Números reales e intervalos – matemáticas 4º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. \(-7\) es entero negativo (\(\mathbb{Z}\)). \(\dfrac{12}{4}=3\) es natural.
   2. \(\sqrt{49}=7\) es natural. \(\sqrt{50}\) no es cuadrado perfecto, luego es irracional.
   3. El primero es periódico, luego racional: \(0{,}\overline{18}=\dfrac{18}{99}=\dfrac{2}{11}\). El segundo tiene infinitas cifras sin periodo: irracional.
   4. \(\pi-3\) es irracional (si fuese racional, \(\pi\) también lo sería). \(\dfrac{\pi}{\pi}=1\) es natural: operar con irracionales puede dar un racional.

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(x=0{,}\overline{7}\); \(10x=7{,}\overline{7}\); restando \(9x=7\), \(x=\dfrac{7}{9}\). Multiplicamos por 10 porque el periodo tiene una cifra; al restar desaparece la parte periódica. Comprobación: \(7:9=0{,}777\ldots\).
   2. \(100x=236{,}\overline{36}\) y \(x=2{,}\overline{36}\); restando \(99x=234\), \(x=\dfrac{234}{99}=\dfrac{26}{11}\). El periodo tiene dos cifras, por eso multiplicamos por 100; simplificamos entre 9. Comprobación: \(26:11=2{,}3636\ldots\).
   3. \(100x=125{,}\overline{5}\) y \(10x=12{,}\overline{5}\); restando \(90x=113\), \(x=\dfrac{113}{90}\). Es periódico mixto: multiplicamos por 100 y por 10 para igualar las partes periódicas. Comprobación: \(113:90=1{,}2555\ldots\).
   4. \(1000x=45{,}\overline{045}\) y \(x=0{,}\overline{045}\); restando \(999x=45\), \(x=\dfrac{45}{999}=\dfrac{5}{111}\). El periodo tiene tres cifras, por eso multiplicamos por 1 000; simplificamos entre 9. Comprobación: \(5:111=0{,}045045\ldots\).

3. Solución del ejercicio 3

   1. \((-2,5]\), es decir \(-2\lt x\le5\). Es acotado. El paréntesis indica que \(-2\) no está incluido y el corchete que 5 sí.
   2. \((-\infty,3)\), es decir \(x<3\). No es acotado (no tiene mínimo ni cota inferior). Se extiende sin límite hacia la izquierda.
   3. \(|x-1|\le4\) equivale a \(-4\le x-1\le4\), o sea \(-3\le x\le5\): \([-3,5]\). Acotado. La distancia de \(x\) a 1 se escribe \(|x-1|\).
   4. \((-\infty,-1]\cup(6,+\infty)\). No es acotado. Es la unión de dos semirrectas.

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(8+3-2=9\). Primero calculamos cada valor absoluto: 8, 3 y 2. Respuesta: 9.
   2. Como \(\sqrt{5}\approx2{,}24>2\), \(2-\sqrt{5}<0\) y su valor absoluto es \(\sqrt{5}-2\). Como \(\sqrt{5}<3\), \(\sqrt{5}-3<0\) y su valor absoluto es \(3-\sqrt{5}\). El valor absoluto de un número negativo es su opuesto.
   3. \(d=|-3{,}5-2{,}25|=|-5{,}75|=5{,}75\). La distancia entre dos números es el valor absoluto de su diferencia. Respuesta: 5,75.
   4. \(x=6\) o \(x=-6\). Para la segunda: \(x-2=5\) o \(x-2=-5\), luego \(x=7\) o \(x=-3\). Un valor absoluto igual a 5 tiene dos posibilidades, 5 y \(-5\). Comprobación: \(|7-2|=5\) y \(|-3-2|=5\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(A\cap B=(0,2)\) y \(A\cup B=[-3,6]\). La intersección es la parte común y la unión todo lo que está en alguno.
   2. \(A\cap C=[-3,-1]\). \(B\cap C=\varnothing\) porque \(B\) empieza en \(0\).
   3. \(A\cup C=(-\infty,2)\) (los dos se solapan en \([-3,-1]\)).
   4. \(A\cup B=[-3,6]\) y su intersección con \(C\) es \([-3,-1]\). Respuesta: \([-3,-1]\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(E(4,3)=(1,7)\) y \(E(-2;0{,}5)=(-2{,}5;\,-1{,}5)\). Restamos y sumamos el radio al centro.
   2. Centro \(\dfrac{1+9}{2}=5\), radio \(\dfrac{9-1}{2}=4\): \(E(5,4)\). El centro es el punto medio y el radio la mitad de la longitud.
   3. \(E(4,2)=(2,6)\): \(5{,}9\) sí pertenece; \(6\) no (el extremo no se incluye). Un entorno es un intervalo abierto.
   4. \(|x-3|<2\). La distancia de \(x\) al centro 3 es menor que el radio 2.

7. Solución del ejercicio 7

   1. Lunes \([-6,2]\), amplitud 8; martes \([-8,1]\), amplitud 9; miércoles \([-4,5]\), amplitud 9; jueves \([-7,3]\), amplitud 10; viernes \([-5,0]\), amplitud 5.
   2. La unión es \([-8,5]\): de la mínima más baja (\(-8\)) a la máxima más alta (\(5\)).
   3. La intersección es el intervalo que va de la mayor de las mínimas a la menor de las máximas: \([-4,0]\).
   4. El jueves, con \(3-(-7)=10\) grados.

8. Solución del ejercicio 8

   1. \([0,4)\) gratis; \([4,12)\) 18 €; \([12,65)\) 32 €; \([65,+\infty)\) 20 €.
   2. \(2\cdot32+20+18+0=102\) €.
   3. \(11{,}5\in[4,12)\): paga 18 €. Con \(12\) años exactos está en \([12,65)\): paga 32 €.
   4. Pagan menos de 30 € los tramos \([0,4)\), \([4,12)\) y \([65,+\infty)\).

9. Solución del ejercicio 9

   1. \([11{,}95;\ 12{,}05]\), es decir \(|x-12|\le0{,}05\).
   2. Son válidas \(11{,}97\); \(12{,}05\); \(11{,}95\) y \(12{,}00\) (los extremos están incluidos). No es válida \(12{,}06\).
   3. Error absoluto \(|12{,}06-12|=0{,}06\) mm; relativo \(\dfrac{0{,}06}{12}=0{,}005=0{,}5\ \%\).
   4. El intervalo sería \([11{,}9;\ 12{,}1]\) y \(12{,}06\) pasaría a ser válida.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \([60,120]\).
    2. Cumplen \(60\), \(95\) y \(120\). No cumplen \(58\) ni \(121\).
    3. \(t=\dfrac{150}{v}\) es decreciente: con \(v=120\), \(t=1{,}25\) h; con \(v=60\), \(t=2{,}5\) h. Luego \(t\in[1{,}25;\ 2{,}5]\) h.
    4. \(1{,}25\cdot60=75\) min y \(2{,}5\cdot60=150\) min: \([75,150]\) min.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(L=\pi d\): \(3{,}14\cdot20=62{,}80\) m y \(\dfrac{22}{7}\cdot20=62{,}86\) m. Multiplicamos la aproximación de \(\pi\) por el diámetro.
    2. \(|3{,}14159-3{,}14|=0{,}00159\); \(\left|3{,}14159-\dfrac{22}{7}\right|=0{,}00126\). Gana \(\dfrac{22}{7}\). Calculamos la diferencia en valor absoluto con el valor de referencia.
    3. \(\dfrac{0{,}00159}{3{,}14159}\approx0{,}0506\ \%\approx0{,}05\ \%\). Dividimos el error absoluto entre el valor exacto.
    4. Centésimas: \(3{,}14\) (por defecto). Milésimas: \(3{,}142\) (por exceso). Una aproximación es por defecto si es menor que el valor exacto.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(C(x)=480+12x\). Hay un gasto fijo, el autobús, y otro que depende de los alumnos.
    2. \(900\le480+12x\le1080\). El coste debe estar entre los dos valores, incluidos.
    3. Restamos 480: \(420\le12x\le600\). Dividimos entre 12: \(35\le x\le50\). Intervalo \([35,50]\). Comprobación: \(C(35)=900\) y \(C(50)=1\,080\).
    4. Pueden ir desde \(35\) hasta \(50\) alumnos: \(50-35+1=16\) valores enteros. Respuesta: entre 35 y 50 alumnos.

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(-4\lt x<4\): \((-4,4)\). El valor absoluto menor que 4 significa estar a menos de 4 unidades del 0.
    2. \(x-3\ge2\) o \(x-3\le-2\): \(x\ge5\) o \(x\le1\), es decir \((-\infty,1]\cup[5,+\infty)\). La distancia a 3 es al menos 2. Comprobación: \(x=0\) da \(3\ge2\).
    3. \(-7\le2x+1\le7\), \(-8\le2x\le6\), \(-4\le x\le3\): \([-4,3]\). Restamos 1 y dividimos entre 2 en los tres miembros.
    4. El valor absoluto es positivo salvo si \(x+5=0\), o sea \(x=-5\): solución \(\mathbb{R}\setminus\{-5\}=(-\infty,-5)\cup(-5,+\infty)\).

14. Solución del ejercicio 14

    1. \([24,28]\), es decir \(|T-26|\le2\).
    2. Correctas: \(24{,}5\); \(27{,}9\); \(28\) (extremo incluido) y \(26\). Solo es incorrecta \(23{,}9\), porque es menor que \(24\).
    3. \(|27{,}1-26|=1{,}1\) °C.
    4. Bebés: \([29,31]\). Adultos: \([24,28]\). La intersección es vacía: no hay valor común.

15. Solución del ejercicio 15

    1. Sin recargo: \([0,23]\). Con recargo de 15 €: \((23,32]\). No admitidas: \((32,+\infty)\).
    2. \(18{,}5\): sin recargo. \(23\): sin recargo (extremo incluido). \(23{,}4\): 15 €. \(31{,}9\): 15 €. \(33\): no se admite. Recargo total: \(15+15=30\) € y hay que rehacer la de 33 kg.
    3. Contenido \(c\) con \(3{,}2+c\le23\), luego \(c\le19{,}8\). Intervalo \([0;\ 19{,}8]\) kg.
    4. \(2{,}1+0{,}8+x\le10\), \(x\le7{,}1\); además \(x\ge0\). Solución \([0;\ 7{,}1]\).
    5. \(\dfrac{7{,}1}{10}=0{,}71=71\ \%\) del peso máximo.

16. Solución del ejercicio 16

    1. Lados \(x\) y \(2x\): \(P(x)=2x+4x=6x\).
    2. \(60\le6x\le80\), luego \(10\le x\le\dfrac{40}{3}\approx13{,}33\). Intervalo \(\left[10,\dfrac{40}{3}\right]\).
    3. Mínima: \(A(10)=2\cdot100=200\) m². Máxima: \(A\left(\dfrac{40}{3}\right)=2\cdot\dfrac{1600}{9}=\dfrac{3200}{9}\approx355{,}6\) m². El área está en \(\left[200;\ 355{,}6\right]\).
    4. Además \(x\le12\): la intersección es \([10,12]\). Con \(x=12\) el área es \(2\cdot144=288\) m².

17. Solución del ejercicio 17

    1. \(A(m)=9+0{,}05m\). \(B(m)=15\) si \(m\le100\) y \(B(m)=15+0{,}04(m-100)=11+0{,}04m\) si \(m>100\).
    2. A: 11,50; 14; 24; 39. B: 15; 15; 23; 35. C: 30 siempre.
    3. Para \(m\le100\): \(9+0{,}05m<15\) si \(m<120\), luego A es más barata en todo \([0,100]\). Para \(m>100\): \(9+0{,}05m<11+0{,}04m\) equivale a \(0{,}01m<2\), o sea \(m<200\). Por tanto A es más barata para \(m<200\) y B para \(m>200\) (igualdad en 200).
    4. B supera 30 € cuando \(11+0{,}04m>30\), es decir \(m>475\). A supera 30 € cuando \(0{,}05m>21\), \(m>420\). Conviene C a partir de \(m>475\) minutos (frente a B) y de \(420\) frente a A.
    5. En \([200,450]\) ahora B es más barata que A. Con \(m=450\): \(B=11+18=29\) € y \(A=31{,}50\) €. La C cuesta 30 €. Le conviene B, con un máximo de 29 €.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(N=0{,}3\cdot5{,}5+0{,}3\cdot6{,}5+0{,}4x=3{,}6+0{,}4x\). Aplicamos los pesos de cada examen.
    2. \(3{,}6+0{,}4x\ge5\), \(0{,}4x\ge1{,}4\), \(x\ge3{,}5\). Comprobación: \(3{,}6+1{,}4=5\).
    3. \(7\le3{,}6+0{,}4x<9\), \(3{,}4\le0{,}4x<5{,}4\), \(8{,}5\le x<13{,}5\). Como \(x\le10\), el intervalo es \([8{,}5;\ 10]\).
    4. \(N\ge9\) exige \(0{,}4x\ge5{,}4\), \(x\ge13{,}5\), imposible porque la nota máxima es 10. Con un 10 saca \(7{,}6\).
    5. \(x=4\): \(N=3{,}6+1{,}6=5{,}2\), aprueba. \(x=8{,}5\): \(N=3{,}6+3{,}4=7\), justo notable.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \([40,55]\) minutos, es decir entre las 8:40 y las 8:55.
    2. Suma de intervalos: \([40+8,\ 55+12]=[48,67]\), entre las 8:48 y las 9:07.
    3. No: el extremo superior \(67\) supera los \(60\) minutos (las 9:00). Solo está seguro si el intervalo total estuviera dentro de \([0,60]\).
    4. En el peor caso llega en el minuto 67; para llegar a las 9:00 debe salir \(7\) minutos antes, a las 7:53 como muy tarde.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Si \(\sqrt{2}+1=\dfrac{a}{b}\) fuese racional, entonces \(\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}-1=\dfrac{a-b}{b}\) sería racional, lo cual es falso. Luego es irracional.
    2. \(\dfrac{3}{7}\approx0{,}4286\). Un irracional en \((0{,}4286;\ 0{,}5)\) es, por ejemplo, \(0{,}4545545554\dots\) (cada vez un cinco más).
    3. \(\sqrt{3}\approx1{,}732\); \(\dfrac{7}{4}=1{,}75\); \(1{,}7\overline{3}=1{,}7333\dots\); \(\dfrac{5}{3}=1{,}666\dots\). Orden: \(\dfrac{5}{3}\lt \sqrt{3}<1{,}7\overline{3}\lt \dfrac{7}{4}\).
    4. Primer conjunto: \((1{,}5;\ 6{,}5)\) con enteros \(2,3,4,5,6\). Segundo: \([-2,0]\) con enteros \(-2,-1,0\). No se solapan: \(5+3=8\) enteros.