Semejanza, Pitágoras y modelos geométricos – matemáticas 4º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF

Propiedad: razón de áreas y de volúmenes

Si la razón de semejanza de las longitudes es \(k\):

• la razón entre las áreas es \(k^2\);
• la razón entre los volúmenes es \(k^3\).

Propiedad

La escala \(1:E\) de un plano o mapa indica que 1 cm del dibujo representa \(E\) cm de la realidad. Es una semejanza de razón \(\frac{1}{E}\). En un mapa a escala \(1:50\,000\), \(4{,}2\) cm equivalen a \(4{,}2\cdot50\,000=210\,000\) cm \(=2{,}1\) km. Para las áreas se multiplica por \(E^2\) y para los volúmenes por \(E^3\).

Propiedad

Aplicación: sombras. A la misma hora, los rayos del Sol son paralelos y los triángulos formados por un objeto y su sombra son semejantes: un poste de 2 m con sombra de 3 m y un edificio con sombra de 36 m cumplen \(\frac{2}{3}=\frac{h}{36}\), así que \(h=24\) m.

Propiedad: teorema de Pitágoras

• Diagonal de un rectángulo de lados \(a\) y \(b\): \(d=\sqrt{a^2+b^2}\); de un cuadrado de lado \(l\): \(l\sqrt{2}\).
• Altura de un triángulo equilátero de lado \(l\): \(h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}l\).
• Diagonal de un cubo de arista \(a\): \(a\sqrt{3}\).

Propiedad: teoremas del cateto y de la altura

Si en un triángulo rectángulo se traza la altura \(h\) sobre la hipotenusa, esta queda dividida en dos segmentos \(m\) y \(n\) (las proyecciones de los catetos) y aparecen triángulos semejantes. De ahí:

• Teorema de la altura: \(h^2=m\cdot n\).
• Teorema del cateto: cada cateto al cuadrado es igual a la hipotenusa por su proyección: \(b^2=c\cdot m\) y \(a^2=c\cdot n\), con \(c=m+n\).

Propiedad: razones de semejanza

Si dos figuras son semejantes con razón de semejanza \(k\), entonces: las longitudes (lados, perímetros, alturas) están en razón \(k\); las áreas están en razón \(k^2\); y los volúmenes están en razón \(k^3\). Por eso, una maqueta a escala \(1:100\) tiene áreas \(10\,000\) veces menores y volúmenes un millón de veces menores que el edificio real.