Operaciones con números reales y precisión – matemáticas 4º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(3^{-2+5-2}=3^1=3\) y \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}=2^3=8\). Sumamos los exponentes de la misma base e invertimos la fracción para el exponente negativo.
   2. \(7\sqrt{2}-5\sqrt{2}+4\sqrt{2}=6\sqrt{2}\). Simplificamos cada raíz y operamos los radicales semejantes.
   3. \(8^{2/3}=4\) y \(4^{-1/2}=\dfrac{1}{2}\); producto \(2\). \(8^{2/3}=(\sqrt[3]{8})^2=4\) y \(4^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{4}}\).

   Criterios de corrección: en a) 0,75 puntos por cada potencia: el exponente total es \(-2+5-2=1\) y la fracción invertida da 8. En b) valen 1,5 puntos los radicales, 0,5 por cada uno simplificado, \(7\sqrt2\), \(5\sqrt2\) y \(4\sqrt2\). En c) 1 punto por \(4\cdot\dfrac{1}{2}=2\).

2. Solución del ejercicio 2 (3 puntos)

   1. \(\dfrac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}\). Multiplicamos numerador y denominador por \(\sqrt{5}\) y simplificamos entre 5.
   2. \(\dfrac{3(\sqrt{6}+\sqrt{3})}{6-3}=\sqrt{6}+\sqrt{3}\). Multiplicamos por el conjugado; el denominador queda \(6-3=3\), que simplifica con el numerador.

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por multiplicar por \(\sqrt5\) y simplificar 10 entre 5. En b) 1 punto por usar el conjugado \(\sqrt6+\sqrt3\) y 1 punto por el denominador \(6-3=3\), que se simplifica con el 3 del numerador; comprobación aproximada: \(\dfrac{3}{0{,}717}\approx4{,}18\approx2{,}449+1{,}732\).

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. \(4{,}5\cdot2=9\) y \(10^{3}\): \(9\cdot10^{3}\). Multiplicamos mantisas y sumamos exponentes: \(-3+6=3\).
   2. \(2{,}4\cdot10^{13}\). Dividimos \(7{,}2:3=2{,}4\) y restamos exponentes: \(9-(-4)=13\).
   3. \(52\cdot10^{5}-8\cdot10^{5}=44\cdot10^{5}=4{,}4\cdot10^{6}\). Escribimos los dos números con la misma potencia de 10 antes de restar.

   Criterios de corrección: en a) 1 punto, con \(9\cdot10^3\) ya en notación científica. En b) 1 punto por \(2{,}4\cdot10^{13}\). En c) 1 punto si se igualan exponentes antes de restar: \(5{,}2\cdot10^6-0{,}8\cdot10^6=4{,}4\cdot10^6\).

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. \(E_a=|0{,}4-0{,}385|=0{,}015\) kg. \(E_r=\dfrac{0{,}015}{0{,}4}=0{,}0375=3{,}75\ \%\). Para el error relativo dividimos los 0,015 kg entre los 0,4 kg reales.
   2. \(\sqrt{3}\approx1{,}73\); error \(|1{,}7320508-1{,}73|=0{,}0020508\). Redondeamos a las centésimas porque la cifra siguiente, 2, es menor que 5.

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por el error absoluto de 15 g y 1 punto por el relativo del 3,75 %, calculado sobre los 0,4 kg reales y no sobre la medida. En b) 0,5 puntos por el redondeo 1,73 y 0,5 por el error de unas dos milésimas.

5. Solución del ejercicio 5 (7 puntos)

   1. \(N(t)=2\cdot10^{4}\cdot3^{t}\). Cada hora el número se multiplica por 3.
   2. \(N(4)=2\cdot10^{4}\cdot81=1{,}62\cdot10^{6}\). \(3^4=81\).
   3. \(2\cdot10^{4}\cdot3^{t}>10^{7}\) equivale a \(3^{t}>500\). Como \(3^5=243<500<3^6=729\), hacen falta \(6\) horas.
   4. \(t=-2\) son dos horas antes del inicio: \(N(-2)=2\cdot10^{4}\cdot3^{-2}=\dfrac{20\,000}{9}\approx2\,222\) células.

   Criterios de corrección: la fórmula vale 1 punto, \(N(4)\) 2 puntos, las 6 horas 3 puntos y \(N(-2)\) 1 punto. En el tercer apartado se exige comparar con \(3^5=243\) y \(3^6=729\). En el último se valora explicar que el exponente negativo representa el pasado.

Total : 20 puntos