Ecuaciones y sistemas – matemáticas 4º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

← Volver a los ejercicios

1. Solución del ejercicio 1

   1. \(3x-6+5=2x+7\), \(3x-1=2x+7\), \(x=8\). Comprobación: \(3\cdot6+5=23=16+7\). Quitamos el paréntesis, agrupamos las \(x\) en un miembro y los números en el otro.
   2. Multiplicamos por \(6\): \(2(2x-1)-3(x+2)=6\), \(4x-2-3x-6=6\), \(x=14\). Comprobación: \(\dfrac{27}{3}-\dfrac{16}{2}=9-8=1\). Respuesta: \(x=14\).
   3. \(5-2x-2=3x-12\), \(3-2x=3x-12\), \(15=5x\), \(x=3\). Comprobación: \(5-2\cdot4=-3\) y \(9-12=-3\). Respuesta: \(x=3\).
   4. \(0{,}3x=1{,}8\), \(x=6\). Pasamos los términos con \(x\) a la izquierda y los números a la derecha. Comprobación: \(2{,}4+1{,}2=3{,}6=0{,}6+3\). Respuesta: \(x=6\).

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(x^2=4\), luego \(x=\pm2\). Sumamos 12 y dividimos entre 3; al hacer la raíz cuadrada aparecen dos soluciones opuestas.
   2. \(x(x+5)=0\), luego \(x=0\) o \(x=-5\). Sacamos factor común \(x\) e igualamos cada factor a cero. Comprobación con \(-5\): \(25-25=0\).
   3. \(x^2=25\), luego \(x=\pm5\). Dividimos entre 2 y hacemos la raíz cuadrada con doble signo.
   4. \(x^2=-\dfrac{9}{4}\) no tiene solución real. Un cuadrado nunca es negativo, así que la ecuación no tiene ninguna solución real.

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(\Delta=25-24=1\); \(x=\dfrac{5\pm1}{2}\), es decir \(x=3\) o \(x=2\). Como el discriminante es positivo, hay dos soluciones distintas. Comprobación con 2: \(4-10+6=0\).
   2. \(\Delta=9+16=25\); \(x=\dfrac{-3\pm5}{4}\), es decir \(x=\dfrac{1}{2}\) o \(x=-2\). Comprobación con \(\dfrac{1}{2}\): \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}-2=0\).
   3. \(\Delta=36-36=0\); solución doble \(x=3\). El trinomio es un cuadrado perfecto: \((x-3)^2=0\).
   4. \(\Delta=4-20=-16<0\): no hay soluciones reales. Un discriminante negativo no tiene raíz cuadrada real.

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(\Delta=36-4k\). Usamos \(\Delta=b^2-4ac\) con \(a=1\), \(b=-6\) y \(c=k\).
   2. \(\Delta=0\) cuando \(k=9\); la solución doble es \(x=3\). La solución doble es \(x=-\dfrac{b}{2a}=3\).
   3. \(\Delta>0\) cuando \(36-4k>0\), es decir \(k<9\). Dividimos entre 4, que es positivo, sin cambiar el sentido.
   4. \(k=5\): \(x^2-6x+5=0\), \(x=1\) o \(x=5\). \(k=10\): \(\Delta=-4<0\), no hay solución real. Respuesta: con \(k=5\) las soluciones son 1 y 5; con \(k=10\) no hay soluciones reales.

5. Solución del ejercicio 5

   1. De la segunda, \(y=x+1\). Entonces \(2x+x+1=7\), \(x=2\), \(y=3\). Comprobación: \(4+3=7\).
   2. \(3x-4=-x+8\), \(4x=12\), \(x=3\), \(y=5\). Comprobación: \(9-4=5\) y \(-3+8=5\).
   3. Sumamos: \(8x=16\), \(x=2\); entonces \(6+2y=12\) y \(y=3\). Comprobación: \(10-6=4\).
   4. Multiplicamos la primera por \(2\) y la segunda por \(3\): \(4x+6y=26\) y \(9x-6y=0\). Sumamos: \(13x=26\), \(x=2\), \(y=3\). Comprobación: \(4+9=13\) y \(6-6=0\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. La segunda ecuación es el doble de la primera: infinitas soluciones, \(y=5-x\). Compatible indeterminado: las rectas coinciden. Respuesta: compatible indeterminado.
   2. La segunda equivale a \(x+y=6\), que contradice \(x+y=5\). Incompatible: rectas paralelas distintas. Respuesta: incompatible.
   3. Sumando, \(3x=9\), \(x=3\) e \(y=2\). Compatible determinado: las rectas se cortan en \((3,2)\). Respuesta: compatible determinado, con solución \((3,2)\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(\begin{cases}3a+2p=9{,}40\\ 2a+4p=10{,}80\end{cases}\) Cada compra da una ecuación.
   2. Multiplicamos la primera por \(2\): \(6a+4p=18{,}80\). Restamos la segunda: \(4a=8\), \(a=2\). Entonces \(6+2p=9{,}40\) y \(p=1{,}70\).
   3. \(3\cdot2+2\cdot1{,}70=9{,}40\) y \(2\cdot2+4\cdot1{,}70=10{,}80\). Correcto.
   4. \(5\cdot2+3\cdot1{,}70=15{,}10\) €. Multiplicamos cada precio por los kilos y sumamos.

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(\begin{cases}x+y=40\\ 8x+5y=275\end{cases}\) Una ecuación cuenta las entradas y la otra el dinero.
   2. \(y=40-x\): \(8x+200-5x=275\), \(3x=75\), \(x=25\) y \(y=15\). Comprobación: \(200+75=275\) €.
   3. \(15\cdot5=75\) €. Multiplicamos las entradas infantiles por su precio.
   4. \(40\cdot8=320\) €, que son \(45\) € más. Respuesta: se habrían recaudado 320 €.

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(m=3h\) y \(m+12=2(h+12)\). El triple se escribe \(3h\), y dentro de 12 años las dos edades aumentan en 12.
   2. \(3h+12=2h+24\), luego \(h=12\) y \(m=36\). Sustituimos \(m=3h\) en la segunda ecuación.
   3. Hace \(5\) años: hija \(7\) y madre \(31\). Restamos 5 a cada edad.
   4. Dentro de \(12\) años: hija \(24\) y madre \(48=2\cdot24\). Correcto.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(v_1-v_2=25\) y \(2(v_1+v_2)=350\), es decir \(v_1+v_2=175\). Al ir en sentido contrario, en 2 horas recorren entre los dos los 350 km.
    2. Sumamos: \(2v_1=200\), \(v_1=100\) km/h y \(v_2=75\) km/h. Sumamos las dos ecuaciones para eliminar \(v_2\).
    3. Primer tren: \(200\) km. Segundo: \(150\) km. Suman \(350\) km. Multiplicamos cada velocidad por 2 horas.
    4. En el instante \(t\): \(100t+75(t-1)=350\), \(175t=425\), \(t=\dfrac{17}{7}\approx2{,}43\) h. Respuesta: unas 2 horas y 26 minutos después de salir el primero.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(2w+2l=54\) y \(l=w+7\). El perímetro es la suma de los cuatro lados.
    2. \(2w+2w+14=54\), \(4w=40\), \(w=10\) m y \(l=17\) m. Sustituimos \(l\) en la primera ecuación.
    3. \(A=10\cdot17=170\) m\(^2\). Multiplicamos el ancho por el largo.
    4. \(54:2=27\) vallas; coste \(27\cdot18=486\) €. Respuesta: la valla cuesta 486 €.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(a+n=10\) y \(12a+8n=96\) (precio total \(10\cdot9{,}60\)). Una ecuación cuenta los kilos y la otra el dinero total.
    2. \(12a+8(10-a)=96\), \(4a+80=96\), \(a=4\) y \(n=6\). Sustituimos \(n=10-a\).
    3. \(4\cdot12+6\cdot8=48+48=96\) €, que son \(9{,}60\) €/kg.
    4. \(14a+8(10-a)=96\), \(6a=16\), \(a=\dfrac{8}{3}\approx2{,}67\) kg. Respuesta: unos 2,67 kg de almendras.

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(x(x+1)=156\), \(x^2+x-156=0\), \(x=12\) (o \(-13\)). Los números son \(12\) y \(13\). Comprobación: \(12\cdot13=156\).
    2. \(x^2-3x=40\), \(x^2-3x-40=0\), \((x-8)(x+5)=0\). Vale \(8\) o \(-5\). Comprobación: \(64-24=40\) y \(25+15=40\).
    3. \(x^2+(x+2)^2=74\), \(2x^2+4x-70=0\), \(x^2+2x-35=0\), \(x=5\) (o \(-7\)). Los números son \(5\) y \(7\) (o \(-7\) y \(-5\)). Comprobación: \(25+49=74\).
    4. \((x+3)^2-x^2=63\), \(6x+9=63\), \(x=9\) cm. Comprobación: \(12^2-9^2=144-81=63\).

14. Solución del ejercicio 14

    1. Suma de los lados \(l+w=23\) y producto \(l\cdot w=120\). El semiperímetro es \(46:2=23\).
    2. \(x^2-23x+120=0\). Si dos números suman \(S\) y su producto es \(P\), son las soluciones de \(x^2-Sx+P=0\).
    3. \(\Delta=529-480=49\), \(x=\dfrac{23\pm7}{2}\), luego \(15\) y \(8\). Respuesta: la parcela mide 15 m por 8 m.
    4. \(d=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{289}=17\) m. La diagonal es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por los lados.

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(h(0)=2\); \(h(0{,}5)=5{,}75\); \(h(1)=7\); \(h(1{,}5)=5{,}75\); \(h(2)=2\) m. Sustituimos cada valor de \(t\) en la fórmula; la tabla es simétrica respecto de \(t=1\).
    2. \(-5t^2+10t+2=5\), \(5t^2-10t+3=0\), \(t=\dfrac{10\pm\sqrt{40}}{10}=1\pm0{,}63\): \(t\approx0{,}37\) s o \(t\approx1{,}63\) s.
    3. \(-5t^2+10t-1{,}05=0\), \(t=\dfrac{10\pm\sqrt{100-21}}{10}=\dfrac{10\pm8{,}89}{10}\): \(t\approx0{,}11\) s o \(t\approx1{,}89\) s. Al bajar entra a \(t\approx1{,}89\) s.
    4. \(-5t^2+10t+2=0\), \(5t^2-10t-2=0\), \(t=\dfrac{10+\sqrt{140}}{10}\approx2{,}18\) s (la raíz negativa no vale).

16. Solución del ejercicio 16

    1. Plan A: \(y=20+15x\). Plan B: \(y=25x\).
    2. A: \(35;\ 50;\ 65;\ 80;\ 95\) €. B: \(25;\ 50;\ 75;\ 100;\ 125\) €.
    3. \(20+15x=25x\), \(10x=20\), \(x=2\) meses, con \(50\) € en ambos.
    4. A los \(12\) meses: A \(=200\) € y B \(=300\) €. Conviene A y se ahorran \(100\) €.
    5. Durante el primer mes es más barato B; al llegar al mes \(2\) cuestan igual (\(50\) €); desde entonces A es más barato.

17. Solución del ejercicio 17

    1. \(\begin{cases}3b+2r=9{,}50\\ 2b+3r=8{,}50\end{cases}\)
    2. Multiplicamos la primera por \(3\) y la segunda por \(2\): \(9b+6r=28{,}50\) y \(4b+6r=17\). Restamos: \(5b=11{,}50\), \(b=2{,}30\). Entonces \(6{,}90+2r=9{,}50\) y \(r=1{,}30\).
    3. \(5\cdot2{,}30+4\cdot1{,}30=11{,}50+5{,}20=16{,}70\) €.
    4. Cada pareja cuesta \(3{,}60\) €. \(20:3{,}60\approx5{,}55\), luego \(5\) parejas: \(18\) €. Le sobran \(2\) €.
    5. Nuevo bocadillo: \(2{,}07\) €. Pedido: \(5\cdot2{,}07+5{,}20=15{,}55\) €.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(y=11-x\): \(x(11-x)=28\), \(x^2-11x+28=0\), \(x=4\) o \(x=7\). Soluciones \((4,7)\) y \((7,4)\).
    2. \(y=7-x\): \(x^2+49-14x+x^2=25\), \(x^2-7x+12=0\), \(x=3\) o \(x=4\). Soluciones \((3,4)\) y \((4,3)\).
    3. \(x^2-1=x+1\), \(x^2-x-2=0\), \(x=2\) o \(x=-1\). Soluciones \((2,3)\) y \((-1,0)\).
    4. Una parábola y una recta se cortan en dos puntos: \((2,3)\) y \((-1,0)\).

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(a+b=11\) y \(10b+a=10a+b+27\), que equivale a \(b-a=3\). Las decenas valen 10 veces su cifra.
    2. Sumando: \(2b=14\), \(b=7\) y \(a=4\). El número es \(47\).
    3. \(4+7=11\) y \(74-47=27\). Correcto.
    4. \(a=2b\) y \(a+b=12\) dan \(3b=12\), \(b=4\), \(a=8\). El número es \(84\) (y \(8+4=12\), \(8=2\cdot4\)). Respuesta: el número es 84.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Elevamos al cuadrado: \(x+2=x^2\), \(x^2-x-2=0\), \(x=2\) o \(x=-1\). Comprobación: \(\sqrt{4}=2\) vale; \(\sqrt{1}=1\ne-1\) no vale. Solución \(x=2\).
    2. Incompatible si los coeficientes son proporcionales y los términos independientes no: \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{k}\ne\dfrac{3}{5}\) da \(k=4\) (y \(\dfrac{1}{2}\ne\dfrac{3}{5}\)).
    3. \(\Delta=m^2-64=0\), luego \(m=\pm8\) (raíces dobles \(x=\mp4\)).
    4. En una hora llenan \(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}\) del depósito: tardan \(2\) h.