Expresiones algebraicas y factorización – matemáticas 4º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \((4x^2-12x+9)-(x^2-1)=3x^2-12x+10\). Desarrollamos el cuadrado de una diferencia y la suma por diferencia; al restar cambiamos los signos del segundo paréntesis.
   2. \(9x^2-16=(3x-4)(3x+4)\) y \(x^2-6x+9=(x-3)^2\). El primero es una diferencia de cuadrados y el segundo un cuadrado perfecto.

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por desarrollar \((2x-3)^2=4x^2-12x+9\) y 1 punto por restar \(x^2-1\) cambiando los signos. En b) 1 punto por cada factorización; comprobación con \(x=1\): \(9-16=-7\) y \((3-4)(3+4)=-7\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \(P(1)=1-2-5+6=0\). \(P(-2)=-8-8+10+6=0\): el resto es \(0\). Usamos el teorema del resto.
   2. Raíz \(3\): \(1;\ 1;\ -2;\ 0\). Cociente \(x^2+x-2\), resto \(0\).
   3. \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\), luego \(P(x)=(x-3)(x-1)(x+2)\). Raíces \(3\), \(1\) y \(-2\). Comprobación con \(x=0\): \(6=(-3)(-1)\cdot2\).

   Criterios de corrección: en a) 0,5 puntos por \(P(1)=0\) y 0,5 por \(P(-2)=0\), que indica que \(x+2\) es un factor. En b) 1,5 puntos por la tabla de Ruffini con los coeficientes 1, \(-2\), \(-5\), 6 y la raíz 3. En c) 1,5 puntos por factorizar \(x^2+x-2\) y escribir las tres raíces.

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. \(\dfrac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{x-2}{x+2}\), con \(x\ne\pm2\). Factorizamos y simplificamos el factor común \(x-2\).
   2. mcm \(=x^2-1\): \(\dfrac{3(x-1)+2(x+1)}{x^2-1}=\dfrac{5x-1}{x^2-1}\). Multiplicamos cada numerador por el factor que falta en su denominador.

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por factorizar numerador y denominador y 0,5 por indicar que \(x\) no puede valer 2 ni \(-2\). En b) 1 punto por el denominador común \(x^2-1\) y 0,5 por el numerador \(5x-1\); comprobación con \(x=2\): \(1+2=3\) y \(\dfrac{9}{3}=3\).

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. \(z^2-10z+9=0\), \(z=1\) o \(z=9\). Soluciones \(x=\pm1\) y \(x=\pm3\). Con \(z=x^2\) la ecuación pasa a ser de segundo grado.
   2. \(2(x+1)+x=x(x+1)\), \(x^2-2x-2=0\), \(x=1\pm\sqrt{3}\). Multiplicamos por \(x(x+1)\); ninguna solución anula los denominadores.

   Criterios de corrección: en a) 0,5 puntos por el cambio \(z=x^2\), 0,5 por \(z=1\) y \(z=9\) y 0,5 por las cuatro soluciones. En b) 1 punto por multiplicar por \(x(x+1)\) y llegar a \(x^2-2x-2=0\), y 0,5 por las soluciones \(1\pm\sqrt3\), que no anulan ningún denominador.

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. Huerto: \(x(x+6)=x^2+6x\). Total: \((x+2)(x+8)=x^2+10x+16\).
   2. Paseo: \((x^2+10x+16)-(x^2+6x)=4x+16\).
   3. \(x^2+6x=160\), \(x^2+6x-160=0\), \((x+16)(x-10)=0\). Vale \(x=10\) m y el otro lado \(16\) m.
   4. Paseo: \(4\cdot10+16=56\) m\(^2\). Coste: \(56\cdot15=840\) €.

   Criterios de corrección: las dos áreas valen 2 puntos, el paseo 1 punto, la ecuación factorizada 2 puntos y el coste 1 punto. Comprobación con \(x=10\): el rectángulo total mide \(12\times18=216\) m\(^2\) y el huerto \(10\times16=160\) m\(^2\); la diferencia es 56 m\(^2\).

Total : 20 puntos