Potencias y raíces – matemáticas 3º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. \(2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32\) y \(5^0=1\) (cualquier número distinto de 0 elevado a 0 vale 1).
   2. \((-3)^4=(-3)(-3)(-3)(-3)=81\) y \(-3^4=-(3\cdot3\cdot3\cdot3)=-81\).
   3. \((-2)^3=-8\) (exponente impar, resultado negativo) y \((-2)^4=16\) (exponente par, resultado positivo).
   4. En \((-3)^4\) el exponente afecta a la base \(-3\) completa. En \(-3^4\) el exponente afecta solo al 3 y el signo menos se aplica después.

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}\) y \(10^{-4}=\dfrac{1}{10\,000}=0{,}0001\). Un exponente negativo indica el inverso de la potencia con exponente positivo. Respuesta: \(\dfrac{1}{8}\) y \(0{,}0001\).
   2. \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}=3^2=9\). Invertimos la fracción y cambiamos el signo del exponente. Respuesta: 9.
   3. \((-2)^{-3}=\dfrac{1}{(-2)^3}=\dfrac{1}{-8}=-\dfrac{1}{8}\). Como el exponente 3 es impar, el signo negativo se mantiene. Respuesta: \(-\dfrac{1}{8}\).
   4. \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-1}=\dfrac{4}{3}\). Elevar a \(-1\) es lo mismo que calcular la fracción inversa. Respuesta: \(\dfrac{4}{3}\).

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(3^{4+2}=3^6=729\). Al multiplicar potencias de la misma base se mantiene la base y se suman los exponentes. Respuesta: \(3^6=729\).
   2. \(5^{7-4}=5^3=125\). Al dividir potencias de la misma base se restan los exponentes. Respuesta: \(5^3=125\).
   3. \(2^{3\cdot2}=2^6=64\). Una potencia de una potencia se calcula multiplicando los exponentes. Respuesta: \(2^6=64\).
   4. \(2^{5-2}=2^3=8\). Sumamos los exponentes aunque uno sea negativo: \(5+(-2)=3\). Respuesta: \(2^3=8\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. Numerador: \(2^{3-5}=2^{-2}\). Denominador: \(2^{-2+4}=2^2\). Cociente: \(2^{-2-2}=2^{-4}=\dfrac{1}{16}\). Restar un exponente negativo equivale a sumar. Respuesta: \(\dfrac{1}{16}\).
   2. Dentro: \(3^{2-4}=3^{-2}\). Elevamos a \(-1\): \(3^{2}=9\). Al elevar a \(-1\) se cambia el signo del exponente. Respuesta: 9.
   3. Numerador: \(5^{6-4}=5^2\). Cociente: \(5^{2-3}=5^{-1}=\dfrac{1}{5}\). Respuesta: \(\dfrac{1}{5}\).
   4. \(x^{3\cdot2}\cdot x^{-4}=x^{6-4}=x^2\). Primero aplicamos la potencia de una potencia y después el producto de potencias de la misma base. Respuesta: \(x^2\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(10^{3-5}=10^{-2}=0{,}01\). Sumamos los exponentes: \(3+(-5)=-2\).
   2. \(0{,}0001=10^{-4}\) y \(3\,500\,000=3{,}5\cdot10^{6}\).
   3. \(10^{6-9}=10^{-3}=0{,}001\). Restamos los exponentes: \(6-9=-3\).
   4. \(10^{-4}=0{,}0001\): hay 4 ceros contando el de las unidades (el exponente \(-4\) indica la posición del 1 después de la coma).

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(\sqrt{81}=9\) porque \(9^2=81\); \(\sqrt{0{,}04}=0{,}2\) porque \(0{,}2^2=0{,}04\).
   2. \(\sqrt[3]{27}=3\); \(\sqrt[3]{-8}=-2\) porque \((-2)^3=-8\) (una raíz de índice impar admite radicando negativo).
   3. \(\sqrt[4]{16}=2\) porque \(2^4=16\); \(\sqrt[5]{32}=2\) porque \(2^5=32\).
   4. No existe en los reales: ningún número real elevado al cuadrado da \(-9\) (una raíz de índice par no admite radicando negativo).

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(9^{1/2}=\sqrt{9}=3\) y \(8^{1/3}=\sqrt[3]{8}=2\). El denominador del exponente es el índice de la raíz. Respuesta: 3 y 2.
   2. \(16^{3/4}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8\). Primero hacemos la raíz cuarta, que es 2, y después elevamos al cubo. Respuesta: 8.
   3. \(27^{2/3}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9\). La raíz cúbica de 27 es 3, y su cuadrado es 9. Respuesta: 9.
   4. \(4^{-1/2}=\dfrac{1}{4^{1/2}}=\dfrac{1}{\sqrt{4}}=\dfrac{1}{2}\). El signo negativo del exponente indica el inverso. Respuesta: \(\dfrac{1}{2}\).

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(\sqrt{2\cdot8}=\sqrt{16}=4\). Multiplicamos los radicandos porque tienen el mismo índice, y 16 es un cuadrado perfecto. Respuesta: 4.
   2. \(\sqrt{\dfrac{50}{2}}=\sqrt{25}=5\). Dividimos los radicandos dentro de una sola raíz. Respuesta: 5.
   3. \(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}\). Buscamos el mayor cuadrado perfecto que divide a 72, que es 36, y sacamos su raíz. Respuesta: \(6\sqrt{2}\).
   4. \(\sqrt{3\cdot12}=\sqrt{36}=6\). Y \(\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8\cdot2}=2\sqrt[3]{2}\). En la raíz cúbica buscamos un cubo perfecto, 8, dentro del radicando. Respuestas: 6 y \(2\sqrt[3]{2}\).

9. Solución del ejercicio 9

   1. \((3+5)\sqrt{2}=8\sqrt{2}\). Son radicales semejantes, así que sumamos los coeficientes como si fueran términos semejantes. Respuesta: \(8\sqrt{2}\).
   2. \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) y \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\). Suma: \(5\sqrt{2}\). Al principio no parecen semejantes, pero después de simplificar los dos tienen \(\sqrt{2}\). Respuesta: \(5\sqrt{2}\).
   3. \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) y \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). Resta: \(3\sqrt{3}\). Sacamos de la raíz los cuadrados 25 y 4. Respuesta: \(3\sqrt{3}\).
   4. \(2\cdot3\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=6\cdot5=30\). Multiplicamos los coeficientes entre sí y las raíces entre sí; \(\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=5\). Respuesta: 30.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(N=3\cdot2^t\). Partimos de 3 y multiplicamos por 2 cada hora, así que tras \(t\) horas multiplicamos \(t\) veces por 2.
    2. \(N(5)=3\cdot32=96\) y \(N(10)=3\cdot1\,024=3\,072\). Calculamos primero la potencia de 2 y después multiplicamos por 3.
    3. \(N(8)=3\cdot256=768<1\,000\) y \(N(9)=3\cdot512=1\,536>1\,000\). Hacen falta 9 horas. Probamos valores de \(t\) hasta pasar de 1 000. Respuesta: 9 horas.
    4. \(N(-2)=3\cdot2^{-2}=\dfrac{3}{4}\): la fórmula daría \(0{,}75\), valor que no tiene sentido físico porque no hay fracciones de bacteria. Un exponente negativo significa retroceder en el tiempo.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(C(t)=2\,000\cdot1{,}03^{t}\). Cada año el capital se multiplica por 1,03, así que tras \(t\) años se multiplica por \(1{,}03^t\).
    2. \(C(2)=2\,000\cdot1{,}0609=2\,121{,}80\) € y \(C(3)=2\,000\cdot1{,}092727\approx2\,185{,}45\) €. Calculamos la potencia de 1,03 y multiplicamos por 2 000.
    3. \(2\,185{,}45-2\,000=185{,}45\) €. Restamos el capital inicial al capital final.
    4. Interés simple: \(2\,000+3\cdot60=2\,180\) €. El compuesto da \(5{,}45\) € más, porque los intereses también generan intereses. Respuesta: el interés compuesto da más dinero.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(g(n)=0{,}1\cdot2^{n}\) mm. Cada doblez multiplica el grosor por 2.
    2. \(g(7)=0{,}1\cdot128=12{,}8\) mm. \(g(10)=0{,}1\cdot1\,024=102{,}4\) mm. Calculamos \(2^7=128\) y \(2^{10}=1\,024\) y multiplicamos por 0,1.
    3. \(g(20)=0{,}1\cdot1\,048\,576=104\,857{,}6\) mm \(\approx104{,}9\) m. Dividimos entre 1 000 para pasar de milímetros a metros.
    4. Superaría los 100 m del edificio. Aunque en la práctica no se puede doblar tantas veces, ilustra el crecimiento rapidísimo de las potencias.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Arista \(=\sqrt[3]{216}=6\) dm. Buscamos el número que elevado al cubo da 216: \(6^3=216\). Respuesta: la arista mide 6 dm.
    2. Una cara: \(6^2=36\) dm\(^2\). Seis caras: \(6\cdot36=216\) dm\(^2\). Un cubo tiene seis caras cuadradas iguales.
    3. \(216\cdot\dfrac{5}{6}=180\) litros. Al llenar \(\dfrac{5}{6}\) de la altura, el volumen de agua es \(\dfrac{5}{6}\) del total. Respuesta: 180 litros.
    4. Diagonal \(=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\approx8{,}49\) dm. La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con dos aristas como catetos.

14. Solución del ejercicio 14

    1. Un aumento del 2 % equivale a multiplicar por \(1+0{,}02=1{,}02\) cada año.
    2. \(1{,}02^5\approx1{,}10408\); \(P(5)\approx27\,602\) habitantes.
    3. \(1{,}02^{10}\approx1{,}21899\); \(P(10)\approx30\,475\) habitantes.
    4. \(30\,475-25\,000=5\,475\) habitantes, un \(21{,}9\ \%\) más. Respuesta: la ciudad gana unos 5 475 habitantes.

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(9{,}46\cdot10^{12}\cdot4{,}24\approx4{,}01\cdot10^{13}\) km. Multiplicamos las mantisas y mantenemos la potencia de 10.
    2. \(\dfrac{4{,}01\cdot10^{13}}{5\cdot10^{4}}\approx8{,}02\cdot10^{8}\) horas. Dividimos las mantisas y restamos los exponentes.
    3. \(\dfrac{8{,}02\cdot10^{8}}{8\,760}\approx9{,}16\cdot10^{4}\), es decir, unos 91 600 años.
    4. \(\dfrac{4{,}01\cdot10^{13}}{3{,}84\cdot10^{5}}\approx1{,}04\cdot10^{8}\): unos 104 millones de veces. Respuesta: la estrella está unos 104 millones de veces más lejos que la Luna.

16. Solución del ejercicio 16

    1. Área \(=2\sqrt{3}\cdot3\sqrt{3}=6\cdot3=18\) m\(^2\) (entero). Multiplicamos los coeficientes, \(2\cdot3=6\), y las raíces, \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\).
    2. Perímetro \(=2(2\sqrt{3}+3\sqrt{3})=10\sqrt{3}\approx17{,}32\) m. Sumamos los radicales semejantes dentro del paréntesis.
    3. Diagonal \(=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{12+27}=\sqrt{39}\approx6{,}24\) m. Elevamos al cuadrado cada lado: \((2\sqrt{3})^2=4\cdot3=12\) y \((3\sqrt{3})^2=9\cdot3=27\).
    4. \(18\cdot40=720\) €. Multiplicamos el área por el precio de cada metro cuadrado. Respuesta: el parqué cuesta 720 €.

17. Solución del ejercicio 17

    1. \(V(t)=18\,000\cdot0{,}85^{t}\). Perder un 15 % equivale a conservar el 85 % cada año.
    2. \(0{,}85^3=0{,}614125\); \(V(3)=11\,054{,}25\) €. Respuesta: a los 3 años vale unos 11 054 €.
    3. \(0{,}85^5\approx0{,}44371\); \(V(5)\approx7\,986{,}70\) €. Respuesta: a los 5 años vale unos 7 987 €.
    4. Conserva el \(44{,}37\ \%\), así que pierde el \(55{,}63\ \%\) (más de la mitad).

18. Solución del ejercicio 18

    1. En la hora \(n\) se enteran \(3^n\) personas nuevas.
    2. Hora 1: \(3\); hora 2: \(9\); hora 3: \(27\); hora 4: \(81\); hora 5: \(243\).
    3. Total \(=1+3+9+27+81+243=364\) personas.
    4. En 6 horas: \(364+729=1\,093>1\,000\). En 5 horas son 364, así que hacen falta 6 horas.

19. Solución del ejercicio 19

    1. 1 MB \(=2^{10}\cdot2^{10}=2^{20}\) bytes. 1 GB \(=2^{10}\cdot2^{20}=2^{30}\) bytes. Multiplicamos potencias de la misma base sumando los exponentes.
    2. \(8\cdot2^{30}=2^3\cdot2^{30}=2^{33}=8\,589\,934\,592\) bytes. Escribimos 8 como \(2^3\) y sumamos exponentes.
    3. \(4\) MB \(=2^2\cdot2^{20}=2^{22}\) bytes. Fotos: \(\dfrac{2^{33}}{2^{22}}=2^{11}=2\,048\). Dividimos potencias de la misma base restando exponentes.
    4. \(\dfrac{2^{30}}{2^{10}}=2^{20}=1\,048\,576\) veces. Respuesta: más de un millón de veces.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Sacando factor común: \(\dfrac{2^n(2^2-1)}{2^n}=4-1=3\).
    2. \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}707\). Así el denominador deja de tener raíz.
    3. \(2^{30}=8^{10}\) y \(3^{20}=9^{10}\). Como \(9>8\), \(3^{20}>2^{30}\).
    4. \(2^x=2^{-5}\), luego \(x=-5\). \(5^{x+1}=5^3\), luego \(x+1=3\) y \(x=2\). Respuesta: \(x=-5\) en la primera y \(x=2\) en la segunda.