Potencias y raíces – matemáticas 3º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(2^{-3+5}=2^2=4\). Sumamos los exponentes: \(-3+5=2\).
   2. \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}\). Invertimos la fracción y cambiamos el signo del exponente.
   3. Numerador \(5^2\) y cociente \(5^{2-3}=5^{-1}=\dfrac{1}{5}\). Restamos los exponentes de la misma base.
   4. \((-2)^4=16\) y \(2^4=16\), luego la diferencia es 0. El exponente par hace positivo el resultado de \((-2)^4\).

   Criterios de corrección: 1 punto por cada expresión con potencias. En a) el exponente final es 2 y el resultado 4; en b) \(\dfrac{4}{9}\); en c) \(5^{-1}=\dfrac{1}{5}\); en d) se valora advertir que \((-2)^4\) y \(2^4\) valen 16.

2. Solución del ejercicio 2 (3 puntos)

   1. \((-3)^3=-27\), luego \(\sqrt[3]{-27}=-3\). Buscamos un número que elevado al cubo dé \(-27\); con índice impar el radicando puede ser negativo. Respuesta: \(-3\).
   2. \(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}\). Sacamos de la raíz el cuadrado perfecto 36. Respuesta: \(6\sqrt{2}\).
   3. \((3+2-1)\sqrt{5}=4\sqrt{5}\). Son radicales semejantes, así que operamos los coeficientes. Respuesta: \(4\sqrt{5}\).

   Criterios de corrección: los tres radicales valen 1 punto cada uno. En a) se comprueba \((-3)^3=-27\). En b) se exige el factor 6 fuera de la raíz. En c) se suman los coeficientes \(3+2-1=4\) dejando \(\sqrt{5}\) igual.

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. \(27^{2/3}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9\). Hacemos primero la raíz cúbica y después el cuadrado. Respuesta: 9.
   2. \(4^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{4}}=\dfrac{1}{2}\). El exponente negativo indica el inverso y el exponente \(\dfrac{1}{2}\) una raíz cuadrada. Respuesta: \(\dfrac{1}{2}\).
   3. \(\sqrt[3]{5^2}=5^{2/3}\). El exponente del radicando va al numerador y el índice al denominador. Respuesta: \(5^{2/3}\).

   Criterios de corrección: 1 punto por cada exponente fraccionario. En a) se acepta también \(\sqrt[3]{729}=9\). En b) 0,5 puntos por el signo del exponente y 0,5 por la raíz cuadrada de 4. En c) el exponente fraccionario debe ser \(\dfrac{2}{3}\) y no \(\dfrac{3}{2}\).

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. \(4\cdot3=12\) y \(10^{5-2}=10^3\): \(12\cdot10^3=1{,}2\cdot10^{4}\). La mantisa 12 es mayor que 10, por eso la ajustamos.
   2. \(\dfrac{9}{3}=3\) y \(10^{3-(-2)}=10^{5}\): \(3\cdot10^{5}\). Restar un exponente negativo es sumar.
   3. \(0{,}00071=7{,}1\cdot10^{-4}\). Movemos la coma cuatro lugares a la derecha.

   Criterios de corrección: en a) 1,5 puntos (1 por el cálculo \(12\cdot10^3\) y 0,5 por ajustar a \(1{,}2\cdot10^4\)); en b) 1,5 puntos (0,5 por \(9:3\) y 1 por el exponente \(3-(-2)=5\)); en c) 1 punto por el exponente \(-5\), comprobando que \(4{,}7\cdot10^{-5}=0{,}000047\).

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. \(C(t)=5\,000\cdot1{,}02^{t}\). Cada año el capital se multiplica por 1,02.
   2. \(1{,}02^3=1{,}061208\) y \(C(3)=5\,306{,}04\) €.
   3. \(5\,306{,}04-5\,000=306{,}04\) €.
   4. \(1{,}02^{10}\approx1{,}218994\) y \(C(10)\approx6\,094{,}97\) €.
   5. Interés simple: \(5\,000+10\cdot100=6\,000\) €. El compuesto da \(6\,094{,}97-6\,000=94{,}97\) € más.

   Criterios de corrección: fórmula \(C(t)=5\,000\cdot1{,}02^t\) 1 punto; capital a 3 años 1,5 puntos; intereses 306,04 € 1 punto; capital a 10 años 1,5 puntos; comparación 1 punto, con interés simple de 100 € al año y diferencia de 94,97 € a favor del compuesto.

Total : 20 puntos