Números reales e intervalos – matemáticas 4º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(\sqrt{16}=4\) natural; \(-\dfrac{3}{5}\) racional; \(\sqrt{7}\) irracional; \(0{,}\overline{6}=\dfrac{2}{3}\) racional. \(\sqrt{7}\) no es un cuadrado perfecto.
   2. \(x=1{,}\overline{4}\): \(10x-x=13\), \(x=\dfrac{13}{9}\). \(y=0{,}2\overline{7}\): \(100y=27{,}\overline{7}\) y \(10y=2{,}\overline{7}\), \(90y=25\), \(y=\dfrac{25}{90}=\dfrac{5}{18}\).

   Criterios de corrección: en a) medio punto por cada número clasificado; \(\sqrt{16}\) es natural porque vale 4. En b) un punto por cada fracción generatriz, con el procedimiento completo: \(10x-x\) para \(1{,}\overline{4}\) y \(100y-10y\) para \(0{,}2\overline{7}\). Comprobación: \(13:9=1{,}444\ldots\) y \(5:18=0{,}2777\ldots\).

2. Solución del ejercicio 2 (3 puntos)

   1. \(A\cap B=[1,3]\) y \(A\cup B=(-4,8)\). La intersección es la parte común y la unión, todo lo que está en alguno de los dos.
   2. \(-4\lt x\le3\). El entorno es \(E(-0{,}5;\ 3{,}5)=(-4,3)\): no contiene al \(3\), que sí está en \(A\). Por tanto \(A\) no es un entorno (es un intervalo semiabierto).

   Criterios de corrección: en a) 0,75 puntos por la intersección \([1,3]\) y 0,75 por la unión \((-4,8)\), dibujando antes los dos intervalos. En b) 0,5 puntos por la desigualdad \(-4\lt x\le3\) y 1 punto por razonar que un entorno es siempre abierto y \(A\) incluye el 3, así que no son iguales.

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. \(x-5=3\) o \(x-5=-3\): \(x=8\) o \(x=2\). Comprobación: \(|8-5|=3\) y \(|2-5|=3\).
   2. \(-8<3x+2<8\), \(-10<3x<6\), \(-\dfrac{10}{3}\lt x<2\): \(\left(-\dfrac{10}{3},2\right)\). Restamos 2 y dividimos entre 3.
   3. \(x+1\ge4\) o \(x+1\le-4\): \(x\ge3\) o \(x\le-5\): \((-\infty,-5]\cup[3,+\infty)\). Restamos 1 en cada caso.

   Criterios de corrección: en a) 1 punto por las dos soluciones 8 y 2, que están a distancia 3 del 5. En b) 1 punto por el intervalo \(\left(-\dfrac{10}{3},2\right)\), comprobando con \(x=0\): \(|2|\lt 8\). En c) 1 punto por la unión de dos semirrectas cerradas; con \(x=3\): \(|4|=4\ge4\).

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. Error absoluto \(|1{,}18-1{,}2|=0{,}02\) m. Relativo \(\dfrac{0{,}02}{1{,}2}\approx0{,}0167=1{,}67\ \%\). El error relativo es el error absoluto dividido entre el valor exacto.
   2. \(\sqrt{2}\approx1{,}41\) y el error es \(|1{,}41421-1{,}41|=0{,}00421\). Redondeamos a las centésimas porque la cifra siguiente, 4, es menor que 5.

   Criterios de corrección: en a) 0,75 puntos por el error absoluto de 2 cm y 0,75 por el relativo, que se calcula sobre el valor real de 1,2 m. En b) 0,75 puntos por el redondeo 1,41 y 0,75 por el error 0,00421, menor que media centésima, como debe ocurrir al redondear.

5. Solución del ejercicio 5 (7 puntos)

   1. \(C(d)=120+35d\).
   2. \(330\le120+35d\le470\), luego \(210\le35d\le350\) y \(6\le d\le10\). Intervalo \([6,10]\).
   3. Puede quedarse \(6,7,8,9\) o \(10\) días: \(5\) posibilidades.
   4. \([6,10]\cap[6,10]=[6,10]\): todos los valores del apartado anterior son posibles. Comprobación: \(C(6)=330\) € y \(C(10)=470\) €.

   Criterios de corrección: la expresión del coste vale 1 punto, la doble desigualdad 2 puntos, el número de días 1 punto y la intersección 3 puntos. Se valora observar que las dos condiciones dan el mismo intervalo \([6,10]\), por lo que la segunda no elimina ninguna estancia.

Total : 20 puntos