Expresiones algebraicas y factorización – matemáticas 4º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. \(P(2)=16-12+2-5=1\) y \(P(-1)=-2-3-1-5=-11\). Sustituimos cada valor cuidando los signos de las potencias.
   2. \(P+Q=2x^3-2x^2-3x-2\). \(P-2Q=2x^3-3x^2+x-5-2x^2+8x-6=2x^3-5x^2+9x-11\). Al restar \(2Q\) cambiamos el signo de los tres términos de \(2Q\).
   3. Grado \(3+2=5\). Coeficiente de \(x^5\): \(2\cdot1=2\). Término independiente: \((-5)\cdot3=-15\). Los grados se suman al multiplicar y el término independiente es el producto de los términos independientes.
   4. \(Q(3)=9-12+3=0\): sí es raíz. \(P(3)=54-27+3-5=25\ne0\): no. Un número es raíz si el valor numérico es cero.

2. Solución del ejercicio 2

   1. \((3x-2)^2=9x^2-12x+4\) y \((x+5)(x-5)=x^2-25\). Aplicamos \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) con \(a=3x\) y \(b=2\), y la suma por diferencia.
   2. \((2x+3y)^2=4x^2+12xy+9y^2\). El doble producto es \(2\cdot2x\cdot3y=12xy\).
   3. \((x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1\). Aplicamos \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\). Comprobación con \(x=2\): \(1=8-12+6-1\).
   4. \((x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)=8x\). Los términos \(x^2\) y 4 se anulan al restar. Respuesta: \(8x\).

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(3x^2(2x-3)\) y \(5xy(2x-3y)\). Sacamos el máximo común divisor de los coeficientes y la menor potencia de cada letra.
   2. \((x-7)(x+7)\) y \((3x-2)(3x+2)\). Son diferencias de cuadrados: \(49=7^2\) y \(9x^2=(3x)^2\).
   3. \((2x+3)^2\) y \((x-5)^2\). Son cuadrados perfectos: el término central es el doble producto.
   4. \(x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)\). Aplicamos dos veces la diferencia de cuadrados; \(x^2+4\) no se puede factorizar en los reales.

4. Solución del ejercicio 4

   1. Coeficientes \(1,\ 2,\ -5,\ 1\) y raíz \(2\): \(1;\ 2+2=4;\ -5+8=3;\ 1+6=7\). Cociente \(x^2+4x+3\) y resto \(7\).
   2. \(2x^3-x^2+3x-4=(x^2+1)(2x-1)+(x-3)\). Cociente \(2x-1\) y resto \(x-3\).
   3. Con Ruffini y raíz \(-1\): coeficientes \(1,0,0,0,-1\) dan \(1;\ -1;\ 1;\ -1;\ 0\). Cociente \(x^3-x^2+x-1\) y resto \(0\).
   4. \((x-2)(x^2+4x+3)+7=x^3+4x^2+3x-2x^2-8x-6+7=x^3+2x^2-5x+1\). Correcto.

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(P(1)=1-4+1+6=4\) y \(P(-2)=-8-16-2+6=-20\). Por el teorema del resto, el resto es el valor numérico en \(a\).
   2. \(P(3)=27-36+3+6=0\) y \(P(-1)=-1-4-1+6=0\). El valor numérico es cero, así que son raíces.
   3. Con raíz \(3\): \(1;\ -4+3=-1;\ 1-3=-2;\ 6-6=0\). Cociente \(x^2-x-2\), resto \(0\).
   4. \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\), luego \(P(x)=(x-3)(x-2)(x+1)\). Comprobación con \(x=0\): \(P(0)=6\) y \((-3)(-2)\cdot1=6\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. Divisores de \(-6\): \(1\) es raíz (\(1-6+11-6=0\)). Ruffini da \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Resultado \((x-1)(x-2)(x-3)\). Comprobación con \(x=0\): \((-1)(-2)(-3)=-6\).
   2. Agrupando: \(x^2(x+2)-(x+2)=(x+2)(x^2-1)=(x+2)(x-1)(x+1)\). Sacamos factor común por grupos.
   3. \(x=2\) es raíz: \(16-12-6+2=0\). Ruffini da \(2x^2+x-1=(2x-1)(x+1)\). Resultado \((x-2)(2x-1)(x+1)\). Comprobación con \(x=0\): \((-2)(-1)\cdot1=2\).
   4. Es bicuadrado: \(x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\). Comprobación con \(x=0\): \(4=(-1)\cdot1\cdot(-2)\cdot2\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2}=\dfrac{x-3}{x+3}\); no definida en \(x=-3\). Factorizamos numerador y denominador y simplificamos el factor común.
   2. \(\dfrac{2(x-2)(x+2)}{(x-2)^2}=\dfrac{2(x+2)}{x-2}\); no definida en \(x=2\).
   3. \(\dfrac{x(x-1)(x+1)}{(x-1)^2}=\dfrac{x(x+1)}{x-1}\); no definida en \(x=1\).
   4. \(\dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+2)}=\dfrac{x-2}{x+2}\); no definida en \(x=3\) ni en \(x=-2\). Los valores prohibidos se miran en el denominador original.

8. Solución del ejercicio 8

   1. mcm \(=(x-1)(x+1)\): \(\dfrac{(x+1)+2(x-1)}{x^2-1}=\dfrac{3x-1}{x^2-1}\). Multiplicamos cada numerador por el factor que falta en su denominador. Comprobación con \(x=2\): \(1+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}\).
   2. mcm \(=x^2-4\): \(\dfrac{(x+1)(x+2)-(x-3)(x-2)}{x^2-4}=\dfrac{8x-4}{x^2-4}\). Desarrollamos: \(x^2+3x+2-(x^2-5x+6)=8x-4\).
   3. \(\dfrac{(x-2)(x+2)x^2}{x(x+2)}=x(x-2)\). Factorizamos \(x^2-4\) y simplificamos \(x\) y \(x+2\).
   4. \(\dfrac{x}{x+2}\cdot\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}=\dfrac{x-2}{x}\). Dividir es multiplicar por la inversa; después simplificamos.

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(A(x)=(x+4)(x+1)=x^2+5x+4\) y \(P(x)=2(2x+5)=4x+10\). Multiplicamos los lados para el área y sumamos los cuatro lados para el perímetro.
   2. \(x=6\): lados \(10\) y \(7\); \(A=70\) m\(^2\) y \(P=34\) m. Sustituimos \(x=6\) en las dos fórmulas.
   3. \(x^2+5x+4=130\), \(x^2+5x-126=0\), \((x+14)(x-9)=0\). Solo vale \(x=9\) (la otra solución es negativa). Comprobación: \(13\cdot10=130\).
   4. Lados \(13\) y \(10\): \(P=4\cdot9+10=46\) m. Respuesta: 46 m de valla.

10. Solución del ejercicio 10

    1. Dimensiones \((40-2x)\), \((30-2x)\) y \(x\). \(V(x)=x(40-2x)(30-2x)=4x^3-140x^2+1200x\). Al doblar, el recorte \(x\) se convierte en la altura de la caja.
    2. \(V(3)=3\cdot34\cdot24=2448\); \(V(4)=4\cdot32\cdot22=2816\); \(V(5)=5\cdot30\cdot20=3000\); \(V(6)=6\cdot28\cdot18=3024\); \(V(7)=7\cdot26\cdot16=2912\) cm\(^3\). Sustituimos cada valor en el producto de las tres dimensiones.
    3. El máximo de la tabla está en \(x=6\), con \(3024\) cm\(^3\). Comparamos los valores de la tabla.
    4. Dimensiones \(30\times20\times5\) cm: \(3000\) cm\(^3=3\) L. Un litro son 1 000 cm\(^3\). Respuesta: 3 litros.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \((60+2x)(40+2x)=4x^2+200x+2400\). Multiplicamos los dos binomios término a término.
    2. Se resta el área del cuadro (\(2400\)): \(A_m=4x^2+200x\). El área del marco es el área total menos el área del cuadro, \(60\cdot40=2\,400\).
    3. \(A_m(3)=36+600=636\) cm\(^2\). Sustituimos \(x=3\). Respuesta: 636 cm\(^2\).
    4. \(4x^2+200x=864\), \(x^2+50x-216=0\), \((x+54)(x-4)=0\). Vale \(x=4\) cm. Dividimos entre 4 y factorizamos; la solución negativa no sirve para una anchura. Comprobación: \(4\cdot16+200\cdot4=864\).

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(-(x-10)(x-30)=-(x^2-40x+300)=-x^2+40x-300\). Correcto.
    2. \(B(x)=0\) en \(x=10\) y \(x=30\) docenas. Son las raíces de \(B(x)\).
    3. \(B(20)=-400+800-300=100\): \(10\,000\) €. \(B(19)=99\) y \(B(21)=99\), luego \(20\) docenas es el máximo. El máximo de la parábola está en el punto medio de las raíces.
    4. Es positivo entre las raíces: \(10\lt x<30\). Como \(a<0\), la parábola es positiva entre sus raíces.

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(h(t)=-5t(t-3)\). Sacamos factor común \(-5t\).
    2. \(h=0\) en \(t=0\) (lanzamiento) y \(t=3\) s (cae). Igualamos cada factor a cero. Respuesta: cae a los 3 segundos.
    3. \(h(1)=10\) m; \(h(1{,}5)=-11{,}25+22{,}5=11{,}25\) m; \(h(2)=-20+30=10\) m. Sustituimos cada valor de \(t\); los valores en 1 y 2 son iguales por la simetría.
    4. Raíces \(0\) y \(3\); punto medio \(t=1{,}5\) s. Altura máxima \(11{,}25\) m. Respuesta: la altura máxima es 11,25 m, a los 1,5 s.

14. Solución del ejercicio 14

    1. Lado exterior \(x+4\). Camino: \((x+4)^2-x^2=8x+16\). El camino añade 2 m por cada lado, así que el lado exterior aumenta 4 m.
    2. \(x=10\): \(96\) m\(^2\) y coste \(96\cdot12=1152\) €. Sustituimos \(x=10\) y multiplicamos por el precio.
    3. \(8x+16=144\), \(8x=128\), \(x=16\) m. Restamos 16 y dividimos entre 8. Respuesta: 16 m.
    4. Exterior \(20^2=400\) y jardín \(16^2=256\); \(400-256=144\). Correcto. Las dos áreas confirman el resultado.

15. Solución del ejercicio 15

    1. \((10+2x)(5+2x)=4x^2+30x+50\). Se resta la piscina (\(50\)): \(A(x)=4x^2+30x\). Desarrollamos el producto y restamos el área de la piscina, \(10\cdot5=50\).
    2. \(A(0{,}5)=1+15=16\); \(A(1)=34\); \(A(1{,}5)=9+45=54\); \(A(2)=16+60=76\) m\(^2\). Sustituimos cada valor de \(x\) en \(A(x)\).
    3. \(A(x)=2x(2x+15)\). El factor común es \(2x\).
    4. \(4x^2+30x=60\), \(2x^2+15x-30=0\); \(x=\dfrac{-15+\sqrt{465}}{4}\approx1{,}64\) m. Dividimos entre 2 y aplicamos la fórmula; solo vale la solución positiva.
    5. \(A(1)=34\) m\(^2\); coste \(34\cdot25=850\) €. Multiplicamos el área por el precio. Respuesta: 850 €.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(V(-1)=-1+6-11+6=0\). Ruffini: \(1;\ 5;\ 6;\ 0\), luego \(V=(x+1)(x^2+5x+6)=(x+1)(x+2)(x+3)\).
    2. \(B(x)=(x+1)(x+2)\), luego la altura es \(\dfrac{V}{B}=x+3\).
    3. \(x=2\): dimensiones \(3\times4\times5\) y \(V=60\) cm\(^3\); con la fórmula \(8+24+22+6=60\).
    4. \((x+1)(x+2)(x+3)=210=5\cdot6\cdot7\), luego \(x=4\).
    5. \(504=7\cdot8\cdot9\), luego \(x=6\). Con \(100\): no hay tres naturales consecutivos con producto \(100\) (\(4\cdot5\cdot6=120\) y \(3\cdot4\cdot5=60\)), así que no es posible.

17. Solución del ejercicio 17

    1. mcm \(=x(x+5)\): \(T(x)=\dfrac{60(x+5)+60x}{x(x+5)}=\dfrac{60(2x+5)}{x(x+5)}\). Sumamos las dos fracciones con denominador común \(x(x+5)\).
    2. \(T(15)=\dfrac{60\cdot35}{15\cdot20}=7\) h y \(T(20)=\dfrac{60\cdot45}{20\cdot25}=5{,}4\) h. Sustituimos cada velocidad.
    3. \(60(2x+5)=7x(x+5)\), \(7x^2-85x-300=0\). Con \(x=15\): \(1575-1275-300=0\). Es solución (la otra es negativa). Multiplicamos los dos miembros por \(x(x+5)\) y pasamos todo a un miembro.
    4. Velocidad media \(=\dfrac{120}{7}\approx17{,}14\) km/h (no es la media de \(15\) y \(20\)). La velocidad media es la distancia total, 120 km, entre el tiempo total.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(z^2-13z+36=0\) da \(z=4\) o \(z=9\). Soluciones \(x=\pm2\) y \(x=\pm3\).
    2. \(z^2-5z-36=0\) da \(z=9\) o \(z=-4\). Solo \(z=9\) sirve: \(x=\pm3\).
    3. \(z^2+z+1=0\) tiene discriminante \(1-4=-3<0\): no hay solución real.
    4. Lados \(a\) y \(b=\dfrac{12}{a}\) con \(a^2+\dfrac{144}{a^2}=25\), o sea \(a^4-25a^2+144=0\). Con \(z=a^2\): \(z=9\) o \(z=16\), luego \(a=3\) y \(b=4\).

19. Solución del ejercicio 19

    1. El grifo A llena \(\dfrac{1}{x}\) y el grifo B \(\dfrac{1}{x+3}\); juntos llenan \(\dfrac{1}{2}\) en una hora.
    2. mcm \(=2x(x+3)\): \(2(x+3)+2x=x(x+3)\).
    3. \(4x+6=x^2+3x\), luego \(x^2-x-6=0\), \((x-3)(x+2)=0\). Se descarta \(x=-2\) (el tiempo no es negativo).
    4. A tarda \(3\) h y B tarda \(6\) h. Comprobación: \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}\).

20. Solución del ejercicio 20

    1. \(x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)\). Así aparece una diferencia de cuadrados.
    2. \(P(2)=8+4k-8+4=4k+4=0\), luego \(k=-1\). Por el teorema del resto, \(P(2)\) debe ser 0.
    3. \(\dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{x^2+2x+4}{x+2}\). \(x^3-8\) es una diferencia de cubos.
    4. \(n^3-n=(n-1)n(n+1)\) son tres enteros consecutivos: uno es múltiplo de \(3\) y al menos uno es par, luego el producto es múltiplo de \(6\).