semanal (en %, con un decimal).
3. Calcula la \(TVM\) en las cuatro semanas.
4. ¿Se puede decir que crece a ritmo relativo casi constante? Explica y predice la altura de la semana \(5\) si la \(TVR\) se mantiene en el \(27\ \%\).

Un ciclista de Mallorca registra su distancia recorrida desde la salida: a los \(0{,}5\) h, \(40\) km; a \(1\) h, \(90\) km; a \(2\) h, \(190\) km. En el inicio (\(t=0\)) la distancia es cero.

1. Calcula la \(TVM\) de la distancia en \([0;0{,}5]\), \([0{,}5;1]\) y \([1,2]\).
2. Interpreta la \(TVM\) como velocidad media.
3. Calcula la velocidad media de toda la salida.
4. ¿En qué tramo fue más rápido? Si mantiene la velocidad del último tramo, ¿qué distancia recorrerá en \(3\) h en total?

Un cultivo de bacterias de una universidad de Granada empieza con \(100\) individuos y crece un \(50\ \%\) cada hora.

1. Completa la tabla de las seis primeras horas.
2. Calcula la \(TVA\) de cada hora y comprueba que no es constante.
3. Escribe la fórmula \(N(t)=100\cdot1{,}5^{t}\) y calcula \(N(6)\).
4. ¿Cuánto tarda en duplicarse? (prueba con \(t=1\), \(2\) y usa \(1{,}5^{1{,}7}\approx2\))
5. Calcula la \(TVM\) en \([0,6]\) y compárala con la \(TVM\) en \([0,3]\). ¿Qué indica?

La inflación anual en un país fue del \(2{,}5\ \%\) el primer año, del \(3{,}1\ \%\) el segundo y del \(1{,}8\ \%\) el tercero. Una cesta de la compra costaba \(100\) € al comenzar.

1. Calcula el precio de la cesta al final de cada año.
2. Calcula la inflación acumulada de los tres años.
3. ¿Es igual a la suma \(2{,}5+3{,}1+1{,}8\)? ¿Por qué?
4. Calcula la inflación media anual (tasa constante equivalente) con \(1{,}0758^{1/3}\approx1{,}0247\).

Una página web de una asociación vecinal de Valencia tuvo estas visitas mensuales: \(12\,000\), \(13\,200\), \(14\,520\) y \(15\,972\).

1. Calcula la \(TVA\) de cada mes.
2. Calcula la \(TVR\) de cada mes y di qué tipo de crecimiento es.
3. Predice las visitas del quinto y del sexto mes.
4. ¿En qué mes se superarán por primera vez las \(25\,000\) visitas si el ritmo continúa?

Un instituto de un pueblo de Asturias tenía \(800\) alumnos en 2020, \(760\) en 2021, \(722\) en 2022 y \(686\) en 2023 (se redondean al entero más próximo).

1. Calcula la \(TVA\) y la \(TVR\) de cada curso.
2. ¿Qué tipo de evolución es? Escribe \(A(n)=800\cdot0{,}95^{n}\).
3. Predice la matrícula de 2025 y de 2027.
4. ¿En qué año la matrícula bajará de \(600\) alumnos?

En una tienda de Murcia una chaqueta cuesta \(84\) € después de aplicarle un descuento del \(30\ \%\). Una cazadora cuesta \(121\) € con un IVA del \(21\ \%\) incluido.

1. Calcula el precio de la chaqueta antes del descuento.
2. Calcula el precio sin IVA de la cazadora.
3. ¿Cuánto representa el IVA en euros?
4. Si a la cazadora se le aplicara el \(30\ \%\) de descuento, ¿cuál sería el precio final con IVA? ¿Y sin IVA?

Resuelve estos retos sobre variaciones porcentuales.

1. Una acción baja un \(50\ \%\). ¿Qué porcentaje debe subir después para recuperar su valor?
2. Si baja un \(20\ \%\), ¿qué subida la recupera?
3. Un precio sube un \(x\ \%\) y luego baja un \(x\ \%\) y el resultado es el \(96\ \%\) del inicial. Halla \(x\).
4. Un valor aumenta un \(10\ \%\) tres años seguidos. ¿Cuál es el aumento total y cuál sería con un aumento simple de \(10\ \%\) al año?