Operaciones con números reales y precisión – matemáticas 4º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Numerador: \(2^{5-3}=2^2\). Cociente: \(2^{2-4}=2^{-2}=\dfrac{1}{4}\). Al multiplicar potencias de la misma base sumamos los exponentes y al dividir los restamos; el exponente negativo indica el inverso.
   2. \((3^2)^3=3^6\); numerador \(3^{6-4}=3^2\); cociente \(3^{2-5}=3^{-3}=\dfrac{1}{27}\). La potencia de una potencia se calcula multiplicando los exponentes: \(2\cdot3=6\). Respuesta: \(\dfrac{1}{27}\).
   3. Se suman exponentes: \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-3+2}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-1}=\dfrac{5}{2}\). Elevar a \(-1\) es lo mismo que invertir la fracción. Respuesta: \(\dfrac{5}{2}\).
   4. \(6^4=2^4\cdot3^4\), luego el cociente es \(\dfrac{2^4\cdot3^4}{2^4\cdot3^2}=3^2=9\). Descomponemos 6 en factores primos para poder simplificar con el denominador. Respuesta: 9.

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(2^{-4}=\dfrac{1}{16}\) y \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}=3^2=9\). Un exponente negativo indica el inverso de la potencia: \(2^{-4}=\dfrac{1}{2^4}\), y al invertir \(\dfrac{1}{3}\) obtenemos 3.
   2. \(25^{1/2}=\sqrt{25}=5\). \(27^{2/3}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9\). El denominador del exponente es el índice de la raíz y el numerador, la potencia. Conviene hacer primero la raíz para trabajar con números pequeños.
   3. \(16^{-3/4}=\dfrac{1}{16^{3/4}}=\dfrac{1}{\left(\sqrt[4]{16}\right)^3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}\). La raíz cuarta de 16 es 2 porque \(2^4=16\); después elevamos al cubo y aplicamos el signo negativo del exponente.
   4. \(\sqrt[3]{-64}=-4\) porque \((-4)^3=-64\). \((-8)^{2/3}=\left(\sqrt[3]{-8}\right)^2=(-2)^2=4\). Las raíces de índice impar admiten radicandos negativos. Respuesta: \(-4\) y 4.

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(72=2^3\cdot3^2\), luego \(\sqrt{72}=3\cdot2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\). \(180=2^2\cdot3^2\cdot5\), luego \(\sqrt{180}=6\sqrt{5}\). Descomponemos el radicando en factores primos y sacamos de la raíz cada factor elevado al índice. Comprobación: \((6\sqrt{2})^2=72\).
   2. \(54=2\cdot3^3\): \(\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2}\). \(128=2^7=2^6\cdot2\): \(\sqrt[3]{128}=4\sqrt[3]{2}\). En las raíces cúbicas sacamos los factores elevados al cubo: \(3^3=27\) y \(2^6=(2^2)^3\). Comprobación: \((3\sqrt[3]{2})^3=54\).
   3. \(5\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\). Primero simplificamos cada raíz: \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\); después sumamos como radicales semejantes.
   4. \(\sqrt{12\cdot27}=\sqrt{324}=18\) (o \(2\sqrt{3}\cdot3\sqrt{3}=6\cdot3=18\)). Podemos multiplicar los radicandos porque tienen el mismo índice. Respuesta: 18.

4. Solución del ejercicio 4

   1. Índice común 6: \(\sqrt[6]{2^3}\cdot\sqrt[6]{2^2}=\sqrt[6]{2^5}\) (es decir \(2^{5/6}\)). Para multiplicar raíces de distinto índice las pasamos a índice común, el mínimo común múltiplo de 2 y 3, que es 6.
   2. \(\sqrt{\dfrac{75}{3}}=\sqrt{25}=5\). Dividimos los radicandos dentro de una sola raíz porque tienen el mismo índice. Respuesta: 5.
   3. Es suma por diferencia: \(5-2=3\). La suma por diferencia da la diferencia de cuadrados, y \((\sqrt{5})^2=5\). Respuesta: 3.
   4. \(9-6\sqrt{2}+2=11-6\sqrt{2}\). Aplicamos el cuadrado de una diferencia: \(3^2-2\cdot3\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2\). Respuesta: \(11-6\sqrt{2}\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\). Multiplicamos numerador y denominador por \(\sqrt{3}\) para que desaparezca la raíz del denominador. Respuesta: \(2\sqrt{3}\).
   2. Multiplicamos por \(\sqrt[3]{2^2}\): \(\dfrac{4\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4}}=\dfrac{4\sqrt[3]{4}}{2}=2\sqrt[3]{4}\). Buscamos completar un cubo en el denominador: \(\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{8}=2\).
   3. Multiplicamos por el conjugado: \(\dfrac{5(\sqrt{7}+\sqrt{2})}{7-2}=\sqrt{7}+\sqrt{2}\). El conjugado de \(\sqrt{7}-\sqrt{2}\) es \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\); el producto da \(7-2=5\), que simplifica con el 5 del numerador.
   4. \(\dfrac{2(3-\sqrt{5})}{9-5}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\). El conjugado de \(3+\sqrt{5}\) es \(3-\sqrt{5}\); el denominador queda \(9-5=4\) y simplificamos entre 2.

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(4{,}5\cdot10^7\) y \(7{,}3\cdot10^{-5}\). Movemos la coma hasta dejar una sola cifra distinta de cero a su izquierda: 7 lugares a la izquierda y 5 a la derecha.
   2. \(3{,}2\cdot2{,}5=8\) y \(10^{5-3}=10^2\): \(8\cdot10^2=800\). Multiplicamos las mantisas y sumamos los exponentes de las potencias de 10. Respuesta: \(8\cdot10^2\).
   3. \(\dfrac{9}{4}=2{,}25\) y \(10^{8-(-2)}=10^{10}\): \(2{,}25\cdot10^{10}\). Dividimos las mantisas y restamos los exponentes; restar \(-2\) es sumar 2. Respuesta: \(2{,}25\cdot10^{10}\).
   4. Igualamos potencias: \(61\cdot10^6+3{,}9\cdot10^6=64{,}9\cdot10^6=6{,}49\cdot10^7\). Para sumar en notación científica escribimos los dos números con la misma potencia de 10. Respuesta: \(6{,}49\cdot10^7\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(t=\dfrac{1{,}496\cdot10^{8}}{3\cdot10^{5}}\approx0{,}4987\cdot10^{3}\approx4{,}99\cdot10^{2}\) s. El tiempo es la distancia dividida entre la velocidad; dividimos mantisas y restamos exponentes.
   2. \(498{,}7:60\approx8{,}3\) minutos. Dividimos los segundos entre 60. Respuesta: unos 8,3 minutos.
   3. \(\dfrac{4{,}0\cdot10^{13}}{1{,}496\cdot10^{8}}\approx2{,}67\cdot10^{5}\) veces. Dividimos las dos distancias. Respuesta: unas 267 000 veces.
   4. \(t=\dfrac{4{,}0\cdot10^{13}}{3\cdot10^{5}}=1{,}33\cdot10^{8}\) s. En años: \(\dfrac{1{,}33\cdot10^8}{3{,}15\cdot10^7}\approx4{,}2\) años. Primero calculamos los segundos y después los pasamos a años. Respuesta: unos 4,2 años.

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(B(n)=500\cdot2^n\). Cada periodo de 20 minutos el número se multiplica por 2.
   2. \(500;\ 1000;\ 2000;\ 4000;\ 8000\). Cada valor es el doble del anterior.
   3. 3 horas son \(9\) periodos: \(500\cdot2^9=500\cdot512=256\,000=2{,}56\cdot10^5\). Una hora tiene 3 periodos de 20 minutos, así que en 3 horas hay 9. Respuesta: 256 000 bacterias.
   4. \(500\cdot2^n>10^6\) equivale a \(2^n>2000\). Como \(2^{10}=1024<2000<2^{11}=2048\), hacen falta \(11\) periodos (3 h 40 min). Respuesta: 11 periodos, es decir, 3 horas y 40 minutos.

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(1\ \mathrm{TB}=2^{10}\cdot2^{10}\cdot2^{10}\cdot2^{10}=2^{40}\approx1{,}10\cdot10^{12}\) bytes. Multiplicamos cuatro veces por \(2^{10}\), sumando los exponentes.
   2. \(4\) MB \(=2^2\cdot2^{20}=2^{22}\) bytes. Caben \(\dfrac{2^{40}}{2^{22}}=2^{18}=262\,144\) fotos. Pasamos los 4 MB a bytes y dividimos potencias de la misma base restando exponentes.
   3. \(\dfrac{2^{40}}{2^{32}}=2^{8}=256\) películas. Restamos los exponentes: \(40-32=8\).
   4. \(2^{40}-10^{12}=1\,099\,511\,627\,776-10^{12}\approx9{,}95\cdot10^{10}\) bytes, que es \(\approx9{,}95\ \%\) de \(10^{12}\). Respuesta: casi un 10 % más.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(h^2=5^2-1{,}5^2=25-2{,}25=22{,}75\), luego \(h=\sqrt{22{,}75}=\dfrac{\sqrt{91}}{2}\) m. La escalera es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado con la pared y el suelo.
    2. \(\sqrt{91}\approx9{,}539\) y \(h\approx4{,}77\) m. Respuesta: la escalera llega a unos 4,77 m.
    3. \(h^2=25-6{,}25=18{,}75\), \(h=\sqrt{18{,}75}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\approx4{,}33\) m. El cateto horizontal ahora mide 2,5 m.
    4. \(4{,}77-4{,}33\approx0{,}44\) m. Restamos las dos alturas. Respuesta: baja unos 44 cm.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(l=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) m.
    2. \(3\sqrt{2}\approx4{,}243\) m, es decir unos \(424\) cm.
    3. \(d=l\sqrt{2}=3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=6\) m.
    4. El lado \(4{,}24\) m es mayor que el ancho de \(4\) m, luego no cabe de lado en la primera habitación. La diagonal mide \(6\) m, que es mayor que \(5\) m: tampoco cabe en diagonal.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(C(n)=2000\cdot1{,}03^n\).
    2. 1 año: \(2060{,}00\) €; 2 años: \(2121{,}80\) €; 5 años: \(2318{,}55\) €; 10 años: \(2687{,}83\) €.
    3. Con 7 años: \(2459{,}75\) € y con 8 años: \(2533{,}54\) €. Hacen falta \(8\) años.
    4. Con el \(4\ \%\): \(2000\cdot1{,}04^{10}=2960{,}49\) €. Diferencia: \(2960{,}49-2687{,}83=272{,}66\) €.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Décimas: \(2{,}6\). Centésimas: \(2{,}65\). Para redondear miramos la cifra siguiente a la última que conservamos.
    2. \(|2{,}6457513-2{,}6|=0{,}0457513\) y \(|2{,}6457513-2{,}65|=0{,}0042487\). El error absoluto es el valor absoluto de la diferencia con el valor exacto.
    3. \(\dfrac{0{,}0042487}{2{,}6457513}\approx0{,}0016=0{,}16\ \%\). Dividimos el error absoluto entre el valor exacto.
    4. Área exacta \(7\); área aproximada \(2{,}65^2=7{,}0225\). Error: \(0{,}0225\) cm\(^2\). Respuesta: el error en el área es de 0,0225 cm\(^2\).

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(m(n)=80\cdot2^{-n}\). Cada periodo la masa se multiplica por \(\dfrac{1}{2}=2^{-1}\).
    2. 6 h (\(n=1\)): \(40\) mg; 12 h (\(n=2\)): \(20\) mg; 24 h (\(n=4\)): \(5\) mg; 36 h (\(n=6\)): \(1{,}25\) mg. Cada 6 horas es un periodo más.
    3. \(80\cdot2^{-n}<1\) equivale a \(2^n>80\): \(2^6=64<80<128=2^7\), luego \(n=7\), es decir \(42\) horas.
    4. \(48\) h son \(n=8\) periodos: \(80\cdot2^{-8}=\dfrac{80}{256}=0{,}3125=3{,}125\cdot10^{-1}\) mg. Respuesta: unos 0,31 mg.

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(V=\dfrac{27\,000}{1000}=27\) m\(^3\) y \(a=\sqrt[3]{27}=3\) m.
    2. \(A=6a^2=6\cdot9=54\) m\(^2\).
    3. \(V=50\) m\(^3\), \(a=\sqrt[3]{50}\approx3{,}68\) m (sin raíz exacta, \(50\) no es cubo perfecto).
    4. \(A=6\cdot\sqrt[3]{50}^{\,2}=6\cdot13{,}57\approx81{,}4\) m\(^2\) y el coste es \(81{,}43\cdot3{,}50\approx285{,}01\) €.
    5. \(\dfrac{50}{27}\approx1{,}85\) veces. La arista no es el doble (\(3{,}68<6\)): para duplicar la arista, el volumen se multiplica por \(2^3=8\).

16. Solución del ejercicio 16

    1. España: \(4{,}8\cdot10^{7}\); mundo: \(8{,}0\cdot10^{9}\); Madrid ciudad: \(3{,}3\cdot10^{6}\); Soria provincia: \(8{,}8\cdot10^{4}\). Movemos la coma hasta dejar una cifra delante.
    2. \(\dfrac{8{,}0\cdot10^{9}}{4{,}8\cdot10^{7}}\approx1{,}67\cdot10^{2}\), unas \(167\) veces. Dividimos las mantisas y restamos exponentes.
    3. \(\dfrac{4{,}8\cdot10^{7}}{8\cdot10^{9}}=0{,}006=0{,}6\ \%\). Dividimos la población de España entre la mundial.
    4. \(4{,}8\cdot10^{7}\cdot1{,}0511\approx5{,}05\cdot10^{7}\) habitantes. Multiplicamos por el factor de crecimiento de 10 años. Respuesta: unos 50,5 millones de habitantes.

17. Solución del ejercicio 17

    1. 4K: \(3840\cdot2160=8\,294\,400\approx8{,}29\cdot10^{6}\). Full HD: \(1920\cdot1080=2\,073\,600\approx2{,}07\cdot10^{6}\).
    2. \(\dfrac{8\,294\,400}{2\,073\,600}=4\) veces: cada dimensión se duplica y \(2\cdot2=4\).
    3. \(8\,294\,400\cdot3=24\,883\,200\) bytes \(\approx24{,}9\) MB.
    4. Imágenes: \(90\cdot60\cdot24=129\,600\). Bytes: \(129\,600\cdot24\,883\,200\approx3{,}22\cdot10^{12}\), es decir unos \(3{,}2\) TB.
    5. Porque se comprime: se aprovecha que imágenes consecutivas son muy parecidas y que el ojo no distingue ciertos detalles.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(\mathrm{pH}=-\log10^{-7}=7\): neutro. El logaritmo de una potencia de 10 es su exponente.
    2. Limón: \(\mathrm{pH}=2\) (ácido). Bicarbonato: \(\mathrm{pH}=9\) (básico). Un pH menor que 7 indica una sustancia ácida y mayor que 7, básica.
    3. Vinagre: \([\mathrm{H}^+]=10^{-3}\); el agua \(10^{-7}\). Cociente \(\dfrac{10^{-3}}{10^{-7}}=10^{4}=10\,000\) veces mayor.
    4. \(\log_2 32=5\) porque \(2^5=32\). \(\log_3\dfrac{1}{9}=-2\) porque \(3^{-2}=\dfrac{1}{9}\). \(\log_{10}0{,}001=-3\).

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) m y \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) m.
    2. \(h^2=8+18=26\), luego \(h=\sqrt{26}\approx5{,}10\) m (no se puede simplificar).
    3. \(P=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+\sqrt{26}=5\sqrt{2}+\sqrt{26}\approx7{,}07+5{,}10=12{,}17\) m.
    4. \(A=\dfrac{2\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{6\cdot2}{2}=6\) m\(^2\). Coste \(6\cdot4{,}50=27\) €.
    5. El camino ocupa parte del triángulo, por lo que el césped solo cubre lo que queda: área menor que \(6\) m\(^2\).

20. Solución del ejercicio 20

    1. \(\dfrac{2^n(4-1)}{2^n\cdot2}=\dfrac{3}{2}\). Sacamos factor común \(2^n\) en el numerador y simplificamos. Respuesta: \(\dfrac{3}{2}\).
    2. Multiplicando por el conjugado: \(\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\). La suma se simplifica: \((\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(2-\sqrt{3})=2-1=1\). Los términos intermedios se anulan dos a dos. Respuesta: la suma vale 1.
    3. Índice 6: \(\sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{9}\) y \(\sqrt{2}=\sqrt[6]{8}\). Como \(9>8\), \(\sqrt[3]{3}>\sqrt{2}\). Elevamos cada radicando para llevarlo a índice 6.
    4. \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}=9\), luego \(x^2+\dfrac{1}{x^2}=7\). Elevamos al cuadrado la igualdad y despejamos. Respuesta: 7.